Документ: Оптимизация процессов грузовой работы., страницы 311-315

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

состояний, каж дое из которых характеризуется вероятностной оцен

кой Р; (L — 1, 2,		. . п), где п —			количество элементов множества U,
причем	Р (U) =	PI	— 1- Состоянию			готовности соответствует				не-
		І			А а	U,
которое подмножество			состояний		А а	U,	при	которых система		спо
собна выполнять		свои функции,			т. е.
				т
			Г (t) =	^	P i = P	( A	) .
				І=\
Задача	состоит в	том,	чтобы	сформулировать				множество	состояний
U я А	я определить		Р (А).
Следует заметить,			что большинство			потоков событий,			изучаемых

в теории надежности, с приемлемыми для практики допущениями

можно	считать	простейшими,	т. е. интенсивности	X (t) = const и
(д. ( t) =	const. В	этом случае	определение функции	готовности зн а

чительно упрощ ается и сводится к применению математического аппарата непрерывного во времени и дискретного в пространстве простого м арковского процесса. И спользование данного аппарата проиллюстрируем на примере определения функции готовности системы с двумя видами отказов.

Примером такой системы может служ ить электронная аппаратура

судовой автоматики. Если отказы аппаратуры в	результате износа
и старения отсутствую т, то в условиях плавания	могут иметь место

лишь внезапные отказы , вызванные, с одной стороны, различного рода случайными электрическими перегрузками, а с другой стороны — механическими воздействиями типа вибраций. Будем считать, что эти отказы подчинены экспоненциальному закону распределения с раз личными параметрами. Такое ж е предположение примем и по отно шению к распределению времени восстановления.

И так, имеем два вида независимых отказов. Распределение вре мени безотказной работы является экспоненциальным с парамет рами Я.! и Х2- Интенсивности восстановлений обозначим через и |д2- Д анная схем а, как у ж е отмечалось выше, может быть интерпре

тирована как простая м арковская цепь с тремя состояниями. Опре делим состояние 0 как состояние, при котором отсутствую т отказы обоих типов, а состояния 1 и 2 как состояния, в которых имеют место отказы соответственно первого и второго типов. Составим матрицу интенсивностей переходов системы из одного состояния в другое. Отметим сначала, что вероятности переходов из состоя ния 0 в состояния 1 или 2 за малый промежуток времени Д t равны соответственно Я,ХД t и ЯгД t. Вероятности обратных переходов из со стояния 1 или 2 в состояние 0 равны щ Д і и [х2ДД Вероятность того, что система, находясь в состоянии 0, в течение времени At останется

в этом ж е		состоянии,		определится	как	1 —	(^ і +	Я,2) Д^- И, нако
нец,	вероятности		переходов 1— 1		и	2 — 2	равны	соответственно
1 —	р,]Д і	и 1 —	р аД t.	Вероятность	ж е	одновременного появления

38

ГЛАВА 2

отказов первого и второго типов примем равной нулю. С учетом этих замечаний матрица вероятностей переходов будет иметь вид

т	0
т	1	3 ез
	(.ij At
	На Al

1	2
XxAt	Я2 At
1 — HJ AI.	0
0	1 — p2 Al

Обозначим

вероятности

нахождения

системы в

состояниях

0,

1

и 2 соответственно

через

P 0 {t),

Р х (I)

и

Р 2

(t).

И спользуя

теоремы

о

сложении

и

умножении

вероятностей,

составим на основании матрицы (2 . 1 ) систему конечно-разностных

уравнений,

описывающих

поведение

рассматриваемой

системы:

Р 0 (t +

At)

=

Р 0 (t)

[1 —

(Хх +

Я 2) At] +

+

Р 1

(t)

H i А* + Р 2

(t) ц 2Д t\

Р х (t +

At)

=

Р о

(0

ХхА t +

Р х (t) (1 -

іх ^ О ;

Р 2 {t +

At)

=

Р й (і) ХгА t +

Р 2 (t)

(1 —

ц 2 Д*).

