Материал: Обработка сигналов в системах радиомониторинга. методические указания к проведению практических занятий для студентов бакалавриата. Токарев А.Б
2.1.2. Эффект взвешивания Рассмотрим подробнее эффект, описываемый (2.8), (2.11)
и называемый эффектом “взвешивания”. Пусть uвх(t) представляет собой чисто гармоническое воздействие
uвх(t) = A cos( Ω0 t ). |
(2.14) |
||
Тогда истинный спектр процесса |
|
||
Gɺвх (ω) = |
A |
(δ (ω + Ω0 )+δ (ω − Ω0 )), |
(2.15) |
|
|||
2 |
|
|
|
(δ(ω) – дельта-функция Дирака) в области положительных частот имеет вид бесконечно узкой спектральной линии. Наблюдаемый же вследствие конечности величины Tн спектр
Gy (ω) = |
|
A |
|
|
|
T |
|
|
T ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
н |
exp |
−j |
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
2π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sinc |
|
Tн |
|
(ω +Ω )exp |
|
− j |
TнΩ0 |
|
+sinc |
|
Tн |
(ω −Ω )exp |
|
+ j |
TнΩ0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
0 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
формально по частоте не ограничен, имеет максимум в точке истинной спектральной линии ω = Ω0 и убывает по мере
смещения от указанной частоты по закону (2.13), так что ширина главного лепестка наблюдаемого спектра ∆y ≈ 2 / Tн .
Полученный результат означает, что в случае точного совпадения частоты Ω0 воздействия с каким-либо бином ωn = 2πfn лишь один из наблюдаемых спектральных отсчетов XR(n) будет отличен от нуля, а при попадании Ω0 между бинами на выходе анализатора, как показано на рис. 3.1, появятся два основных спектральных отсчета на частотах fn смежных с частотой воздействия, а также множество убывающих по величине побочных спектральных составляющих, порождаемых боковыми лепестками функции sinc(x). При этом побочные спектральные отсчеты могут быть значительными по величине, поскольку максимальное значение функции sinc(x) всего на 13 дБ превышает уровень ее ближайших боковых лепестков.
11
Рис. 2.1. Наблюдаемый спектр при классической (стандартной) методике спектрального оценивания и прямоугольной (естественной) весовой функции для случаев попадания
и непопадания частоты воздействия на бин
Описанный выше эффект влияния (просачивания) мощных составляющих спектра на удаленные от частоты воздействия отсчеты спектра является серьезной проблемой спектрального оценивания и ограничивает динамический диапазон анализаторов спектра. Действительно, пусть в состав процесса uвх(t) помимо основной составляющей частоты Ω0 входит также более слабая компонента незначительно смещенная по частоте. В случае, если амплитуда добавочной компоненты уступает основной более чем на 13 дБ, то при использовании изложенной выше методики меньшая по амплитуде составляющая входного воздействия оказывается замаскированной боковыми лепестками основной компоненты. Для устранения подобного эффекта и повышения динамического диапазона при исследовании спектральных характеристик процессов применяют умножение обрабатываемых выборок u(t) на специальные весовые функции, отличающиеся значительно меньшим уровнем
12
боковых лепестков, чем “естественное” прямоугольное весовое окно. Наиболее часто используемые весовые функции и их характеристики приведены в табл. 2.1-2.2.
Для определения эффекта от применения специальных весовых функций учтем, что согласно уточненной методике сигнал, непосредственно преобразуемый в спектральную область можно рассматривать как произведение трех сомножителей: входного случайного процесса uвх(t), весовой функции ϕ(t/Tн – 0,5), получаемой из стандартной весовой функции ϕ(t) единичной длительности путем смещения и растяжения во времени в соответствии с выбранным интервалом наблюдения Tн, и прямоугольного окна rect(t/Tн – 0,5), выделяющего временной интервал [0, Tн],
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
yст (t) = uвх |
(t) ϕ |
|
− 0,5 |
|
rect |
|
− 0,5 |
. |
(2.16) |
|
|
||||||||
|
Tн |
|
|
Tн |
|
|
|
||
Отметим, что полагая весовую функцию ϕ(t) имеющей конечную длительность, от последнего сомножителя в (2.16) можно отказаться, однако отдельный его учет полезен в интересах последующего анализа.
