Материал: Методы статистического и интеллектуального анализа данных. Минаева Ю.В
– квартили – значения Q1,Q2 , Q3 , разделяющие элементы выборки на 4 группы одинакового размера; точка Q1
– нижний квартиль – отделяет 1/4 элементов выборки с наименьшими значениями, Q2 – второй (центральный)
квартиль – равен медиане выборки, Q3 – верхний квартиль –
отсекает 1/4 элементов с наибольшими значениями;
– квинтили, децили, процентили – значения,
разделяющие выборку на 5, 10 и 100 частей, соответственно.
2. Моменты распределения используются для более подробного описания формы распределения. Наиболее часто используется центральные моменты k–го порядка,
определяемые по формуле:
1
k n
n |
|
k n . |
x |
x |
|
i |
|
i |
i 1 |
|
|
Моменты распределения имеют важное значение при анализе статистических данных и используются как
самостоятельно (например, |
2 ), так и для определения |
|
2 |
других характеристик.
3. Кривые распределения графически выражают закономерности распределения элементов выборки.
Кривые распределения бывают симметричные и асимметричные. В зависимости от того, какая ветвь кривой вытянута, различают правостороннюю и левостороннюю
асимметрию (рис. 4).
16
а |
б |
Рис. 4. Кривые распределения с левосторонней (а) и правосторонней (б) асимметрией
Для проверки симметричности кривых используются следующие условия и показатели:
1. Условие равенства среднего арифметического значения, моды и медианы:
x xmod xmed .
Если соотношение нарушено, то это свидетельствует о
наличии асимметрии распределения. Так, при xmod |
xmed |
x |
|
асимметрия правосторонняя, а при |
xmod |
xmed |
x |
асимметрия левосторонняя.
2. Условие равенства нулю центрального момента 3–го порядка:
3 0 .
Для характеристики асимметрии используется коэффициент асимметрии, равный отношению центрального момента 3–го порядка к среднему квадратичному отклонению в кубе
1 33 .
17
|
|
|
Для |
симметричных |
распределений |
1 |
|
3 |
0 . |
При |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 0 |
( |
3 |
0 ) |
распределение |
имеет |
левостороннюю |
|||||||||||
асимметрию, при |
1 |
0 ( |
3 0 ) |
– правостороннюю. |
Если |
||||||||||||
|
3 |
0.5 |
, |
то |
асимметрия |
|
считается значительной, |
при |
|||||||||
|
3 |
|
0.25 – незначительной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Для |
определения островершинности |
симметричного |
||||||||||||
распределения используется коэффициент эксцесса: |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
При |
|
нормальном |
распределении |
|
2 |
|
0 , |
при |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
островершинном |
2 |
0 , при плосковершинном |
2 |
|
0 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1.4.4. Функция |
распределения |
и |
|
плотность |
||||||||||
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассмотренные числовые показатели описывают отдельные характеристики распределения значений элементов внутри выборки. Математическими моделями, полностью представляющими зависимости между элементами выборки, являются выборочная функция распределения и выборочная плотность распределения.
Выборочная (эмпирическая) функция распределения
используется, как правило, для описания дискретных рядов небольшого объема и определяется по формуле
F(x) |
n x |
, |
|
n |
|||
|
|
где nx – количество элементов выборки, меньших х. Таким образом, F(x) есть относительная частота появления события A (X x) , заключающегося в том, что случайная величина Х
будет меньше значения х в n независимых испытаниях. Аналитически функция распределения задается
следующим образом:
18
0, |
x |
x1, |
i |
1 |
|
F(x) |
j, xi |
1 x xi , i 2,...,n, |
j |
1 |
|
1, |
x |
x n |
Как видно из формулы, график эмпирической функции распределения имеет ступенчатую форму (рис. 5).
1 |
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
… |
|
x |
|
x1 x2 |
x n |
Рис. 5. График эмпирической функции распределения
Выборочная (эмпирическая) плотность распределения
применяется для описания интервального статистического ряда и определяется следующим образом:
p(x) |
ni |
, |
n Li |
||
где Li – длина i–го интервала; |
если длина интервалов |
|
одинакова, то Li L .
Графиком плотности распределения является
нормированная гистограмма относительных частот, которая отличается от ненормированной наличием в знаменателе дроби длины интервала.
19
Точность эмпирической функции распределения и эмпирической плотности распределения возрастает с увеличением объема случайной выборки и при n 
стремится к теоретическим функциональным характеристикам генеральной совокупности.
1.5. Проверка статистических гипотез
Статистическая гипотеза – это предположение о виде или отдельных параметрах распределения значений выборки, которое необходимо проверить.
В зависимости от содержания гипотезы можно разделить на две группы:
–параметрические – содержат утверждения о параметрах генеральной совокупности;
–непараметрические – содержат утверждения обо всем распределении случайной величины.
Процедура проверки гипотезы включает следующие основные этапы:
1. Формулируется основная (нулевая) гипотеза H0 и отрицающая ее альтернативная гипотеза H1 . Как правило, H0 заключается в том, что все значения выборки случайны и никаких взаимосвязей между ними нет, а гипотеза H1
предполагает наличие закономерностей в экспериментальных данных.
2.Принимается уровень значимости гипотезы 
– вероятность ошибочного вывода, когда будет отвергнута
верная гипотеза. Как правило, 
принимает стандартные значения 0.05, 0.01 или 0.005.
3.Выбирается критерий К, позволяющий сравнить выдвинутые гипотезы на предмет их противоречивости выборочным данным.
4. Для гипотезы определяется критическая область – набор значений критерия К, при которых верная гипотеза
20