Материал: Практическая работа 1 Теоретические основы моделирования. Регрессионный и корреляционный анализ

Практическая работа № 2 Линейная оптимизация.Вариант 1Целевая функция – максимум прибыли, расход и ресурсные ограничения по видам сырья.Задаем ограничения:

1. 
   x₁+3x₂
   

2. 
   2x₁+x₂
   

3. 
   Задаем целевую функцию:
   

4. 
   Настраиваем «Поиск решения»
   

5. 
   Получаем решение:
   

Вопросы для проверки:

1. 
   Назовите основные методы решения ЗЛП.
   

Графический метод решения задачи линейного программирования основан на геометрической интерпретации ЗЛП и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможноНаиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей ЗЛП является симплекс-метод. Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью. Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.Первый полиномиальный алгоритм, метод эллипсоидов

, был предложен в 1979 г. советским математиком Л. Хачияном, разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, нежели симплекс-метод, некомбинаторную природу. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП — методов внутренней точки, первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году. Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку ЗЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений ЗЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника.

2. 
   Поясните суть симплекс-метода решения ЗЛП.
   

Суть симплекс-метода заключается в том, что решение ЗЛП осуществляется итерационно и основывается на переходе от одного допустимого базисного решения к другому, при котором значение целевой функции улучшается. Этот процесс длится до тех пор, пока дальнейшее улучшение целевой функции станет невозможно.В алгебраических терминах симплекс-метод предполагает:1) умение находить начальный опорный план;2) наличие признака оптимальности опорного плана;3) умение переходить к нехудшему опорному плану.Геометрический смысл симплекс-метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ОДР к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее значение, до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.Симплексный метод универсален, поскольку позволяет решить любую ЗЛП.

3. 
   Поясните суть графического решения ЗЛП.
   

Этот метод применяется для решения ЗЛП с двумя переменными, заданными в неканонической форме и многими переменными в канонической форме, при условии, что они содержат не более двух свободных переменных. Метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождении среди них оптимального решения(ОДР). ОДР задачи – это ОДР системы неравенств и равенств ограничений. Для нахождения среди ДР оптимального решения используют линии уровня и опорные прямые. Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем случае имеет вид 

. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль .Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с ОДР и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей. ОДР имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение. Значения целевой функции на линии уровня возрастают, если линии уровня перемещать в направлении их нормали и убывают при перемещении линий уровня в противоположном направлении.

4.   1   2   3

Могут ли ответы в решении ЗЛП быть отрицательными и почему? Если все оценки индексной строки (строки целевой функции) не отрицательны, то соответствующий план является оптимальным в задаче максимизации. Признак оптимальности задачи минимизации: Если все оценки индексной строки (строки целевой функции) не положительны, то соответствующий план является оптимальным в задаче минимизации.

5. 
   Какие ресурсные ограничения используются в задачах ЗЛП?
   

Основными ресурсными ограничениями в задачах ЗЛП являются материальные ресурсы(деньги, материалы, сырье), время, рабочая сила.Практическая работа № 3 Транспортная задача.Задание: Определить оптимальный план перевозок с минимальными затратами для исходных данных, приведенных ниже.Вариант 2

6. 
   Указываем тарифы на перевозку единицы товара от каждого поставщика к каждому потребителю:
   

7. 
   Настраиваем «Поиск решения»
   

8. 
   Получаем оптимальные объемы перевозок и минимальное значение целевой функции:
   

Вопросы для проверки:

1. 
   Какие задачи линейного программирования называются транспортными?
   

Транспортная задача – это задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходе (это основные условия задачи).Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку). Под названием транспортная задача, определяется широкий круг задач с единой математической моделью, эти задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены оптимальным методом. Однако, специальный метод решения транспортной задачи позволяет существенно упростить её решение, поскольку транспортная задача разрабатывалась для минимизации стоимости перевозок.

2. 
   Каковы особенности математической модели транспортной задачи?
   

Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах  . Известны - стоимости перевозки единицы груза от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида:

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…