Контрольная работа: Множественная линейная регрессия, страницы 6-10

уравнение регрессия линейный корреляция

Примите за результативную переменную - переменную, рассмотренную в задаче 1, а за факторную переменную - лучшую факторную переменную, выбранную в задаче 1.

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии и нанесите его на поле корреляции.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

6. С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

7. С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

8. Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Рассчитайте параметры уравнений:

1 степенной регрессии;

2 экспоненциальной (показательной) регрессии;

3 полулогарифмической регрессии;

Каждое из построенных уравнений нанесите на поле корреляции и для него:

1. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

2. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

3. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

4. С помощью t-критерия Стьюдента оцените статистическую надёжность показателей регрессионного моделирования.

5. С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

6. Проверьте разложение общей суммы квадратов отклонений зависимой переменной у от своего среднего значения (ТSS) на два слагаемых - «объяснённую» (или регрессионную) сумму квадратов отклонений (ЕSS) и «необъяснённую» (или остаточную) сумму квадратов отклонений (RSS).

Результаты вычислений внесите в сводную таблицу.

По значениям характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня.

Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.

№	Объем продаж, ед. y	Цена товара, руб. x
1	0,35	1,33
2	0,79	1,01
3	0,93	0,85
4	1,50	1,20
5	0,47	1,24
6	0,36	1,32
7	1,08	0,56
8	1,19	0,30
9	1,15	0,41
10	1,10	0,54
11	0,87	0,92
12	0,64	1,14
13	0,66	1,13
14	0,70	1,10
15	1,01	0,72
16	1,01	0,71
17	1,03	0,66
18	0,31	1,35
19	0,32	1,33
20	0,42	1,27
21	0,52	0,33
22	0,50	1,23
23	0,81	0,98
24	0,75	1,05
25	0,98	0,76
26	0,96	0,80
27	0,93	0,83
28	0,86	0,94
29	0,73	1,06
30	0,39	1,29
31	0,45	1,26
32	0,58	1,19

Решение:

Строим поле корреляции:

2. Предположим, что между х и у связь линейная, тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷ_х=а+bx. Для нахождения его параметров составим расчётную таблицу 1:

ŷ_х= 1,393 - 0,656х - уравнение линейной регрессии.

Итак, с увеличением цены товара на 1 руб. средний объем продаж уменьшается в среднем на 0,656руб.

