Материал: Методы оптимизации в примерах и задачах. Медведь Н.А., Фокин А.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

f (P0 )	0 ,	k 1, 2,...n.	(1.2.1)
xk

Решения этой системы уравнений являются стационарными точками функции f(P).

Пример 1. В прямоугольной системе координат заданы n точек A1 (x1 , y1 , z1 ) , A2 (x2 , y2 , z2 ) , …, An (xn , yn , zn ) . Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от всех данных точек была бы наименьшей.

Решение. Пусть М(x,y,z) – искомая точка. Найдем стационарные точки функции

f (x, y)

[(x x )2

( y y )

(z z

)2 ].

i 1

Имеем

2(x

x )

0, откуда следует, что

nx=

;

i=1

аналогично из выражения

2( y

y )

получаем ny=

y ;

i=1

из

2(z

z )

получаем nz=

z .

i 1

i=1

Таким

образом,

точка M (

x ;

y ;

z )

i 1

является единственной стационарной точкой функции f (x, y) . По смыслу задачи эта точка является точкой минимума.

	Ответ: x	1

		n
		n

n		1
xi ;	y	1

		n
i 1		n

n		1
yi ;	z	1

		n
i 1		n

zi .

i 1

В общем случае найденные стационарные точки нужно ещѐ исследовать с помощью достаточных условий.

Достаточные условия безусловного локального экстремума

связаны с изучением знака второго дифференциала искомой функции. Сформулируем их для функции двух переменных.

Пусть P(x10 , x20 ) - стационарная точка функции u = f(x1,x2), и эта функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки P0 (x10 , x20 ) . Введем следующие обозначения

f (x0

, x0 )

2 f (x0

, x0 )

2 f (x0

, x0 )

;

x x

BC .

Тогда:

1) если Δ>0, то функция u = f(x1,x2) имеет экстремум в точке P0 (x10 , x20 ) , а именно: максимум, если A<0, и минимум, если

A>0;

2)если Δ<0, то экстремума в точке P0 (x10 , x20 ) нет;

3)если Δ=0, то требуется дальнейшее исследование. Пример 2. Найти экстремумы функции

	x2	x2
u	1	2	, a 0, b 0
u	a	b	, a 0, b 0
	a	b

Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1.2.1):

2x1

2x2

решение которой дает нам x1 0,

Итак, получили одну стационарную точку Р0(0,0).

Вычислим частные производные второго порядка:

; B

; Ñ

x 2

и составим дискриминант = 4 / ab. Тогда, согласно достаточным условиям экстремума, имеем:

1)если a > 0, b > 0, то > 0, и функция u(x1,x2) имеет в точке Р0(0,0) минимум;

2)если a < 0, b < 0, то > 0 и функция u(x1,x2) имеет в точке Р0(0,0) максимум;

3)если a > 0, b < 0 или a < 0, b > 0, то и экстремума нет. Отметим, что поверхность

	x2		x2
u	1	2
	a		b

в первом и втором случае является эллиптическим параболоидом, а в третьем случае – гиперболическим параболоидом. В третьем случае точка Р0(0,0) является стационарной точкой типа «седло».

Условный экстремум. Рассмотрим частный случай задач на отыскание экстремальных значений функции

u = f(x1,x2, … ,xn)

на заданном множестве G точек n – мерного пространства.

Пусть необходимо найти точки условного локального экстремума функции

u= f(x1,x2, x3)	(1.2.2)
при условии, что
φ(x1,x2, x3)=0.	(1.2.3)

Уравнение связи (1.2.3) в данном случае есть уравнение поверхности в пространстве R3 (т.е. множество G – поверхность).

Точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) G называют точкой условного

локального максимума (минимума) функции (1.2.2), если существует такая окрестность точки М0, что для всех точек Мi этой окрестности (Мi М0), удовлетворяющих уравнению связи (1.2.3), выполняется неравенство

f (Mi ) f (M0 ), (f (Mi ) f (M0 )).

(1.2.4)

Чтобы найти условный локальный экстремум функции (1.2.2) при условии (1.2.3), составляют функцию Лагранжа

	L(x1, x2 , x3 , )	f (x1, x2 , x3 )	(x1, x2 , x3 ),	(1.2.5)
где	- неопределенный	постоянный	множитель,	называемый
множителем Лагранжа, и исследуют L(x1 , x2 , x3 , )				на обычный

экстремум. Необходимые условия условного локального экстремума сводятся к системе четырех уравнений

L	f		0,

x1	x1	x1
x1	x1	x1
L	f		0,

x2	x2	x2
x2	x2	x2	(1.2.6)
L	f		(1.2.6)
L	f		0,

x3	x3	x3
x3	x3	x3

(x1 , x2 , x3 ) 0.

Из этой системы находят неизвестные x1, x2 , x3 , , где x1 , x2 , x3 -

координаты точки, в которой возможен условный экстремум. Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением

знака второго дифференциала d 2 L для каждой «подозрительной» точки, если


	dx1			dx2			dx3	0,

x1			x2			x3		(1.2.7)
(dx2		+dx2	+dx2		0)
1		2	3

Пример 3. Найти условные экстремумы функции

u x12 x22 x32

при условии, что

x1 x2 x3 1 .

Решение. Первый способ. Из уравнения связи найдем x3 1 x1 x2

и результат подставим в функцию u. Получим

u x2	x2	(1 x x )2.
1	2	1	2

Ищем обычные экстремумы этой функции двух переменных:

					u		0				2x1		x2	1	0

					x1											î ò êóäà x		1	, x		=	1		.
					x1													1				1
																				2
					u												1	3		2		3
					u		0				x1		2x2	1	0			3				3

					x2
					x2
Найдем вторые производные:
					2u					4			A;	2u		= 2 = B;		2u	= 4 = C.
					x2					4			A;	x x		= 2 = B;		x2	= 4 = C.
				1										1	2			2
Так как
					= АС - B2 = 12 > 0, А > 0,
то в точке	M		(		1	,	1		)	функция u					x2	x2	(1	x	x )2				имеет
то в точке	M	0	(			,			)	функция u					x2	x2	(1	x	x )2				имеет
		0		3			3								1	2		1	2
				3			3
локальный минимум. Из этого следует, что функция u																			x2			x2		x2
																			1			2		3
имеет в	точке				Р (		1	,	1	,	1	) условный локальный						минимум						при
имеет в	точке				Р (			,		,		) условный локальный						минимум						при
				0			3		3	3

условии, что

x1 x2 x3 1 .

Второй способ. Составим функцию Лагранжа.

L(x , x , x , )			x2	x2	x2	(x x x 1).
1	2	3	1	2	3	1	2	3

Система (1.2.6) примет вид

L	2x1	0,	L	2x2		0,

x1			x2
x1			x2
L	2x3	0,	L	x1	x2	x3 1 0.

x3
x3

Решая эту систему, найдем

Источник: https://studfile.net/preview/16565974/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)