Предельный переход At —> 0 с учетом определения производной дает

возможность получить систему дифференциальных уравнений

Ро (I) = — Ро (0 ( h +

м

+

р 1(0 И1 +

р 2(0 И2!

Pi(t) = P o ( t ) h - P l (t)vi;

(2 .2 )

Pi (t) — Po ( 0 ^ 2 — Pi (t) Ц2.

Д ля

определения

функции

готовности

необходимо

решить

си

стему

(2 .2 ) относительно Р 0 ( і) при начальных условиях

Р 0 (0 ) =

1 ;

Р х (0)

= 0;

Р 2 (0)

=

0, означающих

исправность системы в момент

ее включения. Решение системы (2.2) удобно выполнить с помощью

преобразования

Л апласа:

рРо (р) —

1

=

— Р о

(р)

(^і

+

Ь 2) + р і (Р) Иі

+ Р 2

(Р)

На!

Рр 1 (Р) =

Р о

(Р)

—

-Рі

(р)

На'.

р Р 2

(р)

=

Р о

(р

) 1 2 —

Р 2

(р)

(Х2.

Отсюда после

элементарных

преобразований

получаем

р

( п \

___________________ Р 2 +

Р (H i Ч~ П а)

+ Н іН а____________________

/П

о \

о\Р)

р[р2+ р (Кг +

Я2 +

Иі +

На) +

Ящ2 -f Я2Щ +

цці2]

’

'

>

а во временной

области будем иметь

ИіНа

РІ

-

1Pi-

( H

l

н

-

Н

г )

+

Л > (9

= Г(/) =

Я.і(і2 - |- Я2(.ц -|- цці2 +

t=

і

Рі

(Рі

+

Ях - г

Я2 - г И і +

Ц2)

ері‘ ,

(2.4)

где р1і2 —

корни знаменателя

соотношения

(2.3).

39

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Предельное значение функции (2.4) при і - >оо является коэф фициентом готовности системы

К	РИЧ	Ц1 Ц2
К	I-Я2 Ц1	Ц1 Ц2
		(2.5)

Если определению подлежит лишь установивш ееся значение функции, то зависимость (2.5) можно получить более простым путем, учитывая, что рассматриваемый процесс является эргодическнм.

Вустановивш емся режиме при t —> оо справедливы соотношения

Po(t) = Pa; P i (t )= Pi \ P2(t) = Pü		P 6 ( t ) = P t ( t ) = P i(t) = 0.
При этом система (2.2) с учетом свойства			эргодичности принимает-
вид		4“РчРй = 0;
— Po (^і4~^2 )4"
Р о^і	=	0;
Р 0Х2— Р .2р. 2		= 0;
Р 0 + Р г +	Р,	-	1,

откуда непосредственно следует (2.5).

Ввиду наличия обширной литературы по рассматриваемому

вопросу	[40, 4 6 ] ограничимся здесь лишь общей	формулировкой
задачи	и приведенным примером расчета функции	готовности.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА	§ 2.3
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГОТОВНОСТИ
'Т а к как интегральное уравнение средней частоты	отказов с учетом

восстановления (1.29) и выражение функции готовности (1.35) со держ ат интеграл типа свертки, для их решения удобно использовать метод операционного исчисления, обеспечивающий переход от урав нений относительно функции действительного переменного к алге браическим уравнениям относительно изображения по Л апласу этой функции.

При практическом использовании операционного метода встре чаю тся трудности, связанны е с нахождением изображения по Л ап ласу плотности вероятности отказа a (t) и плотности распределения времени восстановления г ( 1) при различных законах их распреде

ления, а такж е с применением теоремы	обращения.
В табл. 2.1 приводится набор часто	встречаю щ ихся в			теории
надежности функций и их изображений	по	Л апласу.
Выражение для средней частоты отказов с учетом восстановле
ния, представляющ ее собой решение уравнения			(1.29) в операторной
форме, было приведено выше [см. (1 .4 4 )].		В	случае, когда	функ-

40

ГЛАВА 2 •

Т а б л и ц а 2.1

Таблица изображений по Лапласу некоторых функций

/	U)	и > 0)			F ( P )
		I			1
		I			P
					P
ta ( a > -			1)	Г ( а + 1)
ta ( a > -			1)		ра+'
					ра+'
	е~и				1
	е~и				p-\-X
					p-\-X
	<ru t a			Г ( а + 1 )
	<ru t a			(p + X f + '
				(p + X f + '
1	( -	X I	- Ц П		1
Л - ц	U		С '	(P+	P) (P +	P)
X I	sin	(со/ -f- а)		со cos а -\|- (p + X) sin а
е—	sin	(со/ -f- а)		(Р +	Ь)* +	ш*
				(Р +	Ь)* +	ш*
e — X i	cos		а)	(p -\|- X.) cos а — со sin а
				(P+	) +	“ *

ция Ир (t) задана, это выражение можно рассматривать как уравне

ние в операторной форме относительно		частоты отказов:
А { р )	(Р)____
	1 Яр (р) R	( 2. 6)
		(р )

Запишем в операторном виде соотношение для нахождения функ ции готовности. Применив операторную форму записи к равенству

(1.35),	получим
	Г (р) = Р (р) +	Пр (р) Р (р) R	(Р)
или с	учетом соотношения (1.44)
	T M ^ P i p )	, _ л 'р)[, ( р у	(2.7)

Запишем данное выражение в другой форме.

И зображение вероятности безотказной работы может быть по лучено в виде

Р(р) = 1 - А ( р )	( 2.8)
Р

41

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

П одставляя значение Р (р) в	(2.7), получаем
Г	1 - л (р)	(2.9)
Г	1 —A(P)R (р)	(2.9)
	1 —A(P)R (р)

Соотношения (2.7) и (2.9) позволяю т путем применения обратного преобразования Л апласа найти начальную функцию Г ( t).

Если время восстановления постоянно, т. е. средняя частота отказов с учетом восстановления определяется интегральным уравне нием (1.27), операторная форма решения этого уравнения имеет вид

			A(ß)
	(Р) — 1 - А ( р - Т а) •
Применив к величине А		(р — Та) теорему смещения, будем иметь
	О р ( р )	= ------- (2.10)
		1 -	А (р) е р в
При этих	ж е условиях, применяя		к соотношению (1.33) преобразо
вание Л апласа и учитывая		выражения (2.9) и (2.10), получаем опе
раторное	выражение для функции		готовности
	Г (Р) =	І - А ( р )		(2.11)

р( 1 — А(р) е~рТ»)'

И спользование метода проиллюстрируем на примере определе ния средней частоты отказов с учетом восстановления и функции готовности в случае распределения длительности безотказной работы по закону суперпозиции двух экспонент при экспоненциальном вос

становлении. Решим сначала			интегральное уравнение (1.29).
П лотность вероятности отказов для закона суперпозиции двух
экспонент задается формулой
	a ( l ) - ClV _ l ' 4				c äV " W -		(2 . 1 2 )
где	и /Ц — параметры	распределения,
	сі +		с 2 =		1.		(2.13)
Вероятность безотказной работы при этом равна
	Р(/) =		СіГ м		+ ¥	" М .	(2.14)
П лотность распределения		времени		восстановления			имеет вид
		г (t) =		pe~pt.			(2.15)
С	учетом изображений	по Л апласу				выражений	(2.12) и (2.15)
равенство (1.44) перепишется			как
			С - ± к \		I	Г2Я 2
	(Р) =	(	P+ Ä-1		Р+ ^2______
			CjXx		,	\

\ р + Ях " и р + Я а / р + Ц

42

Материал: Оптимизация процессов грузовой работы.

Смотрите также: