Документ: Определение организационно-технологических параметров статистическими методами. методические указания к практическим занятиям. Баркалов С.А., Курочка П.Н, страницы 6-10

Дисперсия:

N		2
Dx = ∑(xi − x)		.	(2)
i=1	N

Как это видно из формулы, дисперсия имеет размерность квадрата изучаемой величины, на практике это порождает некоторые неудобства, поэтому вместо дисперсии чаще всего используют среднеквадратичное отклонение, которое определяется по формуле

σx =		.	(3)
	Dx

Среднеквадратичное отклонение (дисперсия) характеризует степень разбросанности данных относительно математического ожидания: чем выше дисперсия или среднеквадратичное отклонение, тем менее выражена тенденция в поведении изучаемой величины. Если это данные эксперимента, то тогда следует признать, что он проведен с низкой точностью, которая будет затруднять дальнейшие исследования.

Закон распределение случайной величины принято задавать в двух формах: интегральной и дифференциальной.

Интегральный закон распределения (интегральная функция распределения) - одна из форм выражения закона распределения. Она показывает вероятность того, что случайная величина X будет принимать значение не больше произвольно выбранного значения x, то есть

F(x) = P(X ≤ x).

Функцию F(x) часто называют просто функцией распределения случайной величины Х. Эта функция может представлять собой и дифференцируемую функцию.

В случае дискретной случайной величины графиком функции распределения будет являться ступенчатая кривая, а в случае непрерывной -гладкая монотонно возрастающая кривая.

Дифференциальный закон распределения представляет собой плотность распределения функции распределения. Эта форма задания распределения вероятности характерна для непрерывных случайных величин. Плотность распределения обозначается обычно через f(x) и связана с функцией распределения F(x) следующей формулой: F′(x) = f(x).

Знание закона распределения позволяет получить значение вероятности нахождения случайной величины в заданном диапазоне. Например, вероятность

6

того, что случайная величина Х будет принимать значения в интервале [α;β], определяется по формуле

P(α ≤ x ≤ β) = F(β)− F(α).

(4)

Существуют различные, хорошо исследованные виды законов распределения. Приведем наиболее часто встречающиеся.

Равномерное распределение (прямоугольное распределение) - распре-

деление, в котором значения случайных величин имеют определенные границы, внутри которых все значения равновероятны, то есть плотность вероятности постоянна. Плотность вероятности и функция распределения задаются следующими соотношениями:

0		при −∞ < x < a,
	1		при a ≤ x ≤ b,
f(x) =

b −a
	0	при b < x < ∞,


0		при −∞ < x < a,

F(x) =	x −a		при a ≤ x ≤ b,	(5)

b −a
1		при b < x < ∞.

Графически функция плотности рас- f(x) пределения представлена на рис. 1.

Значения математического ожидания и дисперсии определяются следующими соотношениями:

				x =	a + b	,	Dx = σ2 = (b − a)2 .	(6)
				x =		,	Dx = σ2 = (b − a)2 .	(6)
			x	2			12
				2			12
0	a			Равномерное распределение использу-
0	a		b	ется для генерации псевдослучайных чисел
				ется для генерации псевдослучайных чисел
		Рис. 1		(в методе Моне -			Карло) и при изучении
				ошибок округления результатов измерений.
				ошибок округления результатов измерений.

Нормальное распределение (закон Гаусса - Лапласа) - наиболее часто используемое в прикладных задачах распределение. В этом случае плотность вероятности определяется по формуле

		1		e−	(x−x)2
f(x) =					2σ2 .	(7)

	σ		2π

7

Вид нормального распределения при x = 0

и σ = 1 представлен на рис. 2.

Нормальное распределение имеет место в тех случаях, когда на исследу-

емую

величину

дей-

0,4

ствует множество

слу-

0,35

чайных

независимых

0,3

или

слабо зависимых

0,25

факторов,

каждый

из

0,2

которых играет в общем

0,15

итоге относительно не-

0,1

значительную

роль, то

есть

отсутствует доми-

0,05

нирующий фактор. Зна-

0

чения

интегральной

-4 -3,3 -2,6 -1,9 -1,2 -0,5 0,2 0,9

1,6 2,3 3 3,7

Рис.

2

функции

нормального

распределения

табули-

рованы.

