Предполагается, что потребитель получает доход в виде процента по сбережениям и от продажи недвижимости, а расходует его на покупку новой недвижимости и обслуживание имеющейся. Особенность описания рынка недвижимости в модели состоит в предположении о его неполной ликвидности. Агент не всегда может сразу продать то, что он имеет или найти подходящую покупку. Ему приходится ждать момента, когда он может осуществить сделку. Пусть - величина покупки (при ) или продажи (при ) недвижимости, если сделка происходит в момент . В этот момент объем недвижимости агента скачком меняется на величину , а сбережения опять-таки скачком изменяются на величину . Здесь - текущая цена недвижимости. Функция предполагается неслучайной, настолько гладкой, насколько потребуется, отделенной от 0 и не слишком быстро растущей при . Самосогласованность предположения о неслучайном характере цены обосновывается в гл. 3.
Согласно принципу рациональных ожиданий считается, что агент знает правильный прогноз этой цены на все будущее время. Остальные цены, которые появятся в модели, считаются постоянным.
В промежутках между сделками недвижимость не изменяется, а сбережения растут за счет непрерывного начисления процента по фиксированной ставке . Кроме того, считаем, содержание недвижимости требует непрерывных расходов ,
В рамках модели агент выбирает только величину - величину покупки / продажи если - возможный момент сделки. Если считать, что время ожидания следующей сделки не зависит от и и того, сколько эту сделку уже ждали, то можно считать, что моменты сделок образуют пуассоновский поток с частотой . Этот процесс имеет кусочно-постоянные реализации, которые мы будем считать непрерывными слева. Ассоциированный с процессом поток у-алгебр обозначаем через , а естественную меру на - через . Все встречающиеся ниже ожидания являются интегралами именно по этой мере.
Назовем неупреждающим управлением процесс, измеримый относительно с непрерывными слева реализациями, ограниченными на каждом конечном интервале и измеримый относительно
(1)
Теперь динамику состояния агента , можно описать стохастическими дифференциальными уравнениями
, (2)
, (3)
, , . (4)
В качестве решений (2)-(3) мы снова рассматриваем непрерывные слева случайные функции и
, .
Процесс, описываемый уравнениями (2) - (4) можно реализовать и непрерывными справа функциями. Все зависит от того, как определить значения на разрыве для исходного «генератора случайности» - кусочно-постоянной функции . Содержательно эти процессы отвечают разным условиям информированности агента: Процесс, непрерывный слева, который мы и будем изучать, соответствует ситуации, когда агент выставляет объявлении о продаже или покупке недвижимости (возможно, меняя условия каждый день), но когда появляется контрагент, сделка заключается согласно объявлению. Так происходят, например, сделки на бирже, работающей по правилу двойного аукциона. В случае процесса, непрерывного справа объявление играет роль рекламы, а определение объема сделки происходит по факту появления контрагента.
Процесс непрерывный справа (с торгом по факту сделки) содержательно может показаться более реалистичным, и такой подход широко распространен в моделировании скачкообразных процессов. Однако при увеличении частоты продаж модель с торгом по факту сделки приводит к тривиальной и нереалистичной динамике детерминированной задачи. В то же время процесс непрерывный слева при увеличении частоты продаж имеет нетривиальный предел, который мы и предлагаем рассматривать как модель рынка недвижимости в гл 3.
На выбор неупреждающего управления наложены еще два естественных ограничения. Первое состоит в том, чтобы недвижимость оставалась неотрицательной, причем, очевидно, достаточно требовать этого только в начале процесса и после каждой сделки
, (5)
где начало процесса или момент сделки.
Второе связано с ограничением на . Мы, предполагаем, что агент ведет себя достаточно осторожно, чтобы не допустить неограниченного роста задолженности. Предположим, что задан сколь угодно большой, но конечный, лимит кредитования
Утверждение 1. Если неупреждающее управление обеспечивает неотрицательность недвижимости (5), то превышение лимита кредитования, т.е. событие
(6) при некотором , имеет нулевую вероятность тогда и только тогда, когда
, (7)
где начало процесса или момент сделки.
