Контрольная работа: Множественная линейная регрессия, страницы 11-14

Таблица 2. Расчётная таблица

	Y	x	xY	Y2	x2	Ŷх	Y- Ŷх	(Y- Ŷх)2
1	-1,050	1,33	-1,396	1,102	1,769	-0,720	-0,329	0,314	0,109	-0,692	0,479
2	-0,236	1,01	-0,238	0,056	1,020	-0,405	0,169	0,718	0,029	0,122	0,015
3	-0,073	0,85	-0,062	0,005	0,723	-0,247	0,175	2,405	0,030	0,285	0,081
4	0,405	1,2	0,487	0,164	1,440	-0,592	0,998	2,461	0,995	0,763	0,583
5	-0,755	1,24	-0,936	0,570	1,538	-0,632	-0,123	0,163	0,015	-0,397	0,158
6	-1,022	1,32	-1,349	1,044	1,742	-0,711	-0,311	0,305	0,097	-0,664	0,440	0,077	0,56	0,043	0,006	0,314	0,039	0,038	0,495	0,001	0,435	0,189
8	0,174	0,3	0,052	0,030	0,090	0,295	-0,121	0,697	0,015	0,532	0,283
9	0,140	0,41	0,057	0,020	0,168	0,187	-0,047	0,336	0,002	0,498	0,248
10	0,095	0,54	0,051	0,009	0,292	0,059	0,037	0,386	0,001	0,453	0,205
11	-0,139	0,92	-0,128	0,019	0,846	-0,316	0,177	1,270	0,031	0,219	0,048
12	-0,446	1,14	-0,509	0,199	1,300	-0,533	0,087	0,194	0,008	-0,088	0,008
13	-0,416	1,13	-0,470	0,173	1,277	-0,523	0,108	0,000	0,012	-0,058	0,003
14	-0,357	1,1	-0,392	0,127	1,210	-0,494	0,137	0,384	0,019	0,001	0,000
15	0,010	0,72	0,007	0,000	0,518	-0,119	0,129	12,951	0,017	0,368	0,135
16	0,010	0,71	0,007	0,000	0,504	-0,109	0,119	11,960	0,014	0,368	0,135
17	0,030	0,66	0,020	0,001	0,436	-0,060	0,089	3,022	0,008	0,388	0,150
18	-1,171	1,35	-1,581	1,372	1,823	-0,740	-0,431	0,368	0,186	-0,813	0,661
19	-1,139	1,33	-1,515	1,298	1,769	-0,720	-0,419	0,368	0,176	-0,781	0,611
20	-0,868	1,27	-1,102	0,753	1,613	-0,661	-0,206	0,238	0,043	-0,510	0,260
21	-0,654	0,33	-0,216	0,428	0,109	0,266	-0,920	1,406	0,846	-0,296	0,088
22	-0,693	1,23	-0,853	0,480	1,513	-0,622	-0,071	0,103	0,005	-0,335	0,112
23	-0,211	0,98	-0,207	0,044	0,960	-0,375	0,165	0,781	0,027	0,147	0,022
24	-0,288	1,05	-0,302	0,083	1,103	-0,444	0,157	0,544	0,025	0,070	0,005
25	-0,020	0,76	-0,015	0,000	0,578	-0,158	0,138	6,839	0,019	0,338	0,114
26	-0,041	0,8	-0,033	0,002	0,640	-0,198	0,157	3,845	0,025	0,317	0,101
27	-0,073	0,83	-0,060	0,005	0,689	-0,227	0,155	2,133	0,024	0,285	0,081
28	-0,151	0,94	-0,142	0,023	0,884	-0,336	0,185	1,227	0,034	0,207	0,043
29	-0,315	1,06	-0,334	0,099	1,124	-0,454	0,139	0,443	0,019	0,043	0,002
30	-0,942	1,29	-1,215	0,887	1,664	-0,681	-0,261	0,277	0,068	-0,584	0,341
31	-0,799	1,26	-1,006	0,638	1,588	-0,651	-0,147	0,184	0,022	-0,441	0,194
32	-0,545	1,19	-0,648	0,297	1,416	-0,582	0,038	0,069	0,001	-0,187	0,035
итого	-11,459	30,810	-13,983	9,933	32,656	-11,467	0	56,886	2,921	0	5,830
в среднем	-0,358	0,963	-0,437	0,310	1,021	-0,358	0	1,778	0,091	0	0,182

по методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на x имеет вид:

Ŷ_х= 0,591 - 0,986х

Выполнив его потенцирование, получим:

ŷ_х=е^0,591·е^-0,986хили ŷ_х=1,799·0,375^х

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) сильная.

Определим индекс детерминации:

Итак, 49,9% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией цены товара и на 50,1% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 177,8%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,95% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н₀: уравнение регрессии незначимо; Н₁: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 31)=4,17.

Так как F_факт>F_табл (29,9>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь полулогарифмическая, тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷ_х=а+blnx, у=а+bХ, где X=lnx;

Составим расчётную таблицу 3.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии y на X имеет вид:

ŷ_Х= 0,715 - 0,436Х или ŷ_х= 0,715 - 0,436lnх

Таблица 3. Расчётная таблица

№	y	X	Xy	y2	X2	ŷх	y-ŷх	(y-ŷх)2
1	0,35	0,285	0,100	0,123	0,081	0,591	-0,241	0,688	0,058	-0,411	0,169
2	0,79	0,010	0,008	0,624	0,000	0,711	0,079	0,100	0,006	0,029	0,001
3	0,93	-0,163	-0,151	0,865	0,026	0,786	0,144	0,155	0,021	0,169	0,029
4	1,5	0,182	0,273	2,250	0,033	0,636	0,864	0,576	0,747	0,739	0,546
5	0,47	0,215	0,101	0,221	0,046	0,621	-0,151	0,322	0,023	-0,291	0,085
6	0,36	0,278	0,100	0,130	0,077	0,594	-0,234	0,650	0,055	-0,401	0,161
7	1,08	-0,580	-0,626	1,166	0,336	0,968	0,112	0,104	0,013	0,319	0,102
8	1,19	-1,204	-1,433	1,416	1,450	1,240	-0,050	0,042	0,002	0,429	0,184
9	1,15	-0,892	-1,025	1,323	0,795	1,104	0,046	0,040	0,002	0,389	0,151
10	1,1	-0,616	-0,678	1,210	0,380	0,984	0,116	0,106	0,014	0,339	0,115
11	0,87	-0,083	-0,073	0,757	0,007	0,751	0,119	0,136	0,014	0,109	0,012
12	0,64	0,131	0,084	0,410	0,017	0,658	-0,018	0,028	0,000	-0,121	0,015
13	0,66	0,122	0,081	0,436	0,015	0,662	-0,002	0,003	0,000	-0,101	0,010
14	0,7	0,095	0,067	0,490	0,009	0,673	0,027	0,038	0,001	-0,061	0,004
15	1,01	-0,329	-0,332	1,020	0,108	0,858	0,152	0,150	0,023	0,249	0,062
16	1,01	-0,342	-0,346	1,020	0,117	0,864	0,146	0,144	0,021	0,249	0,062
17	1,03	-0,416	-0,428	1,061	0,173	0,896	0,134	0,130	0,018	0,269	0,072
18	0,31	0,300	0,093	0,096	0,090	0,584	-0,274	0,884	0,075	-0,451	0,203
19	0,32	0,285	0,091	0,102	0,081	0,591	-0,271	0,846	0,073	-0,441	0,194
20	0,42	0,239	0,100	0,176	0,057	0,611	-0,191	0,454	0,036	-0,341	0,116
21	0,52	-1,109	-0,577	0,270	1,229	1,198	-0,678	1,305	0,460	-0,241	0,058
22	0,5	0,207	0,104	0,250	0,043	0,625	-0,125	0,249	0,016	-0,261	0,068
23	0,81	-0,020	-0,016	0,656	0,000	0,724	0,086	0,106	0,007	0,049	0,002
24	0,75	0,049	0,037	0,563	0,002	0,694	0,056	0,075	0,003	-0,011	0,000
25	0,98	-0,274	-0,269	0,960	0,075	0,835	0,145	0,148	0,021	0,219	0,048
26	0,96	-0,223	-0,214	0,922	0,050	0,812	0,148	0,154	0,022	0,199	0,040
27	0,93	-0,186	-0,173	0,865	0,035	0,796	0,134	0,144	0,018	0,169	0,029
28	0,86	-0,053	0,740	0,004	0,742	0,118	0,137	0,014	0,099	0,010
29	0,73	0,058	0,043	0,533	0,003	0,690	0,040	0,055	0,002	-0,031	0,001
30	0,39	0,255	0,099	0,152	0,065	0,604	-0,214	0,549	0,046	-0,371	0,138
31	0,45	0,231	0,104	0,203	0,053	0,614	-0,164	0,365	0,027	-0,311	0,097
32	0,58	0,174	0,101	0,336	0,030	0,639	-0,059	0,102	0,003	-0,181	0,033
итого	24,350	-3,382	-4,809	21,345	5,490	24,354	0	8,986	1,842	0	2,816
в среднем	0,761	-0,106	-0,150	0,667	0,172	0,761	0	0,281	0,058	0	0,088

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 34,6% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией дохода потребителя и на 65,4% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 28,1%, что превышает допустимые пределы 8% - 10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать уравнение не удачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением (уменьшением) цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшатся (увеличатся) на 0,453% от своего среднего уровня.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера. Выдвигаем гипотезы: Н₀: уравнение регрессии незначимо; Н₁: уравнение регрессии значимо; Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17. Так как F_факт>F_табл (15,9>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Составим сравнительную таблицу полученных оценок:

Показатели	Уравнения регрессий
	Линейное ŷх=1,393 - 0,656х	Степенное ŷх= 0,656 · х -0,638	Показательное ŷх=1,799·0,375 х	Полулогарифмическое ŷх = 0,715 - 0,436lnх
Коэффициент (индекс) корреляции	-0,676	0,598	0,706	0,588
Коэффициент (индекс) детерминации	0,457	0,358	0, 499	0,346
Средняя ошибка аппроксимации	21,2%	325,7%	177,8%	28,1%
Коэффициент эластичности	-0,83%	-0,638%	-0,95%	-0,453%
Значимость по F-критерию	Значимо Fфакт= 25,2	Значимо Fфакт=16,729	Значимо Fфакт=29,9	Значимо Fфакт=15,9

Уравнение линейной регрессии является лучшим т.к. средняя ошибка аппроксимации в нём меньше чем в других. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня по уравнению линейной регрессии:

ŷ_х= 1,393 - 0,656х;

;

ŷ_х= 1,393 - 0,656∙1,011 = 0,73

Если прогнозное значение цены товара увеличится на 5% от среднего уровня, т.е. станет равной 1,011 руб. то средние затраты на продукты питания увеличатся и станут составлять 0,73 тыс. руб.

Контрольная работа: Множественная линейная регрессия

Смотрите также: