Материал: Прикладная теория систем массового обслуживания

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при  вновь прибывшая заявка будет принята к обслуживанию и будет обслуживаться одновременно  каналами.

Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе  заявок (), при этом , то поступившая заявка будет обслуживаться  каналами с общей производительностью . Если вновь поступившая заявка застает в системе  заявок и при этом выполняются совместно два неравенства  и , то заявка будет принята на обслуживание. В этом случае заявки, находившиеся на обслуживании будут обслуживаться  каналами, а вновь пришедшая заявка - меньшим, чем , числом каналов, но в обслуживании будут заняты все n каналов. Если вновь поступившая заявка застает в системе все каналы занятыми, то она получает отказ и не обслуживается. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).

Исходные данные для имитационного моделирования:

·        - интенсивность простейшего входящего потока заявок;

·        - Интенсивность потока обслуживания заявок;

·        - Интенсивность простейшего потока освобождения канала;

- параметр нетерпения заявки;

·        - число каналов обслуживания;

Такой системе соответствует следующий граф (входящий поток и поток обслуживания - Пуассоновские, режим работы - стационарный).

За состояние системы принимается число заявок, находящихся в данный момент на обслуживании в системе [1]:

Рис. 4.1 Граф состояний системы ПРО с отказами и частичной взаимопомощью между каналами

.

Если в системе  заявок, то  заявка обслуживается  приборами, а  заявка -  приборами.

Можно записать систему алгебраических уравнений в общем виде [1]:

                                              (4.1)

 - вероятность того, что система находится в состоянии .

Последнее уравнение системы представляет собой условие нормировки, так как мы имеем дело с полной группой событий. Решив данную систему алгебраических уравнений можно найти вероятности нахождения системы в каждом из состояний.

Заметим, что граф состояний системы до состояния , с точностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания с отказами.

Следовательно [1]:

                      (4.2)

                                            (4.3)

Введем обозначения: , тогда:

С учетом нормировочного условия, получаем [1]:

                                       (4.4)

где .

Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение [1]

                                            (4.5)

Формулы расчетных характеристик для нашего случая будут выглядеть так:

) Вероятность обслуживания заявки (вероятность поражения самолёта):

,                      (4.6)

) Среднее число занятых каналов обслуживания:

                  (4.7)

) Вероятность занятости канала:

.                                                    (4.8)

4.2 Расчет параметров СМО

Рассмотрим граф состояний для нашего конкретного случая, т.е. количество каналов обслуживания , а количество взаимодействующих каналов .

.        Для ,

 - граф состояний

Рис. 4.2 Граф состояний 3-х канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

система уравнений

                                                                        (4.9)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

. Для , :

граф состояний

Рис. 4.3 Граф состояний 4-х канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

Х₂ - в системе находится две заявки (занято 3 канала, вторая заявка обслуживается одним прибором);

система уравнений

                                                                   (4.10)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

. Для , :

граф состояний

Рис. 4.4 Граф состояний 5-и канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

Х₂ - в системе находится две заявки (занято 5 каналов одна обслуживается двумя каналами другая тремя);

система уравнений

                                                                 (4.11)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

. Для , :

граф состояний

Рис. 4.5 Граф состояний 6-и канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

Х₂ - в системе находится две заявки (занято 6 каналов каждая заявка обслуживается 3-мя приборами);

система уравнений

                                                        (4.12)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

При решении системы уравнений вероятностных состояний используем программу для расчета аналитической модели (листинг программы см. Приложение 1). Результаты вычислений представлены в табл.1

4.3 Анализ полученных результатов моделирования

Была исследована зависимость вероятностных характеристик системы от числа обслуживающих приборов. При увеличении числа обслуживающих приборов от 3 до 6 наблюдаем:

·        уменьшение вероятности занятости канала;

·        неизменность среднего времени занятости канала;

·        увеличение среднего времени простоя канала.

В результате аналитического моделирования получены интересующие нас вероятностные характеристики системы. При аналитическом моделировании система ПРО рассматривалась в виде графа гибели и размножения, что позволило определить вероятности состояний из системы уравнений. Также эти характеристики могут быть посчитаны по заранее известным формулам. Расчет по эти формулам произведен в программе, листинг которой представлен в Приложении 2. Результаты аналитического моделирования представлены также в Приложении 3. А требуемые графики в Приложении 4.

5. Сопоставление полученных результатов для разработанных моделей

Что бы убедиться в адекватности применяемых моделей СМО, воспользуемся статистическим критерием , который служит для проверки однородности двух независимых выборок.

Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные, непрерывные функции распределения  и .

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента функции распределения равны между собой: .

Для того чтобы при заданном уровне значимости  и количестве степеней свободы  проверить нулевую гипотезу  об однородности двух независимых выборок объемов  и  () при конкурирующей гипотезе  необходимо найти величину  по формуле [2]:

,                                 (5.1)

и сравнить полученное значение с табличным  для данных  и .

Если , нулевую гипотезу отвергают.

Если , гипотеза об однородности выборок принимается.

Зададимся уровнем значимости  (число степеней свободы ), при объеме выборки .

Значение  для данных параметров равно 0,004.

В качестве  выберем вероятность занятости канала обслуживания для аналитической модели, а - для имитационной модели.

Результаты расчетов сведем в таблицу.