Материал: Моделирование процессов с нелинейностями гистерезисного типа (110

Опорные функции множества fag и единичного шара B1(0) уже ранее мы вычисляли. Используя свойство 4 и следствие свойства 6, получаем

( ; Br(a); ) = ( ; fag+rS1(0)) = ( ; fag)+r ( ; B1(0)) = ha; i+rk k:

Пример 3.5. Вычислим опорную функцию произвольного прямоугольника G на плоскости R2 со сторонами, параллельными осям координат. Пусть этот прямоугольник задан в виде

G = fx 2 R2 : jx1j 6 x1 6 b1; a2 6 x2 6 b2g:

Получим прямоугольник G из квадрата

F = fx 2 R2 : jx1j 6 1; jx2j 6 1g;

данного в примере 3, при помощи соответствующего сдвига и линейного преобразования (растяжения). Тогда справедливо равенство

Задачи

3.1 Найдите опорную функцию n-мерного куба

F= fx 2 Rn : jxij 6 1; i = 1; : : : ; ng:

3.2Найдите опорную функцию произвольного n-мерного параллелепипеда G с ребрами, параллельными осям координат,

G = fx 2 Rn : ai 6 xi 6 bi; i = 1; : : : ; ng:

16

3.3Найдите опорную функцию множества F , заданного на плоскости формулой

F= fx 2 R2 : jx1 + x2j 6 1; jx1 x2j 6 1g:

3.4Найдите опорную функцию эллипса, заданного на плоскости R2

уравнением

3.6 Найдите опорную функцию множества

3.7Найдите опорную функцию множества F = B2(0; 2) [ B2(0; 2):

3.8Найдите опорную функцию n - мерного эллипсоида

n xi 2

X

F = fx 2 Rn : 6 1g: ai

i=1

3.9 Найдите опорную функцию объединения двух множеств F [ G.

3.10 Восстановите множество F 2 R2 по его опорной функции ( ; F ) =

j 1 2j.

17

§4. Sweeping процессы

Рассмотрим так называемые ”sweeping” процессы, играющие важную роль в динамике, квазистатике, упругопластичности и позволяющие моделировать нелинейности гистерезисного типа. В качестве примера такого процесса рассмотрим большое кольцо, содержащее внутри шарик. В момент времени t = 0 кольцо начинает двигаться. В зависимости от движения кольца шарик либо стоит на месте (пока он не коснулся кольца), либо двигается, оставаясь в кольце. В последнем случае скорость шарика должна быть направлена внутрь кольца, чтобы шарик оставался внутри кольца.

Обозначим через u(t) положение шарика в момент времени t, C(t)

положение кольца в момент времени t. Заметим, что значение u в

момент времени t число (а в общем случае, элемент гильбертова пространства), а значение C в момент времени t множество. В начальный момент времени u(0) 2 C(0). Для всех t 2 [0; T ] должно выполняться u(t) 2 C(t). При этом для скорости u0(t) для почти всех t 2 [0; T ] должно быть u0(t) 2 NC(t)(u(t)), где N конус нормалей к множеству C(t) в

точке u(t).

Заметим, что если u(t) внутренняя точка C(t), то NC(t)(u(t)) = f0g, и следовательно, u0(t) = 0, т.е. шарик не двигается. Иначе скорость будет иметь направление внутрь кольца.

Исследуем вопрос о разрешимости задачи

u0(t) 2 NC(t)(u(t)) при п.в. t 2 [0; T ];

(3)

u(0) = u0 2 C(0):

Как и ранее, через H будем обозначать гильбертово пространство. Функцию u: [0; T ] ! H будем называть решением (3), если

18

1)u(0) = u0;

2)u(t) 2 C(t) для всех t 2 [0; T ];

3)u(t) дифференцируема для почти всех t 2 (0; T );

4)u0(t) 2 NC(t)(u(t)) для почти всех t 2 (0; T ).

Теорема 6. Пусть отображение t 7!C(t) удовлетворяет условию Липшица, т.е. для хаусдорфова расстояния верно неравенство

dH(C(t); C(s)) 6 L jt sj;

t; s 2 [0; T ], где число L > 0.

При этом C(t) H непустое замкнутое выпуклое множе-

ство для всех t 2 [0; T ]. Пусть u0 2 C(0). Тогда существует решение u: [0; T ] ! H задачи (3), которое будет удовлетворять условию Лип-

шица с константой L. В частности, ju0(t)j 6 L для п.в. t 2 (0; T ).

Доказательство. В основе исследования многих свойств ”sweeping”

процессов лежит следующая дискретизационная схема.

Зафиксируем n 2 N и выберем разбиение по времени 0 = tn0 < tn1 <

1

: : : < tnN = T , где (tni+1 tni ) 6 n, 0 6 i 6 N 1. Определим un : [0; T ] ! H

следующим образом. Пусть un0 = u0, uni+1 = proj(uni ; C(tni+1)) 2 C(tni+1),

Найдем подпоследовательность un(t) (для простоты оставим индекс n), которая будет сходиться к решению задачи u(t) (слабая поточечная сходимость). Докажем для этого ограниченность un по норме и вариации,

19

т.е. что kun(t)k 6 M1, Var(un) 6 M2 для всех t 2 [0; T ] и n 2 N. Заметим, что т.к. uni 2 C(tni ), то

Из (5) получаем, что kuni+1k 6 kuni k + L(tni+1 tni ), и по индукции легко доказать, что kuni k 6 ku0k + L tni . Воспользовавшись (4) и (5) получим, что

kun(t)k 6 kuni k + Lkuni+1 uni k 6 ku0k + L tni + L(tni+1 tni ) =

= ku0k + L tni+1 6 ku0k + L T = M1:

Таким образом, можно считать, что un(t) ! u(t) слабо в H для

n!1

всех t 2 [0; T ]. Покажем, что u(t) решение (3). Сначала заметим, что un(0) = u0. Тогда u(0) = u0. Покажем, что функция u(t) удовлетворяет условию Липшица. Тогда u(t) (см. упражнение) будет являться функцией ограниченной вариации, и следовательно для п.в. t 2 [0; T ] существует u0(t). Зафиксируем произвольные t; s 2 [0; T ]. Тогда

j 1

X

kun(t) un(s)k 6 kun(t) un(tnj )k+ kun(tnk+1) un(tnk)k+kun(tnj+1) un(s)k 6

k=i+1

n

X

6 L jt tnj j + L jtnk+1 tnkj + L jtnj+1 sj 6 L jt sj:

k=i+1

слабо

Так как un(t) un(s) ! u(t) u(s), то

n!1

ku(t) u(s)k 6 lim kun(t) un(s)k 6 L jt sj:

n!1

20