Материал: Методы оптимизации в примерах и задачах. Медведь Н.А., Фокин А.А

Рисунок 3.3.2. Логическая связь между теоремами и замечаниями

78

Пример 1. Найти решение задачи

x1 , x2 0

Решение. Так как функция f0 (x) в задаче является

выпуклой (вверх) и непрерывно дифференцируемой, воспользуемся теоремами 6 и 3.

Запишем функцию Лагранжа данной задачи:

Такая система решается следующим образом: решается система равенств b) и d), а затем полученные точки подставляются в неравенства а), с) и условия неотрицательности и проверяются.

Итак, решим систему

( 2x1 y1 )x1 0, ( 2x2 y1 )x2 0,

( 2 x1 x2 ) y1 0,

Из последнего равенства следует, что либо y1 0, либо

79

x1 x2 2 .

Если y1 0, то из первых двух равенств следует, что x1 x2 0 .

Подставим полученную точку (0,0,0) в неравенства. Условия неотрицательности, очевидно, выполнены, однако неравенство с)

нарушено ( -2+0+0 0 -неверно). Значит y1 0, т.е.

x1 x2 2 .

Выразим

x2 2 x1

и подставим в первые два равенства.

Рассмотрим случай

x1 0 x2 2, y1 4.

Подставим в неравенства точку (0,2,4). Условия неотрицательности выполнены, однако первое неравенство в а) нарушено (0+4≤0 - неверно).

Рассмотрим случай

В точке (1,1,2) все неравенства (в т. ч. условия неотрицательности) выполнены, следовательно она является

седловой точкой, а точка x* (1,1) - точкой условного максимума.

80

3x12 4x1 x2 5x22 min x1 x2 4

x1 , x2 0

Решение. Данная точка является допустимой. Воспользуемся дифференциальным вариантом теоремы КунаТаккера, для чего перепишем задачу следующим образом:

является решением задачи.

Ответ: точка х = (4,0) не является решением задачи.

81

Пример 3.

x1 , x2 0

Решение. На рис.3.3.3 изображено допустимое множество данной задачи

2

1

Рисунок 3.3.3. Допустимое множество задачи (3.3.4)

Множество не является выпуклым, но из графика видно, что решением задачи является точка x* (1, 0). Запишем условия КунаТаккера и проверим, выполняются ли они в данной точке:

82