Материал: ОТС Лекции 1 и 2 часть
2.2. Ряд Фурье.
Если выбрать в качестве ортогональных функций:
cosk t
k (t) sink t
e jk t
то этот ряд (2.1) называется рядом Фурье.
x(t) a0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(ak cosk t bk sin k t) |
(2.2) |
||||||||||||
|
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С*k |
1 |
T |
|
x (t ) |
C k e jk t |
; |
x(t)e j k t dt |
||||||||||
T |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
0 |
|||
a k |
|
2 |
|
T |
x (t ) cos |
k tdt |
|
|
|
|
|||
|
T |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b k |
|
2 |
|
T |
x (t ) sin |
k tdt |
|
|
|
|
|||
T |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 /T
- частота первой гармоники, определяемая периодом T ( T- период функции x(t) ).
Разложение сигнала в ряд Фурье называется спектром сигнала. Спектр периодического сигнала – дискретный.
Спектр непрерывного сигнала – сплошной и определяется интег-
ралом Фурье: |
- |
|
S(j ) = |
x(t) e -j t dt |
(2.3) |
- |
|
|
Шириной спектра сигнала Пэ называется полоса частот, в пределах которой заключена основная доля энергии сигнала.
11
В качестве примера рассчитаем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов c амплитудой А:
x(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
. . |
Рис.2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определим коэффициенты разложения в ряд Фурье Cк : |
||||||||||||||
ak |
2 |
/ 2 |
2A sink t |
|
|
4A |
sin k |
|
||||||
Acosk tdt |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
T |
/ 2 |
T k |
|
|
k T |
2 |
|
|||||
/2
bk = 2/Т A sin k t dt = 0, т.к. подинтегральная функция - нечетная.
- /2
Пусть Т = 2 , тогда коэффициенты ak равны:
a0 = А, ak = 2А/ k (sin k /2), при к > 0.
Итак, временная диаграмма периодической последовательности импульсов показана на рис.2.1. Спектр этой последовательности показан на рис.2.2.
ak
2A/
A/2
2A/3 Рис.2.2.
..
0 |
|
2 |
3 |
4 |
|
Ширина спектра сигнала равна, в данном случае, Пэ =2 / .
Спектр непериодического сигнала ( спектральная плотность) , как уже сказано выше, может быть получен с помощью интеграла Фурье. Для одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью на рис.2.3 получим спектр S(j ) на рис.2.4 :
|
|
|
S( j ) 2 |
A e j t dt A |
sin 0,5 |
|
|
0,5 |
2 |
|
|
12
S(j )
x(t)
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 / |
4 / |
||
Рис.2.3. |
|
|
Рис.2.4. |
||||
Спектр непериодического сигнала сплошной, бесконечный, ширина спектра определяется длительностью сигнала и, ориентировочно, равна Пэ =2 / .
Вопросы для самопроверки
1.Какие функции называются ортогональными?
2.Запишите ряд Фурье в общем виде.
3.Что такое спектр сигнала?
4.Запишите выражение для спектра периодического сигнала.
5. Рассчитайте амплитуды гармонических составляющих |
для |
периодической последовательности прямоугольных импульсов. |
|
6.Что такое ширина спектра сигнала?
7.Чему равна ширина спектра последовательности импульсов?
8.Запишите выражение для спектра непериодического сигнала.
9.Рассчитайте и постройте спектр одиночного прямоугольного импульса.
10.Какие параметры сигнала влияют на ширину спектра и на частоту гармонических составляющих спектра?
3.Теорема Котельникова.
3.1.Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
Телекоммуникационные сигналы делятся на непрерывные и дискретные. Непрерывные сигналы (функции) могут принимать любые , сколь угодно близкие друг к другу значения, в любые моменты времени. Примером непрерывного сигнала является гармоническое колебание.
Дискретные (цифровые) сигналы могут принимать только заранее известные значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину, причем изменяться эти значения могут только в определенные моменты времени. Примером дискретного сигнала является (см. рис.2.1 ) периодическая последовательность прямоугольных импульсов, которая в моменты времени ( - /2 +кТ ) принимает значения или 0, или А.
13
Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот выше в , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через
интервал времени t / в. ( Теорема Котельникова)
Временные диаграммы непрерывного сигнала x(t) и дискретизированного x д(t) имеют вид:
x(t)
|
|
|
|
t |
0 t |
2 t |
3 t |
4 t |
Рис. 3.1 |
xд(t)
0 t |
2 t |
3 t |
4 t t |
|
|
Важно, что не надо передавать |
непрерывно исходный сигнал x(t), |
||||
достаточно передавать отсчёты x(k t). |
Это первый шаг перехода от |
||||
непрерывного сигнала к цифровому. |
С точки зрения математики теорема |
||||
Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:
|
|
sin в (t k t) |
x(t) x(k t) |
в (t k t) |
|
k |
|
|
x (k t ) отсчёты |
||
(sin вер |
(t k t )) / вер (t |
|
(3.1)
k t ) функции |
отсчётов |
Ряд Котельникова – это разложение сигнала x(t) |
в ряд по ортого- |
нальным функциям k (t). |
|
k (t) (sin вер(t k t))/ вер(t k t) |
(3.2) |
Теоретически дискретизация осуществляется с помощью -импульсов . Временная диаграмма одиночного - импульса имеет вид:
u(t)
(t-a)
Рис. 3.2 |
0 |
a |
t |
14
|
( t |
) |
|
|
0 , t |
|
|
0 |
|
|
|
, t |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( t |
|
a |
) |
|
|
0 , t |
|
a |
|
|
|
, t |
|
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Спектр одиночного - импульса получим, используя преобразование Фурье:
S |
|
|
|
|
|
|
( |
j ) |
|
( t ) e |
j t dt |
1 |
Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:
(t a)f(t)dt f(a)
Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:
S(j )
1
Рис. 3.3
Чтобы получить отсчёты функции x(t ) перемножим функцию x (t ) на
периодическую последовательность - импульсов с периодом Т= t. Временная диаграмма периодической последовательности дельтаимпульсов имеет вид:
u (t)
(t+4 t) (t+3 t) |
(t+2 t) (t+ t) |
|
(t) (t- t) |
(t-2 t) |
(t-3 t) |
|
|
|
||||||||||
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 t |
-3 t |
-2 t |
- t |
0 |
t |
2 t |
3 t |
4 t |
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как сигнал периодический, то его спектр будет |
дискретным. |
|||||||||||||||||
15