Материал: Методы оптимизации в примерах и задачах. Медведь Н.А., Фокин А.А

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2

, x =x

 

=x

 

=

1

.

 

2

3

 

3

1

 

3

 

 

 

 

Ответ: из геометрического смысла задачи ясно, что в точке

Р0 (13 , 13 , 13) данная функция имеет условный минимум.

Глобальные экстремумы дифференцируемой в ограниченной замкнутой области функции u=f(x1,x2,…,xn) достигаются или в стационарной или в граничной точках.

Пример 4. Найти глобальные экстремумы функции z x2 y2 xy x y

в области x

0, y

0, x+y - 3

 

 

Решение. Найдем стационарные точки:

 

z'

2x y 1 0,

z'

2 y x 1 0.

 

x

 

y

 

Отсюда х0= - 1, у0= - 1, т.е. М0 ( - 1; - 1) – единственная стационарная точка, а z(M0)= - 1. Исследование на экстремум не обязательно.

Исследуем функцию на границах области. При х=0 имеем функцию одной переменной z = y2+y, и задача сводится к отысканию глобальных экстремумов этой функции z на отрезке

3 x 0 . Проводя исследование, находим

 

 

 

(zmax )х 0

6

в точке М1 (-3, 0);

(zmin )x=0 = -

 

1

в точке М2 (-

 

1

, 0).

4

2

 

 

 

 

 

При у = 0

аналогично, исследуя функцию z = x2 + x,

найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

(zmax )y 0

6

в точке М3 (-3, 0);

(zmin )y=0 = 6

 

в точке М4 (-

1

, 0).

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

При х + у = - 3 имеем

18

(zmax )х y 3

6

в точке М1;

 

 

 

 

(zmin )x+y=-3 = -

3

 

в точке М6 (-

3

, -

3

).

4

 

2

2

 

 

 

 

 

Сопоставляя все полученные значения функции z, находим наибольшее значение zmax=6 достигается в граничных точках (0;-3) и (-3;0); наименьшее значение достигается в стационарной точке М0 ( - 1; - 1) и равно Zmin = - 1.

Задачи для самостоятельного решения

1.2.1. Найти экстремумы функции:

a) u = x2 - xy + y2 - 2x +y;

б) z = ( x2 + y2 ) e-(x2 +y2 ) ;

в)

z = ( x - 1 )2 + 4 - 2y2 ;

г)

z = ex-y ( x2 - 2y2 );

д) z = 2 - xy - 4x - 2y;

е) z = x3 + 8y3 - 6xy + 1;

ж) z = 3x2 - 2x y + y - 8x + 8; з) z = x2 - xy + y2 + 9x - 6y + 20;

и) z = yx - y2 - x + 6y;

к) z = 3xy - x2 y - xy2 .

1.2.2.Найти экстремумы функций трех переменных:

а) u = x2

+ x2

+ x2

- x x

2

+ x - 2x

3

;

1

 

2

 

3

 

1

1

 

б) u = x +

y2

 

+

z2

+

 

2

,

( x > 0, y > 0, z > 0);

4x

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) u = x - y2z3 ( 1 - x - 2y - 3z ), (x > 0, y > 0, z > 0).

1.2.3.Найти экстремум функции z x 2y

19

при условии

x2

 

 

y2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.4.

x2

 

 

y2

 

 

 

extr; 3x + 4y = 1.

 

 

 

 

 

 

1.2.5.

exy

 

 

 

extr, x + y = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.6.

5x2

 

4xy

 

y2

 

extr; x + y = 1.

1.2.7.

3x2

 

4xy

 

y2

x

 

 

 

 

extr;

x + y = 1.

1.2.8.