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются пообщим формулам и

определяют вид кривой распределения: математическое ожидание дает абсциссу максимума, а величина дисперсии характеризует «островерхость» кривой распределения (чем меньше дисперсия, тем острее кривая распределения).

Логарифмически нормальное распределение (логонормальное) - рас-

пределение случайной величины х, логарифм которой (lnx) подчинен нормальному закону распределения.

Функция плотности логонормального распределения имеет вид:

										1	1	ln x−ln x 2
											−
							f(x) =				e 2 σln x		,					(8)
							f(x) =		σln x 2π		e 2 σln x		,					(8)
									σln x 2π
k																k
∑(ln xi ) mi																∑(ln xi )2 mi
ln x = i=1	k			,			σln x =		(ln x)2		− (ln x)2 ,			(ln x)2		= i=1	k	.,
	∑mi																∑mi
	i=1																i=1
где mi - частота попадания случайной величины в i-ый разряд; k - количество
разрядов исследуемой статистической совокупности;
ln x - среднее значение логарифма случайной величины (математическое ожидание
											логарифма случайной величины);
4											σln x - среднеквадратичное отклонение
4											логарифма случайной величины.
3,5											логарифма случайной величины.
3												Основные			статистические			ха-
2,5												Основные			статистические			ха-
2,5											рактеристики			логонормального				рас-
2											рактеристики			логонормального				рас-
1,5											пределения характеризуются соотно-
1											шениями:
0,5											шениями:
0,5												математическое					ожидание
0	0,4	0,8	1,2	1,6		2,4	2,8	3,2	3,6			математическое					ожидание
0	0,4	0,8	1,2	1,6	2	2,4	2,8	3,2	3,6	4	(среднее значение):
											(среднее значение):					σln2 x
				Рис. 3									x = e		ln x+	σln2 x	,	(9)
													x = e			2	,	(9)
										8

дисперсия

= x2(eσln2 x −1) .

Dx = σx2

(10)

Графически логарифмически нормальное распределение асимметрично с

правосторонней скошенности, что характерно для распределений величин, ха-

рактеризующих экономические явления, например распределение доходов и

заработной платы (следует заметить, что в экономике многие изучаемые про-

цессы имеют асимметричное распределение с правосторонней скошенностью).

Форма распределения при ln x = 0

и

σln x =1 представлена на рис.3.

Распределение

Пуассона

-

закон

распределения

вероятностей

редко

встречающихся

350

событий. Этот за-

300

кон применяется в

том случае,

когда

ожидающих

250

случайная

вели-

200

чина

принимает

150

только целые зна-

-во

чения,

то есть за-

Кол

100

кон

справедлив

50

для

дискретной

0

случайной

вели-

1

2

3

4

5

6

7

8

чины.

Вероят-

Время ожидания обслуживания

ность

того,

что

Рис. 4

случайная

вели-

чина х примет це-

определяется формулой

лое

значение

m,

P =	am e−a	,	(11)

m	m!

где а - параметр распределения Пуассона; и представлен на рис. 4.

Математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия определяются следующими соотношениями:

x = a, Dx = σ2 = a.

(12)

Тот факт, что значение математического ожидания и дисперсии численно равны, используется для доказательства того, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

9

По закону Пуассона распределены поток требований на обслуживание в ремонтных и снабженчески - сбытовых организациях, число дефектов при выполнении определенного объема работ.

Экспоненциальное (показательное) распределение - плотность вер о-

ятности задается выражением:

4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0	0,4	0,8	1,2	1,6		2,4	2,8	3,2	3,6
0	0,4	0,8	1,2	1,6	2	2,4	2,8	3,2	3,6	4
					Рис. 5.

		−λx	при x >			0,
f(x)	= λe		при x >			0,	(13)
		0 при x < 0.
Вид функции распределения представлен на рис. 5.
Математическое ожидание и дисперсия определяются соотношением
x = 1	, Dx = σ2 =			1	.		(14)
x = 1	, Dx = σ2 =			2	.		(14)
λ				λ

Данный закон распределения имеет место при исследовании простоев оборудования, продолжительности обслуживания, долговечности машин и механизмов и т.п.

Бета-распределение - имеет место в том случае, когда изменение случайной величины происходит на каком-то известном интервале и задается функцией

		p	(b − x)	q	при a ≤ x ≤ b;	(15)
f(x) = A(x − a)
	0		при x.< a, x > b.

10

Смотрите также: