Материал: Прикладная теория систем массового обслуживания

.1 Математическое описание

Имитационное моделирование основано на применении метода Монте-Карло, в котором используется искусственная реализация вероятностных законов. С помощью генератора псевдослучайных чисел вырабатываются независимые реализации случайного процесса, а интересующие нас характеристики находятся путем усреднения по всему множеству реализаций.

Исходные данные для имитационного моделирования:

·        Дисциплина обслуживания - СМО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами.

·        - число каналов обслуживания;

·        - интенсивность простейшего входящего потока заявок;

·        - Интенсивность потока обслуживания заявок;

·        - Интенсивность простейшего потока освобождения канала;

- параметр нетерпения заявки;

Интенсивности поступления и обслуживания заявок распределены по пуассоновскому закону.

При разработке имитационной модели для реализации входного потока заявок и потока обслуживания из равномерной случайной величины, генерируемой ЭВМ, необходимо получить случайную величину, распределенную по пуассоновскому закону. Пусть  - случайная величина, равномерно распределенная в интервале . Для пуассоновского распределения примем [1]

                               (3.1)

Осуществив интегрирование, получим [1]:

                                                        (3.2)

Решая это уравнение относительно , имеем [1]:

.                                          (3.3)

Случайное число  распределено равномерно в интервале , следовательно  также случайная величина, принадлежащая интервалу .

Поэтому  и  распределены одинаково. Отсюда имеем [1]:

.                                                       (3.4)

Определяемая этим соотношением случайная величина  имеет пуассоновский закон распределения. Таким образом, интервал времени между заявками определяется следующим образом [1]:

,                                        (3.5)

где  - случайная величина в диапазоне , генерируемая ЭВМ.

Требуемые характеристики СМО можно определить следующим образом:

) Вероятность обслуживания:

,                                                 (3.6)

где  - количество обслуженных заявок;  - общее количество заявок, пришедших в систему за время моделирования.

) Вероятность занятости отдельного канала:

,                                                    (3.7)

) Среднее число занятых каналов:

,                                                 (3.8)

где  - интенсивность простейшего входящего потока заявок,  - интенсивность потока обслуживания заявок.

Таким образом, используя имитационную модель можно получить требуемые параметры.

Имитационное моделирование включает следующие этапы [1]:

. Построение входного потока заявок. Время появления заявки определяется следующим образом:

,                        (3.9)

где  - модельное время.

. Обслуживание заявок. Для каждой заявки, стоящей на обслуживании, проверяется, не истекло ли время ее обслуживания. Если время истекло, то заявка считается обслуженной и занятые ей приборы освобождаются.

. Генерация новой заявки. Генерируется время обслуживания пришедшей заявки, т.к. оно распределено по пуассоновскому закону, то время обслуживания:

,                               (3.10)

где  - время обслуживания пришедшей заявки.

Далее заявка ставится на обслуживание, здесь возможны два варианта:

) в системе свободно  приборов и заявка обслуживается одновременно  приборами. При этом заявка обслуживается параллельно, интенсивность обслуживания заявки увеличивается в  раз;

) число свободных приборов меньше . Заявка становится на обслуживание и обслуживается параллельно оставшимся числом приборов.

При моделировании используем программу для расчета имитационной модели (листинг программы см. Приложении 1).

3.2 Описание блок-схемы алгоритма

Блок-схема имитационного моделирования приведена на рис.3.1

Описание блок-схемы:

) Установка начальных значений и обнуление счётчиков заявок, выполненных заявок, отказов.

Рассмотрим функционирование одного цикла моделирования:

) Обнуление счетчиков занятых каналов.

) Если текущее модельное время превышает время прихода следующей заявки, то генерируется новая заявка. Заявка генерируется в виде случайного промежутка времени, который распределён по пуассоновскому закону.

) Проверка занятости каналов. Сохраняются номера свободных каналов, если они в данный момент есть, а также их количество.

) Если количество свободных каналов больше, чем параметр взаимопомощи l, то заявка ставится на обслуживания. Постановка заявки на обслуживание происходит в виде генерации случайного промежутка времени распределённого по пуассоновскому закону.

) Если количество свободных приборов меньше параметра взаимопомощи l, но больше нуля, то заявка ставится на обслуживание и обслуживается оставшимся числом свободных приборов. Постановка на обслуживание осуществляется как в предыдущем пункте

) Если нет свободных приборов, то заявка получает отказ в обслуживании и увеличивается на 1 счётчик отказов.

Далее идёт следующая итерация цикла.

8) Вычисление требуемых параметров СМО:  - вероятности обслуживания,

 - вероятность занятости отдельного канала,  - среднее число занятых каналов.

На основании изложенного алгоритма была разработана программа (Приложение 1). При имитационном моделировании для получения статистически достоверных результатов необходимо некоторое число  реализаций. Чем больше , тем точнее оценки. В нашем случае количество реализаций можно найти по формуле [2]:

,                                             (3.11)

где  - дисперсия;  - задаваемая точность;  - уровень значимости.

При использовании данной формулы необходимо знать дисперсию , но она изначально неизвестна. Поэтому зададимся произвольным числом реализаций (10 реализаций), определим дисперсию, и найдем количество необходимых реализаций.

В таблице 1 приложения 2 представлены полученные реализации. Посчитаем дисперсию:

Зададимся точностью  и уровнем значимости : для инженерных расчетов приемлемой считается погрешность не более 10%, поэтому точность можно взять , а уровень значимости .

Рис. 3.1 Блок-схема алгоритма имитационной модели

Рис. 3.1 Блок-схема алгоритма имитационной модели (продолжение)

В этом случае число реализаций . Таким образом, имитационное моделирование было произведено с большей точностью.

3.3 Анализ полученных результатов моделирования

В результате имитационного моделирования были получены следующие значения статических характеристик:

При числе каналов обслуживания n=3

 = 0,446

 = 0,558

 = 1,669

При числе каналов обслуживания n=4

 = 0,650

 = 0,556

 = 2,225

При числе каналов обслуживания n=5

 = 0,708

 = 0,511

 = 2,554

При числе каналов обслуживания n=6

 = 0,745

 = 0,463

 = 2,778

Рассмотренный выше алгоритм построения имитационной модели реализован в программе, листинг которой приведен в Приложении 1, а результаты работы программы в виде таблицы - в Приложении 3, графики представлены в Приложении 4.

Проводя моделирование при увеличении числа обслуживающих приборов от 3 до 6, наблюдаем:

·        увеличение вероятности обслуживания;

·        уменьшение вероятности занятости канала;

·        увеличение среднего числа занятых каналов.

Существенным достоинством имитационной модели является возможность при многократном моделировании получить достаточно точные оценки рассчитываемых вероятностных показателей. Поэтому было произведено 10-ти кратное моделирование и усреднение полученных данных. Подробные результаты представлены в Приложении 3.

4. Разработка аналитической модели

.1 Математическое описание аналитической модели

Рассмотрим заданную систему массового обслуживания - систему ПРО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами (при рассмотрении ПРО взаимопомощь между каналами состоит в том, что одну цель могут одновременно обстреливать  каналов, при этом эффективная скорострельность увеличивается в  раз).

На вход n-канальной системы массового обслуживания поступает простейший поток заявок с плотностью . Плотность простейшего потока обслуживаний каждого канала . Если поступившая на обслуживание заявка застает все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно  каналами (). При этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсивность .