Материал: Моделирование процессов с нелинейностями гистерезисного типа (110
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ ГИСТЕРЕЗИСНОГО ТИПА
Составители: М. Б. Зверева, М. И. Каменский, Е. В. Рачинский
Учебно-методическое пособие
Воронеж Издательский дом ВГУ
2016
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 27 ноября 2016 г., протокол № 5000-08
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Костин
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедрах математического анализа и функционального анализа математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов и аспирантов математического факультета, а также для специалистов.
Для направлений 02.03.01, 02.04.01 – Математика и компьютерные науки
Содержание
§1. Функции ограниченной вариации |
4 |
§2. Некоторые сведения из выпуклого анализа |
7 |
§3. Опорные функции |
12 |
§4. Sweeping процессы |
18 |
Список литературы |
25 |
3
§1. Функции ограниченной вариации
Пусть H гильбертово пространство (ГП), т.е. в H определено скалярное произведение, и H является полным по норме, порождаемой
u: [a; b] H. |
k |
|
k |
|
p |
|
|
скалярным произведением, т.е. |
|
x |
|
= |
|
(x; x). Рассмотрим функцию |
|
!
Функция u(t) называется функцией ограниченной вариации, если существует константа C такая, что для любого разбиения отрезка [a; b]
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
точками a = t0 < t1 < : : : < tN |
= b выполняется i=0 ku(ti+1) u(ti)k 6 C. |
|||||||
|
(u) |
функции |
u(t) называется |
|||||
Полной вариацией Var |
|
|
|
P |
||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
sup |
Xi |
u t |
|
|
u t |
|
; |
|
|
=0 |
k |
( |
i+1) |
( |
i)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где sup берется по всевозможным разбиениям отрезка [a; b].
Пример 1.1. Если функция u: [0; T ] ! H удовлетворяет условию Липшица с константой L > 0, т.е. для любых t; s 2 [0; T ] верно ku(t) u(s)k 6 L jt sj, то u(x) является функцией ограниченной вариации,
причем Var(u) 6 L T .
В самом деле, для любого разбиения отрезка [0; T ] верно
N 1 |
N 1 |
|
X |
Xi |
ti) = L T: |
ku(ti+1) u(ti)k 6 L |
(ti+1 |
|
i=0 |
=0 |
|
N 1 |
|
|
P
Следовательно, Var(u) = sup ku(ti+1) u(ti)k 6 L T .
i=0
Заметим, что непрерывная функция, вообще говоря, не является функцией ограниченной вариации. В качестве примера рассмотрим функцию
|
8 x sin |
|
; |
если 0 < x 6 2; |
|
f(x) = |
|
||||
x |
|||||
|
< |
0; |
|
|
если x = 0; |
|
: |
|
|
|
|
4
которая, как нетрудно видеть, непрерывна на отрезке [0; 2]. Для разбие-
ния, состоящего из точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0; |
|
|
; |
|
|
; : : : ; |
|
; |
|
; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
2n 3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
соответствующая в определении вариации сумма равна |
2 |
+ 3 |
+: : :+ n; |
|||||||||||||||
2 + 3 + |
3 |
+ 5 +: : :+ |
2n 3 |
+ 2n 1 + 2n 1 > |
||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
||
a это число может быть сделано сколь угодно большим за счет выбора
достаточно большого n, так как ряд |
1 1 |
|
расходится. Таким образом, |
||||
|
|
|
|||||
n=1 n |
|||||||
f(x) |
|
|
|
||||
не является функцией |
ограниченной вариации. |
||||||
|
|
P |
|
||||
Из определения следует, что множество функций ограниченной ва-
риации образует линейное пространство, т.е. верны следующие свойства.
1.Если постоянное число, то V ar( f) = j jV ar(f):
2.Если f, g функции ограниченной вариации, то f + g тоже является функцией ограниченной вариации, и V ar(f + g) 6 V ar(f) + V ar(g):
Теорема 1. Пусть H ГП, un последовательность функций un : [0; T ] ! H таких, что 8 n 2 N kun(t)k 6 M1, Var(un) 6 M2. Тогда существует подпоследовательность unk , слабо сходящаяся в H для
|
! |
|
|
!1! |
|
всех t к некоторой функции u: [0; T ] |
|
H |
unk |
(t) слабо |
u(t) , т.е. |
|
|
|
|
k |
|
hunk (t); zi ! hu(t); zi при k ! 1. При этом Var(u) 6 M2.
Предлагаем доказать в качестве упражнения.
Про слабую сходимость нам в дальнейшем потребуется следующий
факт. (Предлагаем доказать в качестве упражнения.)
слабо
Лемма 1. Пусть un ! u. Тогда
n!1
а) kuk 6 lim kunk.
n!1
б) Если un 2 C + B"n (0), где B"n (0) замкнутый шар с центром
в 0 и радиусом "n, C H замкнутое выпуклое множество,
"n ! 0, то u 2 C.
n!1
5