В линейных моделях целевая функция и ограничения линейны по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. Для линейных моделей известны стандартные методы решения.
Hелинейные модели - это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей не существует единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений предлагаются различные способы решения.
В динамических моделях, в отличие от статических линейных и нелинейных моделей, учитывается фактор времени.
Графические модели используются, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.
Любая модель обладает свойствами адекватности, универсальности, устойчивости, ингерентности (от англ.inherent - внутренний, собственный) и экономичности.
Адекватность, которая более подробно расматривается ниже, в главе 4, характеризуется достоверностью отображения в модели заданных свойств объекта - оригинала и оценивается её способностью отображать эти свойства с погрешностью, не больше заданной. Адекватность может быть выражена в количественной мере критерием адекватности (КА) через различия свойств, отображаемых в модели, и свойств объекта-оригинала. Она характеризуется областью адекватности модели - диапазоном значений входных данных модели, при которых критерий адекватности по заданному свойству или всей совокупности свойств не превышает заданного значения.
Адекватность (неадекватность) модели связана с её конечностью, упрощенностью и приближенностью, которые часто тесно связаны между собой.
Модель конечна, так как она отображает объект-оригинал только в конечном числе его свойств, поскольку возможности моделирования ограничены.
Упрощенность модели объясняется, во-первых, конечностью модели, а, во-вторых, необходимостью и целесообразностью отображать в модели только главные с точки зрения будущего потребителя (пользователя) свойства объекта-оригинала.
Приближенность модели характеризует количественные различия между отображаемыми в модели свойствами и свойствами реального объекта-оригинала.
Таким образом, одна из целей моделирования сводится к приближению модели к отображаемому объекту-оригиналу с требуемой степенью адекватности.
Под универсальностью следует понимать возможность использования модели при рассмотрении, исследовании и проектировании различных явлений, объектов, систем. Универсальность модели часто определяется числом учитываемых внешних и внутренних параметров. Степень универсальности характеризуется тем, насколько полно в модели отображены различные свойства объекта-оригинала.
Устойчивость модели - способность сохранять адекватность при исследовании работоспособности системы в определенных условиях, а также при внесении изменений в конфигурацию модели.
Под ингерентностью понимается согласованность со средой, в которой предстоит функционировать объекту моделирования.
Экономичность оценивает затраты на разработку модели и выгоду от её использования.
При построении модели следует исходить, прежде всего, из возможности вычисления целевой функции в различных реальных ситуациях, задаваемых в области функционирования ОЭС. Под областью функционирования понимается многомерное пространство переменных, в котором работает система. Область функционирования, которую с нужной степенью адекватности требуется моделировать, выбирается или задается пользователем модели.
Различают следующие описания объектов-оригиналов:
- целевое, определяющее достигаемые с использованием моделирования цели;
- концептуальное, дающее представление об общих свойствах объекта-оригинала; математические модели объекта при таком описании включают множество целей и множество признаков, характеризующих объект в целом;
- функциональное, дающее представление о его функционировании; математические модели, относящиеся к этому описанию, содержат множество признаков, определяющих взаимодействие системы со средой и правило упорядочения смены состояний объекта-оригинала в ходе достижения цели;
- структурное, описывающее структуру системы; математические модели, относящиеся к структурному описанию системы, включают множество составляющих ее элементов, множество признаков, характеризующих элементы на всех этапах работы системы, множество связей между всеми элементами системы;
- динамическое, определяющее поведение модели во времени;
- параметрическое, описывающее систему параметров, характеризующих объект.
Математическая модель ОЭС описывает зависимость целевой функции (или показателей эффективности её реализации) от параметров и характеристик структурных частей ОЭС, поэтому, в первую очередь, необходимо решить вопрос о выборе совокупности этих параметров и характеристик. В качестве целевой функции целесообразно выбирать такие функции, которые обеспечивали бы удобство определения искомых величин при моделировании системы, а также давали бы возможность получить достаточно простую математическую модель.
Для описания модели системы S как совокупности структурных частей и связей между ними введем следующие понятия: x - структурная часть (СЧ) системы S, l - связь между СЧ, F- целевая функция.
В общем виде можно представить модель как совокупность x, l, F:
S=,
где , , - множества СЧ, связей и цель функционирования, соответственно.
Построение любой математической модели системы начинается с определения параметров и переменных, характеризующих процесс функционирования системы.
Параметр - это величина, характеризующая какое-либо свойство системы (или процесса) в определенных условиях. Параметры стационарной статической системы остаются постоянными на всем интервале моделирования.
Внутренние параметры - величины, характеризующие свойства СЧ системы, образуют массив
,
где, например, - система координат, - длина волны, - время, - состояние поляризации.
Характеристика - это зависимость изменений параметра системы от изменений состояний системы или условий функционирования системы.
При моделировании используются управляемые и неуправляемые, независимые и зависимые переменные.
Управляемые переменные могут изменяться каким-либо операторами управления в процессе моделирования. Они выполняют функцию решающего правила и на основании принятой информации принимают решение о последующих алгоритмах работы модели.
Неуправляемые переменные не могут быть изменены управляющим оператором, но оказывают влияние на процесс моделирования. Эти операторы определяют последовательность выполняемых операций в процессе моделирования. В качестве операторов управления могут выступать логические условия, промежуточные результаты вычислений, значения которых определяются в процессе моделирования, например, выполнение неравенств, порядки рассчитанных величин, шаг дискретизации и др.