Введем следующие обозначения: Gϕ(ω) – спектр функции ϕ(t) единичной длительности, Gϕ н (ω) – спектр растянутой в
соответствии с Tн весовой функции, равный
+∞ |
|
t |
|
|
exp(− jωt) dt = |
|
Gϕ н (ω) = ∫ |
ϕ |
|
− 0,5 |
|
||
Тн |
||||||
−∞ |
|
|
|
(2.17) |
= Тн Gϕ (Тнω ) exp(− j0,5Тнω) ,
Через Gϕ ст (ω) условимся обозначать Фурье-образ произведения
ϕ(t/Tн-0,5) rect(t/Tн-0,5), определяющий окончательно искажения, возникающие при оценивании спектра процесса uвх(t), в соответствии с задаваемой (2.16) стандартной процедурой.
13
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|||||||||
Классические весовые функции |
|||||||||||||||||
Окно |
Функция во временной области |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1, n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Прямоугольное |
|
0, N −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin3 (π n / N ), |
n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Хеннинга, α = 3 |
0, N −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0,54 − 0,46 cos(2π n / N ), n = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Хемминга |
0, N −1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin4 (π n / N ), |
n = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Хеннинга, α = 4 |
0, N −1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Кайзера-Бесселя, |
I0 {απ |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1− (2π N )2 |
I0 {απ}, |
|
n |
|
≤ N / 2 |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
α = 3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Блекмана- |
0,35875− 0,48829 cos(2π n /N )+ |
||||||||||||||||
+ 0,14128cos(4π n /N ) − |
|||||||||||||||||
Херриса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0,01168cos(6π n /N ), n = 0, N −1 |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|||||||||
Параметры цифровых анализаторов спектра при периодограммной методике спектрального оценивания
Окно |
УБЛ |
Полоса по УБЛ |
РСЧ |
|
|
окна D, дБ |
mD , бин |
∆fст, бин |
|
|
|
|
|
|
Прямоугольное |
–13 |
1,64 |
2,0 |
|
|
|
|
|
|
Хеннинга, α = 3 |
–39 |
4,66 |
3,33 |
|
|
|
|
|
|
Хемминга |
–43 |
3,84 |
2,92 |
|
|
|
|
|
|
Хеннинга, α = 4 |
–47 |
5,80 |
3,90 |
|
|
|
|
|
|
Кайзера-Бесселя, |
–82 |
7,86 |
4,93 |
|
α = 3.5 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Блекмана-Херриса |
–92 |
7,89 |
4,95 |
|
|
|
|
|
УБЛ = уровень боковых лепестков; РСЧ = разрешающая способность по частоте
14
Спектр Gϕ ст (ω) будет определяться сверткой выражений (2.12) и (2.17):
2 |
+∞ |
||
Gϕ ст (ω) = |
Tн |
∫ exp(− j0,5Tнω) sinc(0,5Tн (ω − Ω)) Gϕ (TнΩ)dΩ (2.18) |
|
2π |
|||
|
−∞ |
||
|
|
||
Окончательно, выходной спектр при стандартной методике оценивания может быть записан для дискретной сетки частот (2.2) в виде
Gϕ ст (ωn ) = |
1 |
+∞ |
Gвх (ωn − u) Gϕ ст (u) du . |
(2.19) |
|
2π |
∫ |
||||
|
|
|
|||
|
|
−∞ |
|
|
2.1.3. Разрешающая способность по частоте (РСЧ)
Под разрешающей способностью по частоте спектрального анализатора понимают его способность разделять (разрешать) две соседние спектральные составляющие (СС) анализируемого воздействия. Количественно РСЧ представляет собой минимальный интервал по частоте между двумя СС, при котором анализатор ещё в состоянии их разделить. Качественно же разрешение СС означает, что: в выходном спектре СС наблюдаются раздельно; число максимумов в указанном спектре однозначно определяется числом СС в составе входного воздействия; соседние разделяемые СС не оказывают искажающего влияния друг на друга.
При оценке РСЧ следует учесть, что:
1)раздельное наблюдение СС с однозначным указанием их числа обеспечивается тогда, когда между их Фурье-образами существует локальный минимум;
2)при обработке суммы СС в выходном спектре их Фу- рье-образы когерентно суммируются;
3)частоты СС являются независимыми от используемой дискретной сетки частот, определяемой (2.2);
4)разрешаемые СС могут существенно различаться по мощности.
15