Контрольная работа: Множественная линейная регрессия

Множественная линейная регрессия

Задача 1. Множественная линейная регрессия

- объём продаж товара А, ед. (или спрос);- средний доход потребителя, тыс. руб.;- цена товара А, руб.;- цена товара Б, руб.;

1. Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения;

2. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов, дайте экономическую интерпретацию полученных результатов. Рассчитайте интервальные оценки его коэффициентов и дайте им экономическую интерпретацию;

3. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности;

4. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставьте результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии;

5. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

6. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Сделайте вывод о силе связи результата и факторов. Определите критическое значение r_кр для выборочных парных коэффициентов корреляции по таблице Фишера-Йетса и проверьте значимость каждого из коэффициентов на уровне значимости a=0,05.

7. Выберите лучшую факторную переменную из рассмотренных и обоснуйте свой выбор.

Выясните, является ли товар А высокоэластичным или низкоэластичным? Ценным? Традиционным? Взаимодополняющим или взаимозамещающим по отношению к товару Б?

Решение:

1. Вычислим описательные статистики

Коэффициент вариации факторных переменных d и р больше 0,33 значит по данным признакам совокупность не однородна. Коэффициент вариации факторных переменных q меньше 0,33 значит по данным признакам совокупность однородна.

Закон нормального распределения признаков говорит о том, что мода и медиана очень близки друг к другу, такое распределение считается нормальным.

Значения эксцесса отличны от 0, что не удовлетворяет условиям нормального распределения. Но в целях изучения мы проведем исследование.

Значения асимметрии считаются нормальными если они близки к 0. Наиболее близок к этому значению р - цена товара А.

1. Построим уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов

Уравнение регрессии имеет вид:

у = 1,221 + 0,201d - 0,219p - 0,303q

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж возрастает на 0,201 руб. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,219 руб. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,303 руб.

Рассчитаем интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии.

С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,151руб. или увеличится как максимум на 0,552. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,451руб. или увеличится как максимум на 0,014. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшится максимум на 0,683руб или увеличится как максимум на 0,077руб.

В границы доверительных интервалов всех переменных попадает 0, это свидетельствует о статистической незначимости и ненадежности рассматриваемых коэффициентов.

1. Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением дохода на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж увеличивается на 0,166% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар А на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,389% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар В на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,383% от своего среднего уровня.

Наиболее сильное влияние на объем продаж оказывает цена товара А, наименьшее доход потребителя.

3. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставим результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии.

Находим наблюдаемое и фактическое значение критерия Фишера_табл(α=0,05)=4,12_факт = 11,988_табл<F_набл то уравнение в целом статистически значимо и надежно

Проверим значимость параметров с помощью критерия Стьюдента

Найдем t_крит(α=0,05; f=32)=2,0423_крит>t_набл для переменных d, р, q значит эти коэффициенты регрессии незначимы и ненадежны.

. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 15.2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

5. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции.

Проверим значимость коэффициентов корреляции на уровне значимости α=0,05.

Рассчитаем фактические значения критериев по формуле:

Табличное(критическое) значение статистики Стьюдента, определенное на уровне значимости α=0,05 при числе степеней свободы f=32равно:_крит(α=0,05; f=32)= 2,0423

По критерию t все коэффициенты значимы.

По матрице коэффициентов видим, что наибольшее влияние на объем продаж оказывает цена товара Б, наименьшее доход потребителя.

Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,75, то есть связь между спросом (у) и включенными в модель факторами (х) высокая.

Коэффициент детерминации  значит вариация спроса s на 56,2% объясняется вариацией включенных в модель факторов и на 43,8% зависит от других факторов

6. Рассчитаем значения коэффициентов детерминации R² объясняющих переменных по всем остальным переменным, то есть в качестве зависимой переменной выбираем последовательно все переменные: s, d, p, q все остальные объясняющие переменные в качестве независимых.

Анализ оценок детерминации показал наличие тесной связи между объясняющей переменной q и всеми остальными признаками.

Лучшая факторная переменная q так как от нее в большей степени зависит изменение s.

Эластичность по модулю больше 1 значит товар высокоэластичный.

Товары А и Б могут являться взаимодополняемыми, но не являются взаимозаменяемыми так как коэффициенты эластичности изменяются однонаправлено, так как все коэффициенты регрессии показывают, что связь между ценой товара А и остальными факторами сильная, то товар традиционен, и так как коэффициенты эластичности по модулю меньше 1 значит товар не ценен.

Задача 2. Парная регрессия