Материал: Построение эконометрической модели производственной функции и ее анализ в среде Excel

где -определитель матрицы коэффициентов парной корреляции R;- алгебраическое дополнение элемента rjj той же матрицы R.

Для линейной двухфакторной модели вычисляем множественный коэффициент корреляции Y на K и Y на L (Y-1, K-2,L-3) по формуле:

где - определитель матрицы R; R11 - алгебраическое дополнение первого диагонального элемента r11 той же матрицы R:

Определители матриц вычисляются с помощью функции МОПРЕД(массив).

Коэффициенты частной корреляции находим по формулам:

где R12, R13 - алгебраические дополнения элементов r12, r13 матрицы, а R22 и R33 -алгебраические дополнения второго и третьего диагональных элементов.

Коэффициент Пирсона характеризует тесноту связи изучаемых явлений и находится с помощью функции PEARSON.

Критерий Стьюдента определяет оценку значимости коэффициентов корреляции и рассчитывается по формуле:

r - коэффициент корреляции

n - число измерений (пар наблюдений)

k=0 при парном коэффициенте корреляции

k=1 при частном коэффициенте корреляции

Рассчитанное значение критерия Стьюдента сравниваем с табличным:

tтабл(α; n- k-2), где:

α - уровень значимости;

n- k-2 - число степеней свободы.

Данное табличное значение рассчитывается с помощью:

СТЬЮДРАСПОБР(α; n- k-2).

Если tрасч>tтабл, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Все коэффициенты линейной функции и функции Кобба-Дугаласа объединяем в таблицу для того, чтобы сделать предварительные выводы:

Мы можем сделать следующие заключения по результатам рассчитанных коэффициентов линейной модели:

Коэффициенты Пирсона небольшие по своей величине (Y,K =0,204), (Y,L=0,241). Мы можем сделать вывод, что между показателем результата Y и факторными показателями K и L, скорее всего, низкая степень линейной зависимости.

Множественный коэффициент корреляции R1,2,3 = можно оценить по шкале Чеддока: связь изучаемых явлений является слабой.

Значение r212.3=0,011 говорит о том, что включение в модель фактора "Производственные фонды" приводит к сокращению остаточной дисперсии на 1% от исходной величины.

Значение r213.2 =0,028 говорит о том, что включение в модель фактора "Затраты труда" приводит к сокращению остаточной дисперсии на 3% от исходной величины.

С помощью проведенного t-критерия Стьюдента множественной регрессии мы получили, что tрасч<tтабл, что говорит о статистической незначимости коэффициентов.

Мы можем сделать следующие заключения по результатам рассчитанных коэффициентов ПФКД:

Коэффициенты Пирсона небольшие по своей величине (Y,K =0,258), (Y,L=0,236). Мы можем сделать вывод, что между показателем результата Y и факторными показателями K и L, скорее всего, низкая степень линейной зависимости.

Множественный коэффициент корреляции R1,2,3 = можно оценить по шкале Чеддока: связь изучаемых явлений является слабой.

Значение r212.3=0,028 говорит о том, что включение в модель фактора "Производственные фонды" приводит к сокращению остаточной дисперсии на 3% от исходной величины.

Значение r213.2=0,017 говорит о том, что включение в модель фактора "Затраты труда" приводит к сокращению остаточной дисперсии на 2% от исходной величины.

С помощью проведенного t-критерия Стьюдента множественной регрессии мы получили, что tрасч<tтабл, что говорит о статистической незначимости коэффициентов.

Коэффициенты парной корреляции и парной детерминации степенной функции:

Данные коэффициенты корреляции и детерминации показывают, что связь изучаемых явлений является слабой. Также мы получили, что tрасч<tтабл, что говорит о статистический незначимости коэффициентов.

.3 Выполнение дисперсионного анализа производственных функций процедурой двухвыборочногоF-теста для дисперсий на двухстороннем уровне значимости α=0,025

Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

Оценка влияния факторов на результирующий признак проводится двухвыборочнымF-тестом для дисперсии( «Анализ данных», ДвухвыборочныйF-тест для дисперсии). Он применяется для сравнения дисперсий двух генеральных совокупностей.

Результаты двухвыборочного F-теста линейной функции:

F критическое одностороннее соответствует двухстороннему критерию с 5% уровнем значимости, т.е. значение альфа, вводимое в диалоговом окне инструмента, равнялось 0,025.

Результаты двухвыборочного F-теста функции Кобба-Дугласа:

Результаты двухвыборочного F-теста степенной модели:

Результаты дисперсионного анализа линейной модели

Двухстороннее значение р в первом случае равно 1,05E-18, что соответствует случаю значительного влияния факторов на зависимую переменную LN(Y). Во втором случае р равно 0,905653048, что не соответствует случаю значительного влияния факторов на зависимую переменную LN(Y). Вычисленная F-статистика для уровня значимости 5% в первом случае превосходит критическое значение 2,978587524, а во втором случае не превосходит, поэтому мы можем отвергнуть нулевую гипотезу равенства дисперсии.

Результаты дисперсионного анализа функции Кобба-Дугласа

Двухсторонние значения р равны 0,067779434 и 0,000935534, что не соответствует случаю значительного влияния факторов на зависимую переменную LN(Y). Вычисленная F-статистика для уровня значимости 5% в первом случае не превосходит критического значения 2,978587524, а во втором случае превосходит, поэтому мы можем отвергнуть нулевую гипотезу равенства дисперсии.

Результаты дисперсионного анализа степенной модели

Двухстороннее значение р равно0,029586087 , что не соответствует случаю значительного влияния факторов на зависимую переменную LN(Y). Вычисленная F-статистика для уровня значимости 5% превосходит критическое значение 2,978587524, поэтому мы можем отвергнуть нулевую гипотезу равенства дисперсии.

На данном этапе лучшей моделью по дисперсионному анализу является линейная модель.

3. Проведение регрессионного анализа исходных данных и выбор аналитической формы записи производственной функции

.1 Выполнение расчетов однофакторной степенной зависимости с использованием статистической функции «Линейн» и проведение статистического анализа

Для оценки параметров уравнения степенной модели используем функцию «Линейн».

Основные характеристики степенной модели

А1, А0- коэффициенты модели. Находятся по формулам:

 ,

SА1 , SА0 - среднеквадратические отклонения коэффициентов А1, А0 от своих математических ожиданий. Находятся по формулам:

- коэффициент детерминации;

Е - ошибка модели или среднеквадратическое отклонение остатков;

- критерий Фишера;

-p - число степеней свободы для остатков модели;

р - количество коэффициентов в модели, включая свободный коэффициент;ESS=RSS - сумма квадратов отклонений Y, обусловленных регрессией;

TSS - общая вариация переменной y;

сумма квадратов отклонений остатков.

Выполняем потенцирование уравнения :

Значение e0,526 = а0 получим с использованием функции EXP( ): а0 =1,6926 . Получим следующее уравнение степенной модели регрессии:

Чтобы провести статистический анализ, находим индекс корреляции , который характеризует тесноту связи изучаемых переменных:

3.2 Построение модели множественной регрессии для двухфакторных линейной и мультипликативной производственных функций с помощью инструмента «Регрессия» пакета «Анализ данных» и проведение статистического анализа

Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей получать оценки значений результирующей (так называемой зависимой) переменной по значениям объясняющих (так называемых независимых) показателей.

Чтобы проанализировать взаимосвязь между факторами, воспользуемся функцией «Регрессия». Множественный регрессионный анализ с помощью этого инструмента можно выполнить в двух формах: