Материал: Оптимизация металлической рамы на стадиях упругого и пластического деформирования. методические указания к выполнению курсового проекта. Ефрюшин С.В., Барченкова Н.А

нет менее 5%. Расчёты завершаются представлением окончательной эпюры изгибающих моментов, назначением размеров сечений по соотношению (3) и вычислением целевой функции zупр.

1.2. Оптимизация металлической рамы на стадии пластического деформирования

Расчёт конструкций с учётом пластических свойств материалов позволяет инженеру получить сведения о несущей способности при однократном нагружении, т. е. о наибольших нагрузках, при которых конструкция разрушается. Такая задача называется поверочной или задачей предельного равновесия.

Ниже приводятся основные теоретические сведения, необходимые для ознакомления с особенностями оптимизации плоской стержневой системы на стадии пластического разрушения.

1. При построении механико-математической модели оптимизации принимаются следующие основные допущения:

-прикладываемые нагрузки медленно возрастают пропорционально одному параметру, т. е. нагружение является простым, квазистатическим;

-материал стержней идеально пластический, изотропный;

-при пластическом разрушении деформации и перемещения малы, т. е. принимается геометрически линейная постановка задачи;

-сечения стержней имеют идеальную форму, и пластическое течение наступает одновременно по всей площади сечения;

-основным усилием, вызывающим пластическое разрушение, является изгибающий момент.

2. Переход сечения стержня в пластическое состояние сопровождается образованием, так называемого пластического шарнира. Пластический шарнир – это полностью перешедшее в пластическое состояние сечение, когда все нормальные напряжения, как в растянутой, так и в сжатой зоне равны пределу

текучести т (рис. 1). При этом под действием внешних усилий передаётся момент равный по абсолютной величине предельному изгибающему моменту сечения Мо

Т

МО

Т

Рис. 1. Пластический шарнир

6

Предельный изгибающий момент сечения Мо (пластический момент) понимается как равнодействующая предельных значений напряжений в сечении, когда напряжения во всем сечении достигают предела текучести. В результате потери внутренней связи сечение может свободно деформироваться, что допускает поворот первоначальной оси стержня на произвольный угол .

3. Задача оптимизации принимается в следующей формулировке: для заданной нагрузки и конфигурации рамы необходимо найти такое оптимальное распределение предельных усилий, при котором были бы удовлетворены критерий оптимальности в виде (1) или равносильном ему виде (2´) и условия состояния пластического разрушения для однократного нагружения.

Математической постановке задачи оптимизации предшествует формирование дискретной модели расчетной схемы рамы путем разделения ее расчетными сечениями на узлы и стержневые элементы. Назначение расчётных сечений связывается с образованием пластических шарниров в стержневой системе. Поэтому расположение расчётных сечений назначается в местах приложения сосредоточенных нагрузок, в местах, прилегающих к пересечениям (узлам) нескольких стержней и к опорам с жестким защемлением.

Несущую способность расчетных сечений характеризует вектор предельных моментов, компонентами которого являются модули соответствующих ве-

личин: { }

После определения степени статической неопределимости k назначается размерность m вектора обобщенных перемещений и усилий исходя из соотношения k = n – m, где для рамы, не имеющей замкнутых контуров, k = 2*Ш + С – 3*D, для рамы с замкнутыми контурами k = 3*К - Ш (К – число замкнутых контуров; Ш - число шарниров, С – число опорных связей; D – число дисков, соединяемых шарнирами).

Предельные изгибающие моменты для определённых групп сечений могут приниматься равными или с заданными соотношениями. В этом случае вводится матрица конфигурации G, которая формируется из элементов Gji = 1, если i-й предельный момент принадлежит j- му расчетному сечению, и Gji = 0 - в противном случае. Матрица G имеет размерность n x s, где s– размерность вектора Мо, т.е. число оптимизируемых параметров, рассматриваемых как число различных предельных моментов (s можно назначить минимальным, равным двум: по одному для каждой совокупности ригелей и стоек, но можно и максимальным, равным общему числу стержней в системе).

7

4. Основные соотношения.

Для рамы в целом записываются условия текучести, которые выражают требования не превышения изгибающих моментов в каждом расчётном сечении предельных моментов. В матричной форме они имеют вид:

где Е – единичная матрица размером n x n; Мо – вектор оптимизируемых параметров размерности s.

Усилия, возникающие в стадии пластического деформирования, должны удовлетворять уравнениям статики.

Вектор М называется статически допустимым, если в стадии пластического разрушения кроме условий текучести (4) он удовлетворяет уравнениям равновесия. Уравнения равновесия записываются в матричной форме:

(5)

где А – матрица коэффициентов уравнений равновесия; F – вектор нагрузок. Если вектор М удовлетворяет и условию текучести, то его называют ста-

тически возможным.

В теории пластичности и, в частности, в методе предельного равновесия важную роль играют скорости деформаций. В случае действия изгибающих моментов это вектор скоростей углов поворота сечений:

Величина равная абсолютному значению скалярного произведения вектора предельных моментов и вектора скоростей деформаций называется скоро-

стью диссипации энергии:

| ̇|.

Диссипация энергии положительная величина, её выражение записывается без знака абсолютного значения:

дующим энергетическим принципом: из всех статически допустимых векторов усилий при простом пластическом разрушении действительным будет тот, при котором скорость диссипации энергии (6) минимальна.

С целью однозначности решения поставленной задачи определения наименьшего объема материала (2´) без нарушения общности в силу произ-

ленный из длин стержней рамы. Тогда выражение экстремального энергетического принципа примет вид целевой функции задачи оптимизации в статической формулировке с дополнительными условиями (4), (5):

{

Задача (7) является задачей линейного программирования в силу линейности всех входящих в нее соотношений.

Другой энергетический принцип двойственный представленному выше основывается на понятии мощности нагрузки, которая означает скалярное произведение вектора нагрузки на вектор скоростей перемещений:

̇ ̇

В стадии пластического деформирования скорости деформаций должны удовлетворять геометрическим уравнениям.

Кинематически допустимым вектором скоростей перемещений (деформаций) называется вектор, удовлетворяющий геометрическим уравнениям и дополнительным условиям нормализации, например фиксированной скорости диссипации энергии или мощности нагрузки. Вектор скоростей перемещений (деформаций) называется кинематически возможным, если удовлетворяет геометрическим уравнениям

Двойственный экстремальный энергетический принцип формулируется следующим образом: из всех кинематически допустимых векторов скоростей перемещений и деформаций при простом пластическом разрушении действительными являются те, при которых мощность нагрузки максимальна.

Полную формулировку двойственной задачи получают методом неопределённых множителей Лагранжа. Из решения двойственной задачи определяются скорости деформаций и перемещений (конфигурация механизма разрушения). Задача оптимизации в кинематической (двойственной) формулировке записывается в виде:

Задача (8) также как и задача (7) является задачей линейного программирования.

5. Совместное решение задач линейного программирования (7) и (8) позволит определить: распределение предельных моментов по расчётным се-

9

чениям стержней или их группам, отвечающее заданному критерию оптимальности; схему разрушения, т. е. картину механизма разрушения как деформирования рамы в предельном состоянии при образовании пластических шарниров с изображением их местоположений.

Решение задач (7) и (8) рекомендуется получить с помощью симплексметода. Соответствующая компьютерная программа R-OPTIM составлена доцентом С. В. Ефрюшиным в программной среде инженерных и научных расчетов MATLAB. Она позволяет выполнить весь необходимый в этой части курсового проекта большой объем расчетов. Ее текст с пояснениями приводится ниже в примере расчетов (п. 2.2).

Этот раздел работы завершается назначением размеров сечений стоек и ригелей с вычислением значения целевой функции zпл.

1.3.Выводы по результатам расчетов

Впоследней части работы необходимо:

-проанализировать эпюры изгибающих моментов, полученных в первом и втором разделах работы;

-сделать вывод о схеме образования пластических шарниров, представленной в графической форме;

-выполнить сравнение расхода материала на изготовление рамы в процент-

ном соотношении по результатам расчетов zупр в первом разделе и zпл во втором разделе работы.

2.Пример выполнения расчетной части курсового проекта

Задание. Принять: расчетную схему рамы как указано на рисунке 2; расчетное сопротивление R = 200 МПа; модуль упругости Е = 200 ГПа; поперечное сечение прямоугольное b x h, h=2*b (Рис. 3).

До начала расчетов выявить кинематические и геометрические свойства рамы. Требуется: 1. Выполнить оптимизацию металлической рамы на упругой стадии деформирования материала итерационным методом с использованием ПВК ЛИРА-САПР. По результатам расчета с учетом унификации назначить размеры сечений стоек и ригелей, вычислить значение целевой функции

2. Выполнить оптимизацию металлической рамы на стадии идеально пластического деформирования материала методом линейного программирования. Найти распределение предельных моментов по расчётным сечениям стержней или их группам, отвечающее заданному критерию оптимальности, схему разрушения и распределение изгибающих моментов в стадии пластического разрушения. Рассмотреть два варианта значений числа оптимизируемых параметров: s=2 (I) и s=7 (II). С учетом унификации (вариант I) назначить размеры сечений стоек и ригелей, вычислить значение целевой функции zпл.

3. Сделать выводы по результатам расчетов.

10