Материал: ОТС Лекции 1 и 2 часть
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
u (t) Ck e jk t |
|
|
e 2 jk t |
|
|
e jk t |
|
|
e jk t |
|||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
(3.3) |
||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ck |
1 |
2 (t)e jk t dt |
1 |
|
; |
|
|
2 |
2 |
2 в |
2 в д |
|||||||
T |
t |
|
|
|||||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = t ; |
|
д -частота дискретизации. |
|
|
||||||||||||||
Спектр периодической последовательности - импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид :
S(j )
|
|
|
|
|
|
1/ t |
|
|
|
|
|
|
Рис.3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
. . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
--3 д -2 д |
- д |
0 д |
2 д |
3 д |
||||||||||
|
||||||||||||||
3.2. Спектр дискретизированного сигнала.
Рассмотрим временные диаграммы исходного и дискретизированного сигналов:
x(t)
|
|
|
|
t |
0 t |
2 t |
3 t |
4 t |
Рис. 3.6 |
xд(t)
0 t 2 t 3 t 4 t t
xд(t) x(t)U (t)- дискретизированный сигнал
x(t)- исходный сигнал.
U (t)-периодическая последовательность - импульсов
16
Разложим периодическую последовательность -импульсов в ряд Фурье, как мы это делали выше:
U (t) |
|
1 |
|
|
e j дt |
1 |
|
|
1 |
|
e j дt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
t |
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
xд (t) x(t)U (t) x(t)[ |
1 |
|
e j дt |
1 |
|
1 |
e j дt ] |
||||||||||||||||||||||
|
t |
t |
t |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдём спектр дискретизированного сигнала. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
S |
д ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xд (t)e j t dt 1 |
|
x(t)e j( д )t dt 1 |
x(t)e j t dt |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
j( д )t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
(3.4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x(t)e |
|
|
|
|
|
|
dt t S |
x ( д ) t Sx( ) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Sx( |
д |
) |
|
|
|
Sx( 2 |
д |
) ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т.о. мы видим, что спектр дискретизированного сигнала содержит спектр исходного сигнала Sx( ), спектр исходного сигнала смещенный на величину частоты дискретизации вправо Sx( - д), тот же спектр смещенный на величину частоты дискретизации влево Sx( + д), тот же спектр смещенный на величину 2 д и т.д.
Спектр исходного непрерывного сигнала.
Sx( )
Рис.3.8
|
|
|
- g |
g |
|
|
|
|
Спектр дискретизированного сигнала: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Sд( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……….. |
|
|
|
|
|
|
………… |
|
(- д - в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
- д |
- в 0 |
в |
д |
( д + в) |
|
|||
17
3.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности (сигнал амплитудно-импульсной модуляции или АИМ сигнал).
Очевидно, что реально мы располагаем не последовательностью дельта-импульсов, а последовательностью импульсов конечной длительности.
В результате процесса дискретизации мы получим не последовательность дельта-импульсов, амплитуда которых соответствует значению непрерывного сигнала в тактовые моменты времени, а последовательность реальных, например, прямоугольных импульсов, амплитуда которых соответствует значениям непрерывного сингнала в тактовые моменты времени.
Рассмотрим временные диаграммы :
x(t) |
аналоговый сигнал |
|
t |
U(t) |
периодическая последовательность импульсов |
xаим(t) |
t |
сигнал АИМ |
|
|
t |
0 |
t |
2 t |
3 t |
4 t …… |
|
|
Рис.3.10. |
|
|
АИМ сигнал можно записать в виде:
xдАИМ (t) x(t)U(t) x(t) a21 e j дt a20 a21 e j дt
U(t)-периодическая последовательность импульсов.
В квадратных скобках – ряд Фурье для последовательности импульсов конечной длительности.
Спектр АИМ сигнала,следовательно, похож на спектр дискретизированного сигнала при дискретизации дельта -импульсами , но
18
амплитуда составляющих спектра убывает с ростом номера гармоники :
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
S ( ) |
|
2 |
Sx( 2 ) |
|
1 |
S ( ) 0 |
S ( ) |
|||
2 |
|
2 |
||||||||
д |
|
|
д |
x |
д |
2 |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 S ( ) a2 |
Sx( 2 ) ...... |
|
|
(3.5) |
||||||
2 x |
д |
2 |
д |
|
|
|
|
|
||
Спектр АИМ сигнала в соответствии с формулой (3.5) принимает вид, показанный на рис.3.11.
Sд( )
-2 д |
- д |
- в 0 |
в |
д |
2 д |
|
Рис.3.11
3.4.Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов.
Влинию связи передаются импульсы-отсчёты, которые поступают на вход приёмника.
Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсовотсчётов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра низких частот (ИФНЧ), который имеет следующие характеристики.
Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ (АЧХ ИФНЧ) имеет вид:
K( )
K
- д 0 д
Рис.3.12
Импульсная реакция ИФНЧ, т.е. реакция на дельта-импульс имеет вид:
19
gифнч (t)
Рис. 3.13
t
-3 t |
- 2 t |
- t |
|
0 |
t |
2 t |
3 t |
||
g ИФНЧ |
(t ) |
|
K |
sin |
в t |
|
|
||
в t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в t k |
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
k |
|
k t |
|
|
|
|||
верх |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая формула - это выражение для импульсной реакции ИФНЧ, вторая и третья формулы определяют моменты времени, для которых
g ИФНЧ(t) обращается в ноль.
Cо спектральной точки зрения мы пропускаем дискретизированный сигнал, имеющий спектр в соответствии с рис.3.9 или 3.11, через ИФНЧ с АЧХ рис.3.12. Очевидно, что на выходе ИФНЧ получим спектр:
S( )= K Sд( ) = KSx( ) / t;
или для АИМ сигнала получим: S( )= KSд( ) = Ka0Sx( ) /2.
Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получили на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала x(t).С временной точки зрения мы получили исходный непрерывный сигнал x(t).
3.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов.
Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис.3.14 показаны некоторые варианты финитных спектров:
Sx( ) 3 2
1
0 |
в |
|
Рис.3.14.
Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны. В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью.
20