В отличие от сбережений величина богатства потребителя
(8)
не изменяется в результате сделки, поэтому ее удобно использовать в качестве фазовой переменной вместо . Выразив сбережения через , и подставив в (3), получим уравнение динамики богатства
, , (9)
которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение при каждой реализации скачкообразного случайного процесса (2).
Утверждение 2. При выполнении условий кредитоспособности
, . (10)
Условие кредитоспособности (7) в новых переменных (8), (9) дает вместе с (5) требование на начальные условия
(11) и
. (12)
Формально для потребителя вопрос сводится к выбору трех неупреждающих процессов , удовлетворяющих условиям (2), (9), (12), реализации которых принадлежат
(13)
При этом начальные условия фиксированы и удовлетворяют ограничению кредитоспособности.
Считаем, что интересы потребителя заключается в максимизации ожидаемой полезности от обладания недвижимостью Мы рассматриваем случай полезности с постоянным относительным отвращением к риску (CRRA)
, . (14)
Такая функция полезности часто встречается в анализе финансовых рынков и формирования оптимального портфеля. Из (10) следует, что при функционал
(15)
определен для любого неотрицательного , (13).
В разделе 2.3 формулируются достаточные условия оптимальности. Для этого определяется функционал Лагранжа и входящие в него интегралы.
Обозначим через , знаконеопределенные множители Лагранжа к ограничениям-равенствам (2), (9), а через , - неотрицательный множитель Лагранжа к левому ограничению-неравенству в (12). Функционал Лагранжа для задачи потребителя тогда формально имеет вид
. (16)
Мы здесь не «снимаем» множителем Лагранжа правое ограничение в (12). Оно должно выполняться автоматически в силу того, что . Р.Т. Рокафеллар и Р. Ж. - Б. Веттс предложили включать в функционал Лагранжа ограничения неупреждения типа второго равенства в (1). Мы этого не делаем, поскольку при использовании достаточных условий надо обязательно искать двойственные к этим ограничениям.
Чтобы придать функционалу строгий смысл, надо определиться с классом, в котором ищутся двойственные переменные. Будем искать их как достаточно гладкие функции от, . Поэтому считаем, что
, . (17) При таком определении множители Лагранжа, как функции времени оказываются непрерывными справа, причем эти функции могут иметь разрывы только в точках скачка процесса . Что же касается , то указанное ниже условие дополняющей нежесткости (24) можно трактовать как конечное уравнение выражающее через , поэтому для него естественно ожидать непрерывности слева. В любом случае, все функции в (16) считаются однозначными, кусочно-непрерывными и ограниченными. Тогда интегралы по , и можно понимать в следующем смысле:
, (18)
где - кусочно-непрерывные функции, которые имеют на отрезке конечное число разрывов первого рода в точках , , , , причем - дифференцируема между разрывами.
Хотя формула интегрирования по частям для (18), вообще говоря не верна, в том специальном случае, который нам понадобится она имеет место.
Утверждение 3. Если - непрерывна слева, а - непрерывна справа, а между разрывами обе функции гладкие, и не являются точками их разрыва то для (18) выполняется соотношение
. (19)
Утверждение 4. Пусть - измеримые относительно меры процессы (неважно неупреждающие или нет) с кусочно-непрерывными (неважно справа или слева) экспоненциально ограниченными реализациями, причем реализации могут иметь разрывы только в моменты скачков процесса , а в промежутках имеет производную . Тогда
, (20) где
ожидание при условии, что в момент происходит событие пуассоновского потока . Оно определено корректно, поскольку - марковский момент.
С учетом этих утверждений формулируются утверждения относительно седловой точки функционала Лагранжа.
Утверждение 5. Пусть для некоторых непрерывных справа (не обязательно неупреждающих) процессов , , , таких что интеграл в (16) с учетом определения (18) сходится при всех , найдется тройка неупреждающих процессов , удовлетворяющих заданным начальным условиям на , которые
а) доставляют максимум функционалу Лагранжа (16)
, (21)
по множеству неупреждающих процессов с реализациями из с заданными начальными условиями
b) почти наверное при всех удовлетворяют условиям дополняющей нежесткости
, (22) , (23)
, , . (24)
Тогда - решение задачи поставленной в разделе 2.2.
Как обычно, при поиске максимума функционала Лагранжа приходится интегрировать по частям, чтобы исключить дифференциалы фазовых переменных. Возможность выполнить эту операцию на бесконечном интервале накладывает дополнительные требования на рост двойственных переменных, заменяющие обычные условия трансверсальности на конечном интервале.
Утверждение 6. Если с вероятностью 1 процессы , гладкие между скачками процесса , и при некотором и
, (25)
где под производными понимаются производные гладких составляющих, то для (21) достаточно выполнения с вероятностью 1 следующих соотношений
, (26)
, (27)
. (28)
Ниже рассматриваются только оптимальные процессы поэтому индекс и «шляпку» в их обозначении опускаем.
В соотношениях (26) - (28) остается учесть выражения (17)
, (29)
,
.
Между скачками согласно (22), (23)
, , (30) поэтому из (22)
, (31)
. (32)
Заметим, наконец, что как уже отмечалось выше исходя из (24) естественно искать как неупреждающий непрерывный слева процесс. Правые части всех равенств (29) - (32) являются неупреждающими процессами поэтому знак ожидания по будущему в (26) - (28) можно опустить. Из (26), (29) тогда получится, что
. (33)
Раздел 2.4 посвящен описанию двойственных переменных как функции времени и поиску их в явном виде. Достаточные условия оптимальности формулируются в терминах неслучайных функций состояния.
Поскольку реализации процесса блуждают по всему фазовому пространству, выполнения достаточных условий оптимальности естественно требовать не вдоль траектории, а тождественно по всему пространству состояний. Тогда, считая функцией состояния, получаем уравнения для определения двойственных переменных.
, (34)
, (35)
,
а из (24), (33)
, , . (36)
Выражения для двойственных переменных мы ищем в виде производных от некоторой функции (функция Кротова)
, (37)
После подстановки и интегрирования функция трех переменных выражается через новые неизвестные функции двух переменных и в виде
(38)
Ограниченное по времени решение уравнения представлено первыми двумя слагаемыми в (38), поэтому полагаем . Что же касается оставшейся неизвестной функции , исходя из вида функции полезности, ищем их в виде
,, (39)
Отсюда следует, что
, . (40)
В предположении (39) соотношения (34)-(36) принимают вид
(41)
(42)
В разделе 2.5 показано существование быстро убывающих двойственных переменных. Соотношения (41), (42) должны определить две функции времени и . Эти соотношения можно свести к одному уравнению
(43)
где
. (44)
Утверждение 7. Если измеримая ограничена, то при достаточно большом Л функция строго вогнута, дифференцируема по при
, (45)
причем
. (46)
Уравнение (43) и выражение (44) показывают, что функция является неподвижной точкой оператора
, (47)
действующего на пространстве неотрицательных непрерывных функций с нормой .
Утверждение 8.
. (48)
Из Утв. 8 следует, что уравнение (47) определяет единственную функцию
(49) а эта функция, в свою очередь, определяет формулой в (43).
Зная функции и , из (37) - (39) получаем искомые выражения двойственных переменных
, (50)
. (51)
Одновременно мы находим и оптимальную стратегию управления (см. (39))
. (52)
В разделе 2.5.3 дается оценка роста двойственных переменных вдоль траектории
, , (53)
где и - реализации процессов богатства и количества недвижимости, (30), при стратегии покупок / продаж недвижимости (52).
Утверждение 9. Если достаточно велико, то случайные функции (53) удовлетворяют условиям Утв. 5.
В третьей главе полученное решение задачи отдельного экономического агента применяется к моделированию рынка недвижимости в целом. Раздел 3.1 посвящен выводу приближенного выражения для оптимальной стратегии агента в случае логарифмической полезности и большой частоты сделок. Она получена из соотношений (41), (42), определяющих оптимальную стратегию (52). В них можно выделить предельный случай, в котором стратегия очень просто выражается через состояние и допускает агрегирование для большого числа разнотипных независимых потребителей.
Во-первых, в (41), (42) не возникает никакой особенности при . Поэтому полагая мы получим соотношения
(54)
(55)
которые дают приближенное выражение для оптимальной стратегии агента, имеющего функцию полезности