Краснодарский университет МВД России
Е. В. Михайленко
МАТЕМАТИКА
Часть 1 Элементы общей алгебры
Курс лекций
Краснодар
2019
УДК 512 |
Одобрено |
ББК 22.14 |
редакционно-издательским советом |
М69 |
Краснодарского университета |
|
МВД России |
Рецензенты:
С. В. Крыгин (Нижегородская академия МВД России); П. Н. Жукова, доктор физико-математических наук, доцент (Белгородский
юридический институт МВД России имени И.Д. Путилина); К. А. Стаценко (Главное управление МВД России по Краснодарскому
краю).
Михайленко Е. В.
М69 Математика. Часть 1. Элементы общей алгебры : курс лекций / Е. В. Михайленко. – Краснодар : Краснодарский университет МВД России, 2019. – 120 с.
ISBN 978-5-9266-1506-4
В курсе лекций рассматриваются разделы общей алгебры: теория множеств, теория чисел, многочлены, матричное исчисление, векторная алгебра, комбинаторный анализ, алгебраические структуры.
Для профессорско-преподавательского состава, адъюнктов, курсантов, слушателей образовательных организаций МВД России и сотрудников органов внутренних дел Российской Федерации.
УДК 512
ББК 22.14
ISBN 978-5-9266-1506-4 |
© Краснодарский университет |
|
МВД России, 2019 |
|
© Михайленко Е. В., 2019 |
|
2 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Глава 1. Элементы теории множеств ........................................................................ |
5 |
1.1. Множества ......................................................................................................... |
5 |
1.2. Операции над множествами............................................................................. |
6 |
1.3. Числовые множества ...................................................................................... |
10 |
14. Множество действительных чисел................................................................. |
12 |
1.5. Множество комплексных чисел.................................................................... |
16 |
1.6. Системы счисления......................................................................................... |
26 |
Глава 2. Теория чисел............................................................................................... |
30 |
2.1. Основные понятия теории чисел................................................................... |
30 |
2.2. Делители и кратные........................................................................................ |
31 |
2.3. Простые числа................................................................................................. |
33 |
2.4. Функции теории чисел.................................................................................... |
35 |
2.5. Сравнения ........................................................................................................ |
38 |
2.6. Классы вычетов............................................................................................... |
40 |
2.7. Взаимно простые числа.................................................................................. |
41 |
2.8. Решение сравнений......................................................................................... |
43 |
Глава 3. Многочлены................................................................................................ |
46 |
3.1. Понятие полинома .......................................................................................... |
46 |
3.2. Операции над многочленами......................................................................... |
48 |
3.3. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля........................................................ |
51 |
3.4. Корни многочленов......................................................................................... |
53 |
Глава 4. Матрицы и определители .......................................................................... |
57 |
4.1. Основные понятия матричного счисления................................................... |
57 |
4.2. Операции над матрицами............................................................................... |
61 |
4.3. Определители.................................................................................................. |
65 |
4.4. Ранг матрицы................................................................................................... |
72 |
4.5. Обратная матрица ........................................................................................... |
74 |
Глава 5. Векторная алгебра...................................................................................... |
76 |
5.1. Основные определения вектрной алгебры................................................... |
76 |
3 |
|
2. Координаты вектора .......................................................................................... |
79 |
5.3. Векторные произведения ............................................................................... |
83 |
Глава 6. Комбинаторика........................................................................................... |
90 |
6.1. Комбинаторные задачи................................................................................... |
91 |
Правила умножения и сложения.............................................................................. |
92 |
6.2. Комбинаторные конфигурации без повторений.......................................... |
94 |
6.3. Комбинаторные конфигурации с повторениями....................................... |
101 |
6.4. Разбиения....................................................................................................... |
106 |
Глава 7. Алгебраические структуры...................................................................... |
109 |
7.1. Отображения и операции............................................................................. |
109 |
7.2. Свойства алгебраических операций............................................................ |
110 |
7.3. Алгебраические структуры.......................................................................... |
112 |
7.4. Кольца, тела, поля......................................................................................... |
115 |
Литература ............................................................................................................... |
117 |
4
Глава 1. Элементы теории множеств 1.1. Множества
Понятие «множество» является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство, коллекция, ... ) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве точек отрезка, о множестве вершин четырехугольника, о множестве корней уравнения x2 3x 4 0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A,B,C, ... , а их элементы – малыми буквами a,b,c, ...
Запись a A (читается: a принадлежит A) или A a (читается: A содержит a ) означает, что a есть элемент множества A. Записи a A (a не принадлежит A) означает, что a не является элементом множества A.
Множество может содержать любое число элементов, конечное и бесконечное.
Множество, не содержащее ни одного, элемента, называется пустым и обозначается символом .
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.
Пример 1.1.
1. Запись A 1;2;5 означает, что множество A состоит из трех чисел - 1, 2 и 5.
2. Запись A x | 0 x 3 означает, что множество A состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 0 x 3.
Для графического (наглядного) изображения множеств и их свойств используются диаграммы Эйлера – Венна (Леонард Эйлер (1707-1783) – швей-
5