Таблица 1. Расчётная таблица

	у	х	у2	х2	xy	ŷх	y-ŷх	(y-ŷх)2	ŷх -`y	(ŷх -`y)2	у -`y	(у -`y)2
1	0,35	1,33	0,123	1,769	0,466	0,521	-0,171	0,029	-0,240	0,058	-0,411	0,169	0,487
2	0,79	1,01	0,624	1,020	0,798	0,730	0,060	0,004	-0,031	0,001	0,029	0,001	0,075
3	0,93	0,85	0,865	0,723	0,791	0,835	0,095	0,009	0,074	0,006	0,169	0,029	0,102
4	1,5	1,2	2,250	1,440	1,800	0,606	0,894	0,800	-0,155	0,024	0,739	0,546	0,596
5	0,47	1,24	0,221	1,538	0,583	0,580	-0,110	0,012	-0,181	0,033	-0,291	0,085	0,233
6	0,36	1,32	0,130	1,742	0,475	0,527	-0,167	0,028	-0,234	0,055	-0,401	0,161	0,464
7	1,08	0,56	1,166	0,314	0,605	1,026	0,054	0,003	0,265	0,070	0,319	0,102	0,050
8	1,19	0,3	1,416	0,090	0,357	1,196	-0,006	0,000	0,435	0,189	0,429	0,184	0,005
9	1,15	0,41	1,323	0,168	0,472	1,124	0,026	0,001	0,363	0,132	0,389	0,151	0,023
10	1,1	0,54	1,210	0,292	0,594	1,039	0,061	0,004	0,278	0,077	0,115	0,056
11	0,87	0,92	0,757	0,846	0,800	0,789	0,081	0,006	0,028	0,001	0,109	0,012	0,093
12	0,64	1,14	0,410	1,300	0,730	0,645	-0,005	0,000	-0,116	0,013	-0,121	0,015	0,008
13	0,66	1,13	0,436	1,277	0,746	0,652	0,008	0,000	-0,109	0,012	-0,101	0,010	0,013
14	0,7	1,1	0,490	1,210	0,770	0,671	0,029	0,001	-0,090	0,008	-0,061	0,004	0,041
15	1,01	0,72	1,020	0,518	0,727	0,921	0,089	0,008	0,160	0,025	0,249	0,062	0,088
16	1,01	0,71	1,020	0,504	0,717	0,927	0,083	0,007	0,166	0,028	0,249	0,062	0,082
17	1,03	0,66	1,061	0,436	0,680	0,960	0,070	0,005	0,199	0,040	0,269	0,072	0,068
18	0,31	1,35	0,096	1,823	0,419	0,507	-0,197	0,039	-0,254	0,064	-0,451	0,203	0,637
19	0,32	1,33	0,102	1,769	0,426	0,521	-0,201	0,040	-0,240	0,058	-0,441	0,194	0,627
20	0,42	1,27	0,176	1,613	0,533	0,560	-0,140	0,020	-0,201	0,040	-0,341	0,116	0,333
21	0,52	0,33	0,270	0,109	0,172	1,177	-0,657	0,431	0,416	0,173	-0,241	0,058	1,263
22	0,5	1,23	0,250	1,513	0,615	0,586	-0,086	0,007	-0,175	0,031	-0,261	0,068	0,172
23	0,81	0,98	0,656	0,960	0,794	0,750	0,060	0,004	-0,011	0,000	0,049	0,002	0,074
24	0,75	1,05	0,563	1,103	0,788	0,704	0,046	0,002	-0,057	0,003	-0,011	0,000	0,061
25	0,98	0,76	0,960	0,578	0,745	0,894	0,086	0,007	0,133	0,018	0,219	0,048	0,087
26	0,96	0,8	0,922	0,640	0,768	0,868	0,092	0,008	0,107	0,011	0,199	0,040	0,096
27	0,93	0,83	0,865	0,689	0,772	0,849	0,081	0,007	0,088	0,008	0,169	0,029	0,088
28	0,86	0,94	0,740	0,884	0,808	0,776	0,084	0,007	0,015	0,000	0,099	0,010	0,097
29	0,73	1,06	0,533	1,124	0,774	0,698	0,032	0,001	-0,063	0,004	-0,031	0,001	0,044
30	0,39	1,29	0,152	1,664	0,503	0,547	-0,157	0,025	-0,214	0,046	-0,371	0,138	0,402
31	0,45	1,26	0,203	1,588	0,567	0,566	-0,116	0,014	-0,195	0,038	-0,311	0,097	0,259
32	0,58	1,19	0,336	1,416	0,690	0,612	-0,032	0,001	-0,149	0,022	-0,181	0,033	0,056
Итого	24,350	30,810	21,345	32,656	21,482	24,365	0	1,528	0	1,288	0	2,816	6,779
в среднем	0,761	0,963	0,667	1,021	0,671	0,761	0	RSS	0	ESS	0	TSS	0,212

2. Рассчитаем коэффициент парной корреляции:

то есть связь между средними затратами на продукты питания (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим коэффициент детерминации:

Итак, 45,7% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией доходов и на 64,3% зависит от других факторов.

. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 21,2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения не удачным.

. Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,83% от своего среднего уровня, а с уменьшением средней цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,83% от своего среднего уровня.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н₀: a=0; b=0; r_ху=0);

Н₁: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н₁: a≠0; b≠0; r_ху≠0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

_табл(a; n-m-1)=t_табл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как_b>t_табл (5,05>2,0423);_a<t_табл (1,847<2,0423);_Rxy>t_табл (5,05>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

. Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии в целом незначимо; Н₁: уравнение регрессии в целом значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17. Так как F_факт>F_табл (25,2>4,17), то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность.

. Тождество выполняется:

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь степенная, тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷ_х=а·x^b.

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+b·lnx, тогда Y=А+b·X, где Y=lny; X=lnx; А=lna.

Составим расчётную таблицу 2.

