Документ: Модели управления функционированием систем подачи и распределения воды. Панов М.Я., Петров Ю.Ф, страницы 16-20

hiИН

которые по форме являются частным случаем условий Л. Эйлера для стационарности интеграла в любой вариационной задаче. При этом два первых члена в правой части пропадают, поскольку потенциальная энергия в составе энергетического функционала не выделена вообще, а кинетическая энергия от координат не зависит, поэтому уравнения движения вдоль отдельно взятой переменной преобразуются к виду [21, 37, 62]:

Pi	d	T	i, j	i, j 1	0 .

		qi
	d				(1.4)

Второй индекс у неопределенных множителей λ обозначает соответственно входной и выходной узлы структурного элемента системы. Остальные обозначения аналогичны (1.2).

Обозначив подынтегральное выражение в (1.1), (1.3) (в последнем случае

– в фигурных скобках) через Ф, формализуем условия реализации (1.3), то есть условия минимизации определенного интеграла через систему

дифференциальных уравнений Л. Эйлера [37]		и заданные граничные условия.
Поскольку Qi Qi ,	q j q j , то Ф –	функция одной независимой

переменной τ и условия минимума, с учетом отсутствия в (1.3) в явном виде объемов сред, сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (случай одномерного течения несжимаемой вязкой жидкости в трубах):

d	Ф		0,i I;


d	Qi
	Ф
d			0, j J J

	q
d		j
				(1.5)

Дифференцирование кинетической энергии по скорости (вместо Wi используется традиционное обозначение расхода на участке Qi) приводит к выражению

d

W2

g

d

L

i

mi

i

d

Qi

2

d

Qi gFi

2		Li	Qi ghiИН
Qi	g	Li
	g	gFi
2		gFi	d	,
				,

где Wi W – скорость потока на участке i при неустановившемся

одномерном течении среды; mi – масса столба жидкости, заполняющая полость трубопровода; – инерционный член.

Формируя уравнение движения (1.4), с учетом (1.5) для каждой переменной получим:

16

S Q	Li	Qi					0,i I;
S Q		Qi			i, j	i, j 1	0,i I;
i i	gFi	d			i, j	i, j 1
	gFi	d
Zj H j j				0, j J J
Zj H j j				0, j J J				.
Zj H j (q j )			j 0, j J
Zj H j (q j )			j 0, j J


	(1.6)
	(1.6)

Из (1.6) следует, что неопределенные множители суть узловые потенциалы. Кроме того, отдельно взятое в них соотношение есть уравнение И. Бернулли (если пренебречь изменением скорости потока), которое, таким образом, является экстремалью вариационных задач.

Для формирования модели потокораспределения достаточно исключить неопределенные множители λ узлов с нефиксированным потенциалом. Эта процедура формально выражает переход от принятых переменных (скоростей) к псевдопеременным (псевдоскоростям) или к их линейным комбинациям (линейным формам [15]), причем в частных случаях псевдопеременные могут совпадать с исходными переменными. Физической интерпретацией одного из типов псевдопеременных является контурный расход – хорошо известное понятие в моделировании ГС, используемое в методе контурных расходов [48].

В практике проектирования и эксплуатации гидравлических сетей используется два вида исходной узловой информации. Первый - фиксированные узловые отборы (притоки), то есть заданные значения или

известные их зависимости от времени q	j	q	,	q	j	q	(при
	j	j			j	j

нефиксированных, подлежащих определению, узловых потенциалах); второй – фиксированные узловые напоры, то есть заданные значения или известные

зависимости	последних от времени либо производительности Hj Hj ,
Hj Hj q j	, при нефиксированных отборах (притоках).

Фундаментальное структурное образование сетевого графа – цепь [8, 9, 54–56], определяемая как связная однократная последовательность участков (включая единственный участок), ограниченная узлами с фиксированными напорами. Контур также является цепью с совпадающими граничными узлами. Поскольку цикломатическое число r полностью исчерпывает кольцевую структуру сети, то образование дополнительного (сверх r) контура между цепями или внутри цепи приводит к вырождению цепи, замыкающей контур, как линейнозависимой. Поэтому условием выделения в сетевом графе системы линейнонезависимых цепей (в дальнейшем просто независимых) является исключение образования в их составе любых контуров. Предельное число независимых цепей р в составе сетевого графа определяется из соотношения,

вытекающего из формулы Эйлера для плоских графов [51, 53, 63]:
р = е – 1,	(1.7)
17

где е – предельное число узлов с фиксированным потенциалом или заданным законом его изменения, именуемых в дальнейшем фиксированными узлами.

При выделении РФС и формировании на ее границах необходимых граничных условий вполне возможно, что не все ее элементы могут быть охвачены контурами, а следовательно, и не все исходные переменные будут фигурировать в псевдопеременных. В этом случае приходится либо при том же типе псевдопеременных образовывать фиктивные контуры (циклические схемы расчета [46]), либо вводить дополнительный тип псевдопеременных, выражающих потоки среды на цепях [54]. Таким образом, возникает второй вид структурного образования – так называемые независимые цепи, образующие между собой цепной подграф.

Объединяя подсистемы контурных и цепных уравнений, а также дополнив их подсистемой уравнений узловых балансов (условий неразрывности), получаем модель неустановившегося потокораспределения:

Li

Qi

ZjN H jN Zjk

H jk

sgn Qi Si Qi

, 1, 2,..., p

gFi

d

i 1

(1.8)

Li

Qi

sgn Qi Si Qi

0,

1, 2,..., r

gFi

d

i 1

;

(1.9)

sgn(Qij )Qij q j 0,

i 1

, j e 1,e 2,..., m

q j sgn(Qij )Qij

q j 0

;

(1.10)

i 1

где γ, ν – число участков в составе цепи φ и контура ξ соответственно; ε – число участков, инцидентных узлу j; нижние индексы N и K относятся соответственно к начальному и конечному (фиксированному) узлу цепи φ. В подсистеме узловых балансовых уравнений если узел j не является энергоузлом, то q j 0 , q j 0 .

Правило присвоения положительных знаков слагаемым (1.8) – (1.10): sgn(Qi ) 1 при соответствии направления течения участкового потока

положительной ориентации по цепи φ (например, от узла N к узлу K); sgn(Qi ) 1 при совпадении направления участкового потока с положительной

ориентацией по контуру ξ; sgn(Qij ) 1 в случае притока участкового потока к

узлу j. Отрицательные знаки присваиваются в противоположных случаях. Балансовые уравнения для фиксированных узлов в модели (1.8) – (1.10)

18

отсутствуют, так как нефиксированные отборы этих узлов (qj, j = 1,2,…,e) могут быть определены по результатам моделирования, то есть вне матричной задачи.

Основополагающей в (1.8) – (1.10) является связь Бернулли для структурных образований при неустановившемся течении вязкой жидкости в трубах как следствие вариационного подхода. Иными словами, уравнение Бернулли для независимых цепей и контуров – экстремали функционала (1.3).

Векторно-матричная форма записи модели (1.8) – (1.10) представлена ниже [21, 37]:

R1С

p n

		R1
K
K	r n
	r n

				Q1


	R			Q
		n				n
			Q1



R			Q		n
	n				n
			A
					n

И1

dQ1 / d

M

H

p e

e 1

И

dQ

n

/ d

n

;(1.11)

И1

dQ1

/ d

0

И

dQ

/ d

;

(1.12)

n

Q1

q1

Q

q

(1.13)

n

;

где Qi ,i I ; q j , j J q	J ; Hj , j J	J p	J	J R			J R – множество
узлов с фиксируемым	(задаваемым) потенциалом;			R	i	S	Q	1	– элемент
					i	i		i

диагональной матрицы; Иi Li gFi – гидравлическая индуктивность участка i

для системы водоснабжения. Производная расхода по времени вычисляется по результатам двух предыдущих итераций (k–1) и (k–2) в процессе решения.

В подсистемах узловых балансовых уравнений для энергетически нейтральных узлов (НУ) соответствующий элемент столбца свободных членов qj = 0. Очевидно, что μ + е = m.

Замкнутость системы уравнений (1.11) – (1.13) легко установить, поскольку подмножества J q J и J J p J J R J R охватывают все

узлы РФС и количество (е – 1) + (m – е) уравнений, совместно с числом контуров (r), равно числу участков (n) по соотношению Л.Эйлера для плоских графов, то есть числу неизвестных.

Отметим, что подмножества резервуарных узлов, функционирующих в режиме источников J R и стоков J R отнесены к множеству узлов с

фиксированным потенциалом. Это связано с традиционным для систем

19

водоснабжения допущением постоянства уровня заливки воды в резервуаре (водонапорной башне).

Модель установившегося потокораспределения может быть получена из (1.11) – (1.13) посредством исключения составляющих, зависящих от времени. и, кроме того, в этом случае отпадает необходимость внешнего итеративного цикла.

С

R

Q

n 1

M

H

e 1

p n

n d

p e

;

(1.14)

Kr n

Qn 1

Or 1

Rn d

;

(1.15)

A

n

Q

n 1

q

1

.

(1.16)

Описание режимов работы систем водоснабжения, базирующееся на модели (1.11) – (1.13), отличается от своего аналога (1.14) – (1.16) присутствием в составе цепных и контурных уравнений динамических (инерционных) слагаемых, определенных без учета упругих свойств системы, то есть для "жесткого удара". По рекомендациям [6] упругие свойства системы не оказывают заметного влияния на параметры процесса, при времени его протекания более четырех фаз удара, в отличие от класса задач, описывающих неустановившееся движение реальной жидкости в трубах [67].

В крупных насосных установках, а также при протекании переходных процессов, обусловленных переменностью режимов потребления и управления это условие, как правило, соблюдается [6]. В силу его выполнения динамический напор определяется формулой

1 dQ L dl hg g dtH 0 F .

Это выражение совпадает с выражением для hин в составе (1.11), (1.12).

1.2. Математическое моделирование невозмущенного состояния системы водоснабжения

Под полноразмерной гидравлической системой (ПГС) подразумевается система, включающая полное число структурообразующих элементов. За редким исключением ПГС являются большими системами (БГС) с точки зрения размерности решаемых задач и информационной обеспеченности. Можно допустить с известной долей условности, что они отображаются бесконечными структурными графами, поскольку имеют непрерывно развивающуюся структуру и помимо уличных сетей включают (по определению) весьма разветвленные и многочисленные внутридомовые и внутрицеховые сети. Это

20

Материал: Модели управления функционированием систем подачи и распределения воды. Панов М.Я., Петров Ю.Ф

Смотрите также: