Материал: Методы статистического и интеллектуального анализа данных. Минаева Ю.В
1.4. Характеристики случайной выборки
1.4.1. Классификация численных характеристик выборки. Показатели центра распределения
Для выявления закономерностей распределения результатов наблюдений за исследуемым объектом или явлением необходимо определить ряд числовых показателей, описывающих особенности полученных статистических данных. Все числовые характеристики можно разделить на следующие группы:
–показатели центра распределения: среднее арифметическое, мода, медиана;
–показатели степени вариации: размах, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации;
–показатели формы распределения: показатели асимметрии и эксцесса, кривые распределения.
Показатели центра распределения определяются следующим образом:
1. Среднее арифметическое (математическое ожидание, выборочное среднее) – величина, определяемая по формуле:
–для вариационного ряда: 1 n
xn i 1xi ,
–для дискретного статистического ряда:
|
1 m |
|
m |
||
x |
|
|
niz(i) |
iz(i) . |
|
n i 1 |
|||||
|
i |
1 |
|||
– для интервального статистического ряда:
|
1 m |
|
m |
||
x |
|
|
ni z(i) |
i z(i) , |
|
n i 1 |
|||||
|
i |
1 |
|||
где z(i) – середина i–го интервала.
11
2. Мода – величина, которая в выборке встречается наиболее часто. Для статистического ряда мода соответствует варианту z(i) с наибольшей частотой, для интервального ряда
вначале необходимо определить модальный интервал, т.е. интервал с наибольшей частотой, а затем определить моду по следующей формуле (в случае равных интервалов):
xmod |
x0 |
L |
|
ns |
ns 1 |
, |
|
(ns |
ns 1) (ns ns 1) |
||||||
|
|
|
|
||||
где x0 – нижняя граница модального интервала, L – величина модального интервала, ns – частота модального интервала, ns 1 и ns 1 – частоты интервалов, расположенных до и после
модального интервала, соответственно.
3. Медиана – величина, которая находится в середине упорядоченного ряда, т.е. первая половина элементов ряда меньше медианы, а вторая – больше ее. Медиана определяется следующим образом:
– для вариационного ряда:
|
x(n 1) / 2 , |
|
если n |
нечетное число, |
|||
x med |
x |
n / 2 |
x |
n / 2 1 |
, |
если n |
четное число, |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
– для дискретного статистического ряда определяются индексы элементов, необходимых для вычисления xmed , а
сами элементы выбираются из соображений принадлежности индексов конкретному значению ряда (по частоте или накопленной частоте);
– для интервального статистического ряда вычисляется номер медианного элемента по формуле
s |
n 1 |
, |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
где квадратные скобки показывают, что берется целая часть значения внутри них, определяется интервал, содержащий данный элемент, а само значение медианы находится из соотношения
12
|
|
|
0.5 n |
n нак |
|
x med |
x 0 |
L |
|
s 1 |
, |
n s |
|
||||
|
|
|
|
|
где x0 – нижняя граница медианного интервала, L – величина медианного интервала, ns – частота медианного интервала,
нак |
– накопленная частота интервала, предшествующего |
ns 1 |
медианному.
Основное свойство медианы заключается в том, что
сумма абсолютных отклонений всех элементов выборки от медианы меньше, чем от любого другого значения.
Пример. Определить показатели центра распределения по данным интервального статистического ряда из табл. 3.
Найдем необходимые показатели по формулам для интервального статистического ряда:
– среднее арифметическое: m
xi z(i) 
i1
3.20 |
0.2 |
3.76 |
0.1 |
4.32 |
0.2 |
4.88 |
0.25 |
6.00 |
0.1 |
4.516 |
||||||||||
– мода: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xmod |
x0 |
|
L |
|
|
|
|
ns |
|
ns 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
(ns |
ns 1) (ns |
|
ns 1) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
4.60 |
0.56 |
|
|
|
5 |
4 |
|
|
|
|
4.79 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
(5 |
4) |
(5 |
3) |
|
|
|
|
|
||||||||||
– медиана: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
s |
|
n |
1 |
|
|
|
20 |
1 |
10, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0.5 n |
|
нак |
|
|
|
|
|
|
0.5 20 |
6 |
|
|
|||||
xmed |
x0 |
L |
ns |
1 |
|
|
4.04 |
|
0.56 |
|
4.60 |
|||||||||
|
ns |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13
1.4.2. Показатели степени вариации
Средняя величина дает некую обобщенную характеристику изучаемого объекта или явления. Но для более полного описания необходимо знать степень разбросанности элементов выборки вокруг среднего значения. С этой целью определяются следующие показатели вариации:
1. Вариационный размах (амплитуда колебаний) –
разница между максимальным ( xmax ) и минимальным ( xmin ) элементами выборки:
Rxmax xmin .
2.Выборочная дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений значений отдельных элементов выборки от их средней величины:
– для вариационного ряда:
21 n (xi x)2 , n i 1
–для дискретного статистического ряда:
2 |
|
1 m |
x)2 ni |
m |
x)2 |
|
|||
|
|
|
|
(z(i) |
(z(i) |
i , |
|||
|
|
n i |
|||||||
|
|
1 |
|
i 1 |
|
|
|||
– для интервального статистического ряда: |
|||||||||
|
2 |
1 |
m |
x)2 ni |
m |
x)2 |
|
||
|
|
|
|
(zi |
(zi |
i , |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n i 1 |
|
i 1 |
|
|
||
3. Выборочное среднее квадратичное отклонение:
2 .
Среднее квадратичное отклонение играет важную роль в анализе статистических данных. Так, для большинства унимодальных распределений выполняется правило трех сигм, согласно которому 99.7% наблюдений принадлежат интервалу
(x 3 , x 3 ) .
4. Коэффициент вариации – применяется для сравнения стандартных отклонений нескольких выборок:
14
V x 100%
Пример. Определить показатели вариации по данным интервального статистического ряда из табл. 3.
Найдем необходимые показатели по формулам для интервального статистического ряда:
– вариационный размах:
R xmax xmin 6.28 2.92 3.36 ,
– выборочная дисперсия:
|
|
|
2 |
m |
|
x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(zi |
i |
|
|
|
|||
|
|
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.20 |
4.516)2 |
0.2 |
(3.76 |
4.516)2 |
0.1 |
||||||
(4.32 |
4.516)2 |
0.2 |
(4.88 |
|
4.516)2 |
0.25 |
|||||
(5.44 |
4.516)2 |
0.15 |
(6.00 |
4.516)2 |
0.1 |
0.346 |
|||||
– выборочное среднее квадратичное отклонение:
2 |
0.346 0.589 |
, |
|
– коэффициент вариации:
V0.5894.516 
100% 13.04% .
1.4.3.Показатели формы распределения
Показатели центра распределения и степени вариации не дают никакой информации о форме распределения результатов наблюдений. Для выявления формы используются следующие основные показатели:
1. Квантили (градиенты) – значения, разделяющие элементы выборки на группы определенного объема.
В зависимости от размера групп выделяют следующие квантили:
15