а)

1

 

+

1

 

 

extr;

1

 

 

+

1

 

 

=

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

x2

 

y2

a2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

x2

 

 

 

extr;

 

x4

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.9.

x

 

 

y

z

 

extr;

1

+

1

 

 

+

1

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

1.2.10.

a cos2 x + b cos2 y

 

extr;

y - z =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1.2.11.

y2

 

4z2

 

4 yz

 

2xz

 

2xy

 

 

 

 

 

extr;

 

2x2

+ 3y2

+ 6z2 = 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.12. xyz

 

 

 

extr;

x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8.

1.2.13.

ex1

 

x2

 

 

x

 

x

extr;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ x

2

1,

x

0, x

2

0.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.14.

x4

 

 

extr;

x2

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.15.Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот, который имеет наибольшую площадь.

1.2.16.Найти прямоугольный параллелепипед данной поверхности S, имеющий наибольший объем.

1.2.17.В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

1.2.18.На плоскости даны n материальных точек Р1(х1,у1), Р2(х2,у2),…, Рn(хn,уn) с массами, соответственно равными m1, m2,…,mn. При каком положении точки Р(х,у) момент инерции относительно точки Р будет наименьшим?

20

1.2.19.Представить положительное число а в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.

1.2.20.Найти оси эллипса

5x2 8xy 5 y2 9 .

1.2.21.Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин катетов равна заданному числу (задача Ферма).

1.2.22.Решить задачу о полиноме Лежандра второй степени:

1

(t2 x t

x )2 dt

inf

1

2

 

1

1.2.23. Решить задачу о полиноме Лежандра третьей степени:

1

(t3 x t2

x е

x )2 dt

inf

1

2

3

 

1

1.2.24. Среди всех дискретных случайных величин, принимающих n значений, найти случайную величину с наибольшей энтропией H. Энтропией совокупности положительных чисел р1, р2,…,рn, в сумме равных единице, называется число

n

Hpi ln pi .

i1

1.2.25.Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера).

1.2.26.Вписать в круг треугольник с максимальной суммой квадратов сторон.

2.Численные методы поиска экстремума

2.1. Одномерный поиск

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Рассмотрим для определенности задачу минимизации функции f.

Функция f называется унимодальной на [a,b], если существует единственная точка x* [a,b] , в которой f принимает

минимальное значение. Таким образом, если a<x1<x2<b, то из условия х1<x* следует неравенство f(x1)<f(x2), а из условия х1>x* - неравенство f(x1)>f(x2).

21

Унимодальная функция может иметь разрыв (т.е. не быть непрерывной), излом (т.е. быть не дифференцируемой), но не может содержать участков, где она постоянна.

Задача состоит в построении такой последовательности чисел {xk}, чтобы при некотором n минимальное значение функции

достигалось на интервале xn 1 x*

xn . Такой интервал называется

интервалом неопределенности.

 

Наиболее простая стратегия

поиска минимума – метод

дихотомии(деления отрезка пополам). Этот метод состоит в следующем.

Выберем достаточно малое >0 и вычислим

 

c

 

a b

 

,

d=

a+b+

 

,

 

 

(2.1.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

а

также значения f(с),

f(d).

Если

f (c)

f (d), то

положим

a1

a, b1 =d;

если f (c)

f (d), то положим a1

с,

b1 =d. Из

определения унимодальной функции следует, что a1

x*

b1.

 

Заменив в

(2.1.1.)

a на a1 , b

на

b1 , вычислим новые

значения c и d, a следовательно, и новый интервал неопределенности [a2 , b2 ] и т.д. Приближенная формула

x*

1

(a

b )

(2.1.2)

 

 

2

n

n

 

 

 

 

 

имеет погрешность , для которой справедлива оценка

 

1

2 (bn an ).

За минимальное значение функции f на [a,b] принимают число

f

an

bn

.

 

2

 

 

 

Менее трудоемкая процедура поиска минимума унимодальной функции достигается в методе золотого сечения.

Золотым сечением отрезка [a,b] называют деление отрезка на две части [a,z], [z,b] так, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к меньшей, т.е.

22

Источник: https://studfile.net/preview/16565974/

Смотрите также:

_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)