По методу наименьших квадратов (МНК) из решения системы:

уравнение парной линейной регрессии Y на X имеет вид:

Ŷ_X= -0,425 - 0,638X

Выполнив его потенцирование, получим:

ŷ_х=е^-0,425·х^-0,638или ŷ_х= 0,656 · х^-0,638

Рассчитаем индекс корреляции:

то есть связь между средними объемами продаж (у) и ценой товара (х) средняя.

Определим индекс детерминации:

Итак, 35,8% вариации средних объемов продаж объясняется вариацией среднего дохода потребителя и 64,2% зависит от других факторов.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:

В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 325,7%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.

Вычислим коэффициент эластичности:

То есть с увеличением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж уменьшаются на 0,638% от своего среднего уровня, а с уменьшением цены товара на 1% от своего среднего уровня, средние объемы продаж увеличиваются на 0,638% от своего среднего уровня.

Проверим значимость коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи незначимы (Н₀: a=0; b=0; r_ху=0);

Н₁: коэффициенты уравнения и показатель тесноты связи значимы (Н₁: a≠0; b≠0; r_ху≠0).

Вычислим случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции:

По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

t_табл(a; n-m-1)=t_табл(0,05; 32)= 2,0423.

Так как_b>t_табл (4,09>2,0423);_a<t_табл (1,164<2,0423);_Rxy>t_табл (4,096>2,0423);

то для коэффициента регрессии b и корреляции гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется (или не принимается) и признается их статистическая значимость и надёжность. Для коэффициента регрессии а гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется (или принимается) и признается его статистическая незначимость и ненадёжность.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F - критерия Фишера.

Выдвигаем гипотезы:

Н₀: уравнение регрессии незначимо;

Н₁: уравнение регрессии значимо;

Находим наблюдаемое значение критерия:

По таблице приложения находим критическое значение критерия: F_табл=4,17 где F(a; m; n-m-1)=F(0,05; 1; 32)=4,17.

Так как F_факт>F_табл (16,729>4,17) то гипотеза Н₀ о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Тождество выполняется:

Нанесём полученное уравнение на поле корреляции:

Предположим, что между х и у связь показательная, тогда уравнение регрессии имеет вид: ŷ_х=а·b^x.

Построению показательной модели предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация переменных производится путём логарифмирования обеих частей уравнения: lny=lnа+x·lnb, тогда Y=А+B·x, где Y=lny; B=lnb; А=lna. Составим расчётную таблицу 2.

