. (56)
Во-вторых, будем считать частоту сделок много большей, чем остальные параметры модели - , имеющие размерность . В этом случае для оценки интегралов в (54), (55) можно применить асимптотическое разложение Лапласа. В старшем порядке при получается уравнение на : . Единственным решением этого уравнения, удовлетворяющим (49), служит функция .
Отсюда в силу (52), (39) получаем приближенное выражение для оптимальной стратегии потребителя в случае логарифмической полезности и большой частоты сделок, которое и будем использовать в дальнейшем
, (57)
На основе найденной оптимальной стратегии покупки в разделе 3.2 вводится описание групп однородных агентов. Предполагается, что имеется много агентов с одним и тем же предпочтением времени (и одной и той же полезностью (56)), примерно одинаковыми начальными значениями сбережений и недвижимости и независимыми потоками моментов сделок с одной и той же частотой . Согласно оптимальной стратегии поведения (57) все они будут действовать одинаково. Такую совокупность агентов называем макроагентом. Сбережения, недвижимость и покупки макроагента суть суммы соответствующих величин по отдельным (микро)агентам, составляющим макроагента. А поскольку это суммы независимых величин одного порядка, по закону больших чисел при достаточно большом числе (микро)агентов, их можно считать детерминированными величинами равными своим средним значениям. В дальнейшем мы будем использовать только средние значения, а не реализации, поэтому для средних значений используем обозначения , и . Тогда для динамики средних с учетом (57) получаем
, (58)
(59)
Наконец, поскольку уравнения (58)-(59) линейны, мы получаем для суммарных показателей макроагента уравнения того же вида. Итак, поведение макроагентов и изменение их состояния описывается детерминированными уравнениями (58) и (59).
Раздел 3.3 распространяет анализ макроагентов на множество неоднородных торговцев. Теперь предполагается, что совокупность участников рынка распадается на группы, которые можно считать макроагентами. Далее будем говорить только о макроагентах, поэтому приставку «макро-» позволяем себе опускать. Считаем, что агентов (макро) на рынке тоже много. Они могут различаться величиной предпочтением времени (при одной и той же полезности (56)). Из (57) следует, что оптимальные стратегии агента существенно различаются в зависимости от соотношения между и : в каждый момент времени агенты делятся на два класса - те, у кого и те, у кого .
Агенты первого класса (с небольшими значениями и ) ведут себя как стандартные потребители. Они диверсифицируют распределение своего богатства между вложениями в полезный актив и вложениями в доходный актив . Агенты второго класса (с большими значениями и ) ведут себя как спекулянты. Они вкладывают все доступные средства в недвижимость.
В разделе 3.4 строится равновесие рынка полезного актива (недвижимости). Основное наше предположение относительно рынка состоит в том, что цена недвижимости в каждый момент времени выравнивает спрос и предложение на эту недвижимость.
Спрос агентов на недвижимость складывается из суммы величин (58) по всем агентам. Для агентов с малыми , то есть , обозначим сбережения через , недвижимость - через , а покупку недвижимости - через . Для агентов с большими , то есть , обозначим сбережения через , недвижимость - через , покупку недвижимости - через . Граничным значением параметра д является то, при котором . Эта граница, которая обозначается , выражается в виде
(60)
Совокупный спрос на недвижимость в единицу времени составит величину
(61)
Предложение недвижимости в модели складывается из двух частей: предложения продаваемой агентами уже имеющейся у них недвижимости (вторичный рынок) и предложения новой недвижимости производителями (первичный рынок), которое растет с постоянным темпом . Поскольку агенты, выходящие на рынок, продают там всю свою недвижимость, предложение на вторичном рынке в единицу времени составляет величину
(62)
Для анализа рыночного равновесия удобно ввести переменную богатства
Из равенства спроса (61) и предложения (62) с учетом динамики сбережений и количества недвижимости (59) получаем условие равновесия рынка в виде.
63)
Траектория равновесной цены зависит от границы предпочтений по формуле (60), а сама граница определяется решением уравнения (63) и начального распределения богатства между агентами. В некоторых случаях, траектория цены может иметь вид, изображенный на Рис. 1, характерный для рынка недвижимости, так называемый «пузырь».
Рис. 1. Асимптотическая оценка динамики на малом интервале времени - сплошная линия. Численный расчет изменения - пунктирная линия.
Важно подчеркнуть, что в рамках данной модели «пузырь» цены является разумным компромиссом (конкурентным рыночным равновесием) между рациональными агентами, предвидящими такую динамику.
В главе 4 рассматривается модификация предложенной Н. Киотаки и Р. Райтом Kiyotaki, N. and R. Wright (1993). A Search-Theoretic Approach to Monetary Economics. American Economic Review 83, 63-77. модели случайных парных обменов с бесконечной номенклатурой неделимых товаров. Модифицированная модель позволяет аккуратно построить управляемый марковский процесс для динамики количества продавцов на рынке и показать, что при фиксированных ценах существует оптимальное с точки зрения участников рынка количество обращающихся на рынке денег. Модель любопытна не только тем, что проливает свет на классический вопрос экономической теории о существовании денег, но еще и тем, что в ней, в отличие от большинства абстрактных моделей, продукты, которыми обмениваются агенты, все время разные. Тем самым, эта модель может рассматриваться как некий прообраз модели экономики с интенсивными инновациями.
В разделе 4.1 процесс обмена в описывается как случайный. При этом в модели Киотаки-Райта предлагается рассматривать континуум агентов, что делает корректное описание случайного процесса обменов чрезвычайно затруднительным. Более того, в модели Киотаки-Райта этот случайный процесс и не описывается, а вместо этого просто постулируются свойства стационарных состояний этого процесса. В данной работе рассматривается вариант модели с конечным числом участников. В этом варианте корректно построен марковский процесс изменения состояния системы и описаны информационные ограничения участников рынка. Исследование такой модели дает новый качественные результат - выявление оптимального количества денег на рынке с фиксированными ценами.
В предлагаемой модели предполагается, что агент в процессе производства изобретает новый продукт, которого еще не было на рынке и его оценка полезности продуктов при этом тоже изменяется.
В разделе 4.2 рассматривается формально сообщество из идентичных агентов. Каждый агент последовательно производит, обменивает и потребляет единичный объем одного из континуума наименований продуктов. После потребления одного продукта начинается производство другого. Продукты нумеруются точками окружности длины 2.
Производство. В случайный момент времени у агента рождается случайный проект производства единицы одного из продуктов . Полезность потребления продукта зависит убывающим образом от расстояния по окружности от до некоторого "идеального" продукта .
Будем считать, что представление об рождается у агента в процессе производства случайно и независимо от и сохраняется вплоть до следующего акта производства.
Обмен и потребление. Агент, произведший продукт не может его просто потребить. Агент обязан выйти с этим продуктом на рынок, обменять его на другой продукт и уже последний потребить.
Обмен происходит между случайными парами агентов в случайные моменты времени с обоюдного согласия контрагентов. Если случайно встретившиеся агенты на обмен не согласны, оба они остаются ждать следующей возможности обмена. Обмены однократные. После совершенного обмена агенты потребляют то, что выменяли и переходят в состояние ожидания следующего проекта производства.
Цель деятельности агента. Обменяв свой продукт на некий продукт , агент получает полезность от потребления . Агент оценивает свои действия ожидаемой дисконтированной полезностью будущего потребления.
. (64)
Здесь суммирование ведется по моментам обменов , ожидаемых после текущего момента времени , а обозначают, соответственно, полученный при обмене в момент продукт и продукт, который в момент служит для данного агента целевым. Предпочтения времени и функции полезности у всех агентов одинаковы.
Стандартный подход к построению управляемого марковского процесса состоит в том, чтобы задать стратегии агентов, (обменивать или не обменивать продукт) как функций от состояния всей системы и записать уравнение Колмогорова для значений функционалов процесса как функций состояния. Затем следует этап упрощения этого громоздкого описания до более удобного для анализа. Упрощения достигаются за счет рассмотрения частных случаев, соображений симметрии, а, главное, за счет наложения информационных ограничений на стратегии агентов (требований независимости их решений от тех или иных параметров состояния системы).
Здесь мы, в силу крайней громоздкости полного описания, предлагаем пройти этот путь в обратном направлении.
