Материал: Панков Пособие по ТВиМС часть 2

Основная гипотеза имеет вид:

H0 : p1,...,pN 1,pN ,... p10 ,...,pN0 1,pN0 ,... .

Данный случай сводят к предыдущему с помощью следующего приема. Будем считать, что x1,...,xn – выборка из полиномиальной случайной

величины следующего вида:

где F0 x - некоторая фиксированная функция распределения.

Разобьем область значений случайной величины на N непересекающихся подмножеств S1,...,SN . Если xi Sk , то говорят, что произошло событие Ek , для всех k 1,N .

36

И мы сводим ситуацию опять к первому случаю.

Метод, который мы применили во втором и в третьем случае, можно назвать

методом группировки данных.

Пример. При n 4040 бросаниях монеты Бюффон получил h1 2048

выпадений герба и h2 n h1 1992 выпадений решетки. Проверим, используя критерий 2 , совместимы ли эти данные с гипотезой H0 о том, что монета была симметрична, т. е. что вероятность выпадения герба p 1/ 2. Здесь

N 2 ,

p1(0) 1/ 2 p , p2(0) 1 p 1/ 2 ,

не противоречат гипотезе.

Критерий однородности хи-квадрат

Одной из важных прикладных задач математической статистики является задача проверки однородности статистического материала. Пусть имеются две независимые выборки, описывающие один и тот же процесс, явление и так далее, но полученные в разное время или, вообще говоря, в разных условиях. Требуется установить, являются ли они выборками из одного и того же распределения, или же закон распределения от выборки к выборке меняется. Такая задача может возникнуть, к примеру, при контроле качества некоторой продукции, когда по контрольным выборкам из различных партий требуется

37

установить, не менялось ли ее качество от смены к смене или в результате изменения технологического процесса и так далее.

В таком виде задачу можно сформулировать следующим образом:

Пусть x1,...,xn - выборка из случайной величины с некоторой функцией распределения F x , y1,...,yn - выборка из случайной величины с некоторой функцией распределения F (x).

Требуется проверить гипотезу однородности:

H0 :F (x) F (x).

Часто применяемым в такой ситуации критерием является критерий однородности хи-квадрат 2 . Его используют для проверки однородности

данных, имеющих конечную дискретную структуру. Но к этому виду можно свести любую другую модель, как мы показали выше, применяя предварительно метод группировки данных. Поэтому метод 2 применим, на самом деле, к анализу любых данных, т. е. является в этом смысле универсальным. Кроме того, с помощью этого метода можно анализировать

соответственно. При этом в каждом из них наблюдалась величина, принимающая одно из N значений: E1, ,EN .

Но здесь возникает проблема: мы не знаем pj,i pj - они нам не даны

изначально. Значит, вместо них следует использовать какие-то оценки. Используем в статистике вместо pj оценку

38

число степеней свободы которого равно NS N S 1. Сформулируем критерий однородности выборок хи-квадрат:

-если статистика 2* C , то принимаем гипотезу H0 ;

-если статистика 2* C , то отвергаем гипотезу H0 (принимаем H0 ).

Уровень значимости , также как и в случае критерия согласия хи-квадрат, задает конкретное значение C :

P H0 | H0 P 2* C | H0

k 1

39

удобно располагать в виде таблицы сопряженности двух признаков:

pi,j - вероятность появления пары признаков ai,bj , pi,0 - вероятность появления признака ai ,

p0,j - вероятность появления признака bj .

Основная гипотеза имеет в этом случае вид:

H0 : pi,j pi,0p0,j для всех j 1,N и для всех i 1,S .

Как и в предыдущей подтеме, при построении статистики воспользуемся вместо неизвестных вероятностей их оценками.

Рассмотрим статистику:

Сформулируем критерий независимости признаков хи-квадрат:

- если статистика 2 , то принимаем гипотезу ;

C H0

- если статистика 2 , то отвергаем гипотезу (принимаем ).

C H0 H0

Также, как и в случае предыдущих критериев, ошибка первого рода, или уровень значимости , задает конкретное значение C :

Поэтому принимаем:

40