	y	x	У=lny	X=lnx	XY	Y2	X2	ŶX	Y- ŶX	(Y- ŶX)2
1	0,35	1,33	-1,050	0,285	-0,299	1,102	0,081	-0,607	-0,443	0,196	-0,249	0,062	-0,692	0,479	0,422
2	0,79	1,01	-0,236	0,010	-0,002	0,056	0,000	-0,431	0,196	0,038	-0,073	0,005	0,122	0,015	0,830
3	0,93	0,85	-0,073	-0,163	0,012	0,005	0,026	-0,321	0,249	0,062	0,037	0,001	0,285	0,081	3,428
4	1,5	1,2	0,405	0,182	0,074	0,164	0,033	-0,541	0,947	0,896	-0,183	0,034	0,763	0,583	2,335
5	0,47	1,24	-0,755	0,215	-0,162	0,570	0,046	-0,562	-0,193	0,037	-0,204	0,042	-0,397	0,158	0,255
6	0,36	1,32	-1,022	0,278	-0,284	1,044	0,077	-0,602	-0,420	0,176	-0,244	0,060	-0,664	0,440	0,411
7	1,08	0,56	0,077	-0,580	-0,045	0,006	0,336	-0,055	0,132	0,017	0,303	0,092	0,435	0,189	1,716
8	1,19	0,3	0,174	-1,204	-0,209	0,030	1,450	0,343	-0,169	0,029	0,701	0,492	0,532	0,283	0,973
9	1,15	0,41	0,140	-0,892	-0,125	0,020	0,795	0,144	-0,004	0,000	0,502	0,252	0,498	0,248	0,029
10	1,1	0,54	0,095	-0,616	-0,059	0,009	0,380	-0,032	0,127	0,016	0,326	0,106	0,453	0,205	1,334
11	0,87	0,92	-0,139	-0,083	0,012	0,019	0,007	-0,372	0,233	0,054	-0,014	0,000	0,219	0,048	1,670
12	0,64	1,14	-0,446	0,131	-0,058	0,199	0,017	-0,509	0,062	0,004	-0,151	0,023	-0,088	0,008	0,140
13	0,66	1,13	-0,416	0,122	-0,051	0,173	0,015	-0,503	0,087	0,008	-0,145	0,021	-0,058	0,003	0,000
14	0,7	1,1	-0,357	0,095	-0,034	0,127	0,009	-0,486	0,129	0,017	-0,128	0,016	0,001	0,000	0,362
15	1,01	0,72	0,010	-0,329	-0,003	0,000	0,108	-0,215	0,225	0,051	0,143	0,020	0,368	0,135	22,649
16	1,01	0,71	0,010	-0,342	-0,003	0,000	0,117	-0,206	0,216	0,047	0,152	0,023	0,368	0,135	21,752
17	1,03	0,66	0,030	-0,416	-0,012	0,001	0,173	-0,160	0,189	0,036	0,198	0,039	0,388	0,150	6,410
18	0,31	-1,171	0,300	-0,351	1,372	0,090	-0,616	-0,555	0,308	-0,258	0,067	-0,813	0,661	0,474
19	0,32	1,33	-1,139	0,285	-0,325	1,298	0,081	-0,607	-0,532	0,284	-0,249	0,062	-0,781	0,611	0,467
20	0,42	1,27	-0,868	0,239	-0,207	0,753	0,057	-0,577	-0,290	0,084	-0,219	0,048	-0,510	0,260	0,334
21	0,52	0,33	-0,654	-1,109	0,725	0,428	1,229	0,282	-0,936	0,877	0,640	0,410	-0,296	0,088	1,432
22	0,5	1,23	-0,693	0,207	-0,143	0,480	0,043	-0,557	-0,136	0,019	-0,199	0,040	-0,335	0,112	0,196
23	0,81	0,98	-0,211	-0,020	0,004	0,044	0,000	-0,412	0,201	0,041	-0,054	0,003	0,147	0,022	0,956
24	0,75	1,05	-0,288	0,049	-0,014	0,083	0,002	-0,456	0,168	0,028	-0,098	0,010	0,070	0,005	0,586
25	0,98	0,76	-0,020	-0,274	0,006	0,000	0,075	-0,250	0,230	0,053	0,108	0,012	0,338	0,114	11,370
26	0,96	0,8	-0,041	-0,223	0,009	0,002	0,050	-0,283	0,242	0,058	0,075	0,006	0,317	0,101	5,924
27	0,93	0,83	-0,073	-0,186	0,014	0,005	0,035	-0,306	0,234	0,055	0,052	0,003	0,285	0,081	3,218
28	0,86	0,94	-0,151	-0,062	0,009	0,023	0,004	-0,386	0,235	0,055	-0,028	0,001	0,207	0,043	1,556
29	0,73	1,06	-0,315	0,058	-0,018	0,099	0,003	-0,462	0,147	0,022	-0,104	0,011	0,043	0,002	0,469
30	0,39	1,29	-0,942	0,255	-0,240	0,887	0,065	-0,587	-0,354	0,125	-0,229	0,053	-0,584	0,341	0,376
31	0,45	1,26	-0,799	0,231	-0,185	0,638	0,053	-0,572	-0,226	0,051	-0,214	0,046	-0,441	0,194	0,283
32	0,58	1,19	-0,545	0,174	-0,095	0,297	0,030	-0,536	-0,009	0,000	-0,178	0,032	-0,187	0,035	0,016
итого	24,350	30,810	-11,459	-3,382	-2,062	9,933	5,490	-11,442	0	3,743	0	2,089	0	5,830	92,371
в среднем	0,761	0,963	-0,358	-0,106	-0,064	0,310	0,172	-0,358	0	RSS	0	ESS	0	TSS	3,257

Контрольная работа: Множественная линейная регрессия

Смотрите также: