Материал: Основы автоматизированного электропривода учеб. пособие

согласно которому электромагнитный момент электриче­ ской машины равен частной производной по геометриче­ скому углу от общего запаса ее электромагнитной энер­ гии. Электромагнитная энергия асинхронной машины может быть определена по соотношению

Wm = 4 (4;Af.A + ^BlB + 4*0ic + VJa + Vbib+ VFcic), (9-63)

с использованием которого можно найти электромагнит­ ный момент

< М 4 >

где р — число пар полюсов двигателя.

Уравнение движения привода представим в виде

(9-65)

где соэ — электрическая угловая скорость ротора, рад/с. Выражения (9-60)—(9-65) образуют систему уравнений асинхронной машины. Эта система содержит 14 уравнений при 14 неизвестных — 6 токов, 6 потокосцеплений, элект­ ромагнитный момент и угловая скорость, связанная с уг­

лом поворота фэ соотношением dq>a/dt = соэ.

В рассматриваемой системе уравнений используются понятия только электрического угла фа и соответственно угловой скорости (оэ, что позволяет совместно решать уравнения электрического равновесия (9-60)—(9-62) и пре­ образования энергии (9-64) с уравнением движения (9-65). При этом следует отметить, что в уравнениях электромаг­ нитного момента и движения привода должны исполь­ зоваться понятия геометрических угла и скорости

ф г = ф э / р ; оз = соэ/р.

Этим объясняется наличие числа пар полюсов р в (9-64) и (9-65) в качестве коэффициентов.

Полученная система дифференциальных уравнений трудоемка при аналитическом решении. Она высокого по­ рядка и содержит нелинейные уравнения с периодиче­ скими коэффициентами. Даже при использовании вычис­ лительных машин решение этой системы оказывается за­ труднительным.

При решении сложных уравнений часто используют следующий прием: пытаются найти некоторые новые пере­ менные, связанные со старыми функциональной зависи-

455

мостыо, при использовании которых исходные уравнения преобразуются к более простым, записанным относительно новых переменных. Если это удается осуществить, то вначале решают преобразованные уравнения, находят решение для новых переменных, а затем, используя функ­ циональную связь их со старыми, определяют последние, т. е. решают исходные уравнения.

Прп анализе дифференциальных уравнений асинхрон­ ной машины были найдены такие удачные формулы замены переменных, называемые формулами преобразования, с по­ мощью которых уравнения трехфазной асинхронной ма­ шины, записанные относительно реальных фазных величин токов и потокосцеплений, могут быть преобразованы к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Эти формулы преобразования имеют следующий вид для токов статора:

Таким преобразованиям по (9-66) и (9-67) подвергаются не только токи, но и напряжения и . потокосцепления. Формулы (9-66) и (9-67) имеют глубокий физический смысл, который будет раскрыт позднее, а сейчас, формально ис­ пользуя эти формулы, следует преобразовать выражения (9-60)—(9-64). Не приводя самих преобразований, кото­ рые подробно изложены в специальных трудах, запишем в преобразованном виде уравнения напряжения для ста­ тора:

456

уравнения напряжения для ротора:

уравнения потокосцеплений для статора и ротора:

®(Да1 = %siа.1~Ь V a 2;

статора и ротора.

Следует подчеркнуть, что входящие в преобразованные уравнения параметры xs, хт и простым образом свя­ заны с привычными параметрами схемы замещения асин­ хронной машины, поскольку есть индуктивное сопро­ тивление намагничивающего контура, а хх и х'г — индук­ тивные сопротивления рассеяния обмоток статора и ро­ тора.

Уравнения (9-68)—(9-71) совместно с (9-65) образуют преобразованную систему уравнений асинхронной машины, которая в отличие от исходной не содержит периодических коэффициентов и поэтому имеет гораздо более простой вид. Тем не менее полученная система уравнений содержит нелипейные члены вида iali$2 или ЮэТаг и сама является нелинейной. Поэтому получить ее аналитическое решение затруднительно. Однако при использовании аналоговых или цифровых вычислительных машин решение преобразо­ ванной системы не представляет особых сложностей.

Для осуществления конкретных расчетов полученная система уравнения должна быть дополнена начальными

457

условиями. Так, для расчета процесса пуска начальные условия имеют вид:

Следует отметить, что в полученные уравнения входят реальные момент и скорость, поскольку формулы преобра­ зования были введены только для электрических величин, а механические величины М и соэ не подвергались преобра­ зованиям. Это очень удобно для расчетов, поскольку опре­ деление механических величин часто представляет наиболь­ ший интерес, а в данном случае не требуется производить переход от новых переменных к старым. В тех слу­ чаях, когда найдены преобразованные электрические ве­ личины и требуется определить реальные фазные значения токов, потокосцеплений и напряжений, используются фор­ мулы обратных преобразований, которые для часто встре­ чающегося случая Ьа + 1в + ic = 0 выражаются следую­ щим образом соответственно для статорных и роторных величин:

1а — Zaii

ic= ia2cos (фэ —120’) + z'p2 sin (фэ — 120°).

Если фазные напряжения на зажимах асинхронной

где Um и y — амплитуда и начальная фаза включения напряжения сети, то, используя формулы преобразования для статорных величин вида (9-66), находим:

■Ucu= tfmCOS(C00f + Y);

(9-75)

“ P l = ^ m s i n ( c V + Y ) .

458

Полученные преобразованные уравнения асинхронной машины при известных ее параметрах позволяют рассчи­ тывать конкретные переходные процессы.

Представляет интерес рассмотреть некоторые общие физические представления об электромагнитных переход­ ных процессах, которые дают возможность оценить каче­ ственный характер этих процессов без решения указан­

тим, что вектор ix, показан­

ный на рис. 9-18, равен геометрической сумме векторов то­ ков всех фаз статора. Поскольку его обмотки одинаковы,

то вектор ix пропорционален н. с. статора и может быть

назван вектором тока статора. Проекции ix на оси фазных юбмоток равны токам соответствующих обмоток, т. е.

где 5.x — угол между вектором lx и осью обмотки фазы А. Если в плоскости, проходящей через оси фазных обмо­ ток статора выбрать двухосную ортогональную систему координат а, |3 таким образом, чтобы одна из осей совпа­ дала с осью фазы А, как показано на рис. 9-18, то, спроек­

тировав на эти оси вектор it, получим!

гах = | Н | cos бх!

(9-77)

*01 = 1*1 | coM6x- ^ J ;

459