К независимым от оператора управления переменным могут относиться сигналы, поступающие на вход моделируемой системы, фазовые переменные, внешние параметры.
Так например, входные сигналы (воздействия) u1, u2…un1 в области функционирования системы характеризуются вектором
U=u()=.
Фазовые переменные х1, х2 ….хn2, в отличие от внутренних параметров , характеризуют изменяющиеся в области функционирования свойства системы, например, состояния отдельных СЧ [38]. Они характеризуют физическое или информационное состояние системы, которое описывается вектором:
X=х()=,
где Х - пространство состояний или пространство возможных значений вектора х (или фазовое пространство системы). Для временных моментов состояния системы t1<t2<… последовательность х(t1), х(t2)… является фазовой траекторией системы.
Внешние параметры v1,v2…vn3 - величины, характеризующие свойства внешней по отношению к исследуемому объекту среды, например, воздействия внешней среды. Они характеризуются вектором
V=v()= .
Среди них могут быть контролируемые и неконтролируемые, наблюдаемые и ненаблюдаемые, детерминированные и случайные воздействия. Для ОЭС это воздействие условий, в которых работает система: влажность, давление, вибрации, механические воздействия (удары).
К зависимым переменным относятся выходные параметры, которыми, наример, для ОЭС могут являться значения сигналов и параметры изображений, получаемых на выходе ОЭС. Выходные параметры (или характеристики) системы у1, у2 ….уn4 - величины, характеризующие свойства объекта-оригинала и определяемые в точке области функционирования системы вектором
Y=у()= .
Таким образом, можно сказать, что модель выражает функциональные зависимости, существующие между входными воздействиями, фазовыми переменными, внутренними параметрами системы, внешними параметрами, выходными параметрами, связь между которыми представляется следующим образом (рис.3.):
Рис.3. Связь между параметрами и переменными системы
Для оценки эффективности функционирования используют количественный критерий - так называемый показатель эффективности работы системы. Показатели эффективности системы w1, w2 ….wk характеризуют степень реализации цели, стоящей перед системой, и описываются вектором W в точке области функционирования системы:
W=w()= .
Показатели эффективности в общем случае представляются в виде W=w[u(), v(), x(), y(), a()]. При наличии в системе случайных факторов значения показателей эффективности также являются случайными.
Этапы разработки компьютерной модели
Разработка компьютерной модели объекта-оригинала, например ОЭС, как правило, заключается в последовательном выполнении четырех основных этапов, в результате которых производится переход от объекта-оригинала к его математической модели в виде компьютерной модели (рис. 3).
Рис. 3. Этапы разработки компьютерной модели объекта-оригинала
В общем случае в исходных данных, формируемых на первом этапе моделирования объекта-оригинала устанавливаются: основные требования к моделируемому объекту-оригиналу, назначение модели, общие предположения о путях решения поставленной задачи и адекватности модели, степень универсальности модели, особенности объекта-оригинала, информация о форме представления результатов моделирования и о возможных вариантах проведения испытаний модели.
При невозможности проведения натурных испытаний модели необходимо одновременно с проведением работ по построению модели разрабатывать (или выбирать) численный метод исследования модели.
На втором этапе разработки модели степень подробности описания объекта-оригинала и выбор для этого подходящего математического аппарата определяется принятыми для этого описания методами и зависит, в основном, от требований к адекватности разрабатываемой модели. Здесь же принимается соглашение о разделе существенных и несущественных свойств, отображаемых в модели; производится разбиение параметров и переменных на входные и выходные; формируются процессы преобразования сигнала в системе.
Основными требованиями, предъявляемыми к вычислительным алгоритмам, разрабатываемым на третьем этапе, являются:
реализуемость - возможность решения задачи за допустимое время;
экономичность - получение решения за минимальное время из возможных применяемых алгоритмов (с равной адекватностью описания);
возможность выявления и распознавания ошибок при сбое в работе программы в процессе вычисления (т.е. диагностика);
сходимость итерационных алгоритмов при решении конкретных задач;
учет возможных ошибок при вычислениях, например, за счет округления и математической обработки решений.
Математическая модель объекта-оригинала и алгоритм её реализации позволяют представить структуру модели в виде совокупности отдельных частей (модулей, субмоделей, блоков, разделов и т.п.) и взаимосвязей между ними, необходимых для обеспечения решения задач моделирования, включая описание объекта-оргинала и исследование его свойств. Эта структура должна быть как можно более стабильной, оставаясь адекватной при изменении способов использования данных или их формы представления, а также должна быть основой, на которой можно создавать будущие приложения и расширять возможности моделирования. Она должна обеспечить пользователю максимальную гибкость как на стадии ввода (редактирования) данных, так и в дальнейшем в процессе прогона готовой программы, когда производиться компиляция выбранных субмоделей (алгоритмов, функций, параметров и т.д.) и последовательное их использование.
Программное обеспечение, выбираемое или разрабатываемое на четвертом этапе и используемое в дальнейшем при моделировании, должно предусматривать следующие основные возможности:
представление программной системы в виде набора взаимосвязанных компонент, входящих в единую распределенную вычислительную сеть и имеющих совместимые программные интерфейсы;