Материал: Моделирование процессов с нелинейностями гистерезисного типа (110

2.2Покажите, что NC((1; 0)) = f( 1; 2) : 1 > 0; 2 2 Rg.

2.3Покажите, что NC((x; 0)) = f(0; 2) : 2 2 Rg для любого x 2 (0; 1).

2.4Покажите, что 0 2 NC(x).

2.5Покажите, что Nfxg(x) = H.

2.6Пусть выпуклое замкнутое множество C содержит хотя бы одну внутреннюю точку x. Тогда NC(x) = f0g.

2.7 Докажите, что y = proj(x; C) , y 2 C и hy x; y ci 6 0 8c 2 C.

2.8Докажите, что y = proj(x; C) , y 2 C и x y 2 NC(y).

2.9Докажите, что proj(x; C) = x , x 2 C.

2.10Рассмотрите примеры, показывающие, что выпуклость и замкнутость множества C важны для существования и единственности проекции.

2.11Докажите справедливость неравенства треугольника для хаусдорфова расстояния, т.е. что h(C1; C2) 6 h(C1; C3) + h(C3; C2), где C1,

C2, C3 выпуклые замкнутые множества в H (ГП).

2.12Найдите расстояние h(C1; C2) между двумя произвольными шарами

C1 = Br1 (a1) и C2 = Br2 (a2).

11

§3. Опорные функции

Пусть задано замкнутое выпуклое множество F H, где H

гильбертово пространство.

Опорной функцией множества F называется скалярная функция

( ; F ), определяемая условием

где 2 H. Множество F также считается одним из аргументов функции

( ; F ). Приведем несколько примеров нахождения опорных функций.

Пример 3.1 Пусть множество F состоит из единственной точки, т.е.

F = ffg. Тогда очевидно, что

( ; ffg) = hf; i:

Пример 3.2. Вычислим опорную функцию единичного шара с центром в начале координат. Если F = B1(0), то sup в определении опорной

Пример 3.3. Вычислим опорную функцию квадрата F на плоскости

R2, заданного условием

F = fx 2 R2 : jx1j 6 1; jx2j 6 1g:

Если вектор = ( 1; 2) принадлежит первому квадранту на плоскости

R2, т.е. 1 > 0; 2 > 0, то sup в определении опорной функции достигается на векторе f0 = (1; 1). Таким образом,

( ; F ) = hf0; i = 1 + 2:

12

Рассмотрим некоторые свойства опорных функций.

1. Опорная функция ( ; F ) положительно однородна, т.е.

( ; F ) = ( ; F )

для любого элемента 2 H и любого числа > 0. В частности,

(0; F ) = 0.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из опреде-

ления опорной функции. Действительно, справедливы равенства

2. Для любых 1; 2 2 H опорная функция удовлетворяет неравенству

( 1 + 2; F ) 6 ( 1; F ) + ( 2; F ):

Доказательство этого свойства также выводится непосредственно из определения опорной функции. Действительно, имеем

3. Опорная функция является выпуклой.

Напомним, что функция f называется выпуклой, если для любых двух точек x1; x2 и любого числа 0 6 6 1 выполняется неравенство

f( x1 + (1 )x2) 6 f(x1) + (1 )f(x2):

13

F + G равняется сумме двух опорных функций ( ; F ) и ( ; G), т.е.

( ; F + G) = ( ; F ) + ( ; G):

Доказательство. По определению суммы двух множеств имеем

F + G = fx = f + g : f 2 F; g 2 Gg:

Теперь воспользуемся определением опорной функции. Имеем

= ( ; F ) + ( ; G):

Пусть теперь A матрица размером n n, а F Rn. Образ AF

множества F при линейном преобразовании A определяется формулой

AF = fx 2 Rn : x = AF; f 2 F g:

Посмотрим, как выражается опорная функция образа множества F при линейном преобразовании.

5. Пусть A матрица размером n n. Тогда

( ; AF ) = (A ; F );

где A матрица, сопряженная с матрицей A.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения опорной функции и образа множества. Действительно,

14

6. Пусть F 2 Rn, а произвольное число. Тогда

( ; F ) = ( ; F ):

Доказательство непосредственно следует из определения опорной функции.

Следствие.Опорная функция ( ; F ) положительно однородна по аргументу F , т.е.

( ; F ) = ( ; F )

для любого числа > 0

Для доказательства достаточно воспользоваться свойством 1.

7. Пусть G; F H. Если выполняется включение G F , то для любого элемента 2 H справедливо неравенство

( ; G) 6 ( ; F ):

Доказательство непосредственно следует из определения опорной функции. Действительно, имеем

hf; i 6 ( ; F ):

Докажите в качестве упражнения!

Пример 3.4. Вычислим опорную функцию произвольного шара

Br(a) в пространстве Rn. Заметим, что шар Br(a) можно представить в

виде

Br(a) = fag + rB1(0):

15