Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

царский математик, механик и физик; Джон Венн (1834 - 1923) – английский логик). На них множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера).

1.2.Операции над множествами

1.Пусть даны два произвольных множества A и B . Прямым

произведением множеств A и B называется упорядоченное множество всех пар элементов a;b таких, что a принадлежит множеству A, а b – множеству B .

A B 1; 1; 1;2 ; 1; 1; 1;2 ; 3; 1; 3;2 .

Множество A B изображено на рисунке 1.1.

6

Пример 1.5. Для множеств A 1;2;3 и B 0;2;5;6 вычислить A B .

Решение. A B 1;2;3 0;2;5;6 1;0;2;3;5;6 .

Пример 1.6. Для множеств A 1;2;3 , B 0;2;5;6 вычислить A B .

Решение. A B 1;2;3 0;2;5;6 2 .

4. Пусть даны два произвольных множества A и B . Разностью множеств A и B называется множество C , состоящее только из тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B .

7

Пример 1.7. Для множествA 1;2;3 и B 0;2;5;6 вычислить A \ B и

B \ A.

Решение.

A \ B 1;2;3 \ 0;2;5;6 1;3 , B \ A 0;2;5;6 \ 1;2;3 0;5;6 .

5. Пусть даны два произвольных множества A и B . Симметрической разностью множеств A и B называется множество C , включающее все элементы множеств A и B , и не содержащее элементы принадлежащие

Пример 1.8. Для множествA 1;2;3 и B 0;2;5;6 вычислить A B .

Решение.

A B A B \(A B) 1;0;2;3;5;6 \ 2 1;0;3;5;6 .

6. Пусть дано произвольное множество A . Дополнение множества A – это множество всех элементов, не принадлежащих множеству A.

Универсальное множество U , как правило, изображается множеством точек некоторого прямоугольника.

Для множеств существует понятие мощность. Для конечных множеств

Множество A не содержит ни одного элемента, следовательно, A 0.

Множество B содержит один элемент, следовательно, B 1.

8

Множество C содержит четыре элемента, следовательно, С 4.

Свойства операций над множествами

Пусть дано универсальное множество U . Тогда для любых множеств A,B,C (A,B,C U ) справедливы следующие свойства множеств:

1.Если A B и B C , то A C (транзитивность);

2.Если A B и B A, то A B ;

3.Если A B , то A B A;

4.Если A B , то A B B ;

5.A A A (идемпотентность объединения);

6.A A A (идемпотентность пересечения);

7.A U U (свойство единицы);

8.A U A (свойство единицы);

9.A A (свойство нуля);

10.A (свойство нуля);

11.A \ A ;

12.A B B A (коммутативность объединения);

13.A B C A B C (ассоциативность объединения);

14.A B B A (коммутативность пересечения);

15.A B C A B C (ассоциативность пересечения);

18.A \(B C) (A \ B) (A \C);

19.A \(B C) (A \ B) (A \C);

20.A B A A (поглощение);

21.A B A A (поглощение);

22.A A (свойство двойного дополнения);

9

23.A B A B (закон де Моргана);

24.A B A B (закон де Моргана);

25.A A U (свойство дополнения);

26.A A (свойство дополнения);

27.A \ B A B .

1.3. Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Рассмотрим основные числовые множества, а также установим связи между ними.

N 1; 2; 3;...; n;... –множество натуральных чисел;

Z0 0;1;2;3;...; n;... – множество целых неотрицательных чисел;

Z ...; n;...; 2; 1;0;1;2;3;...; n;... – множество целых чисел;

Qmn : m Z,n N – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Очевидно, что имеет место включение N Z0 Z Q R .

I R \Q – множество иррациональных чисел.

г) Множество иррациональных чисел: tg3; ln5; e; .

10