Из общих соображений симметрии и простоты, строим упрощенное описание динамики системы. Это описание будет включать неизвестные заранее параметры, характеризующие поведение агентов.
Ставим задачу оптимального поведения отдельного агента «на фоне» выбранного упрощенного описания системы.
Подбираем информационные ограничения на стратегии агента так, чтобы его оптимальное поведение характеризовалось именно теми параметрами, которые используются в упрощенном описании.
В результате, мы предполагаем, во-первых, информационное ограничение для агента: он не может наблюдать число продавцов на трынке, но может оценить распределение числа продавцов. Для этого выводится уравнение для изменения производящей функции распределения числа агентов на рынке
и его стационарная версия
.
На основе распределения числа торговце на рынке агент выбирает оптимальным образом стратегии обмена товара на деньги и товара на товар. Они определяются из уравнений Беллмана, которые в конце раздела 4.2 и в разделе 4.3 сводятся к двум сравнительно простым уравнениям
,
Рассматривается содержательно наиболее интересный случай, когда агентов в экономике много. Применены асимптотические методы для нахождения приближенного решения уравнений Беллмана при больших . Число покупателей с деньгами с ростом растет пропорционально. Это позволяет найти приближенное выражение для производящей функции стационарного распределения числа агентов (раздел 4.4) и далее решать уравнения Беллмана относительно параметров и , характеризующих выигрыши от бартера и обмена на деньги соответственно (раздел 4.5). Окончательные расчеты были проведены численными методами и показали, что существуют равновесия, в которых обмен на деньги дает больший ожидаемый выигрыш по сравнению с бартером.
Основные результаты работы
В результате выполненной работы построены и изучены две модели рыночного обмена, общей чертой которых является то, что агентам приходится ждать возможности сделки неизвестное им заранее случайное время.
1. Для первой модели применены достаточные условия оптимальности для поиска вида оптимальной стратегии поведения торговца не вполне ликвидным товаром.
2. С помощью анализа оптимального поведения агента построено приближенное описание рыночного равновесия, в котором даже в условиях полного предвидения может наблюдаться динамика цены, напоминающая рыночный пузырь.
3. Во второй модели корректно построен марковский процесс для динамики распределения торговцев на рынке. Решение задачи оптимального поведения торговцев на рынке позволяет описать возникающее рыночное равновесие и выяснить, что оно существенно зависит от количества торговцев с деньгами. Показано, что возможно равновесие, в котором деньги приносят большую полезность в сравнении с бартером.
Список публикаций по теме диссертации
рыночный обмен товар ликвидный
1.A. Zhukova “Agent-based stochastic model of monetary and barter exchange”, Post-Proceedings of AESCS'07 workshop, Springer, 2009, стр.274-290. (в соавторстве с Поспелов И.Г.).
2.А.А.Жукова, Тезисы доклада «Модель случайного обмена товарами в системе с большим числом агентов». Материалы конференции “Физика и Прогресс 2008”, С-Пб ГУ, стр. 131.
3.Жукова А.А. «Математическая модель финансового пузыря», Труды 51-й научной конференции МФТИ, Часть VII, Том 1.
4.Жукова А.А., Поспелов И.Г. «Модель Финансового Пузыря». IV Всероссийская научная конференция с молодежной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики» ЭКОМОД-2009 Сборник трудов. Стр. 143-153.
5.Жукова А.А., Поспелов И.Г. «Модель Финансового Пузыря». IV Всероссийская научная конференция с молодежной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», ЭКОМОД-2009 Сборник тезисов. Стр. 39.
6.Жукова А.А, И.Г. Поспелов, «Модель оптимального потребления и сбережений при наличии сделок с недвижимостью». VI Московская международная конференция по исследованию операций (ORM 2010), сборник трудов.
7.Жукова А.А, «Стохастическая модель торговли неликвидным товаром», журнал «Труды МФТИ», том 4, 2012г. (в соавторстве с Поспелов И.Г.).
8.Жукова А.А, «Динамическая модель равновесия рациональных ожиданий на рынке не вполне ликвидного товара», журнал Управление Экономическими Системами, раздел «Математические и инструментальные методы экономики», №2, 2012.