Дипломная (вкр): Применение математических инструментов проектного управления к задачам ликвидации аварийных ситуаций

Экспоненциальное распределение этапов вводится на основе исследований в литературе (Теребнев, 2003), но смысл именно этого выбранного распределения заключается в том, что большая часть аварийных ситуаций ликвидируется за какое-то среднее время (часто, нормативное). И на остаток приходится меньшая часть наблюдений, когда происходят крупные ситуации, ошибки или прочие непредвиденные случаи.

Как было отмечено в главе 1, в данной работе этап разведки ограничен только процессом, который начинается с прибытия подразделений и заканчивается с началом локализации. Более того, в связи с тем, что он протекает одновременно с процессом развертывания сил и средств, данный этап выделен как единый.

Состав и последовательность этапов в модели выглядит следующим образом:

математический модель тактический пожарный спасательный

Рисунок 3. Последовательная схема этапов проекта ликвидации аварийной ситуации

Серьезным ограничением в модели является строгое различие в значениях параметров. Данное ограничение появилось в модели в результате исследования, поскольку ввиду сложности формулы, обратное преобразование Лапласа имеет другой вид, в зависимости от кратности значений параметров; в текущем виде формула не существует в данной точке. Таким образом, получив итоговую результирующую формулу в комплексном виде, без наличия конкретной статистики её нельзя использовать, поскольку неизвестен будет её точный вид. При этом, ввиду определённых значений статистики, вероятность, что кратность корней будет встречаться на практике, невысока. Но итоговая формула будет выглядеть не как сумма экспоненциальных распределений, а включать в себя также слагаемое в виде распределения Эрланга порядка кратности значения параметра. Решением этой проблемы стало введение предпосылки о разных значениях параметров. Важно добавить, что разница в параметрах может отличаться на малую величину, что не внесет ошибки в расчёты вероятности.

Важно отметить, что введение подобной предпосылки, хотя и необходимо и кажется критичным из-за не существования функции в таких точках, не является какой-либо помехой в обработке статистических данных по предмету. Так, функция не существует, если параметры каких-либо этапов равны друг другу, что, исходя из определения экспоненциального распределения означает, что средние значения таких этапов равны друг другу. При применении формулы, полученной в п. 2.3 при равенстве параметров интенсивности допустимо самостоятельно изменять вводимые значения на значения менее 0,001, поскольку за счёт симметрии параметров относительно друг друга, подобная корректировка не влияет на результат.

2.3 Результирующая аналитическая зависимость вероятности ликвидации аварийной ситуации от времени

Функции плотности распределения вероятностей для этапов задаются экспоненциально, следующим образом:

,

в которой g(x) -функция, отвечающая за плотность распределения вероятности длительности i-го этапа, где x-случайная величина, отвечающая за длительность i-го этапа;

λi отвечает за параметр интенсивности длительности этапа. Параметр интенсивности вычисляется согласно закону экспоненциального распределения, как обратная величина среднему значению выборки.

Так, например, для средней длительности этапа в 2 минуты, значение λ будет равно 0,5, а функция плотности примет вид .

Для моделирования использовались следующие обозначения:

Таблица 1

Таблица обозначений при проведении моделирования этапов

Исходя из того, что этапы последовательны и независимы, согласно правилам линейной композиции, необходимо найти функцию распределения длительности Z, которая равна:

Однако, ввиду большого количества этапов и сложности данной задачи, в работе был использован метод преобразования Лапласа, который позволяет упростить операцию свёртки, за счёт поиска композиции в области комплексных чисел.

После взятия изображений функций плотности и их композиции, выводится решение модели в комплексной области. Данное решение является полноценным, т.е. фактически, оно показывает функцию плотности длительности проекта ликвидации аварийной ситуации. Но для использования эта формула нуждается в переводе в действительную область. Изображение:

,

В результате преобразования данного изображения с помощью обратного преобразования Лапласа (взятого через вычеты по полюсам функции).

Итоговое решение модели (функция плотности распределения вероятности) в области действительных чисел для n количества этапов выглядит следующим образом:

где g(z) - значение плотности вероятности для каждого значения общей длительности ликвидации аварийной ситуации Z,

n - количество используемых для анализа этапов (в данной модели равно 9),

λ_i - параметры интенсивности для каждого из этапов, i-порядок этапа,

= 1,…n; j = 1,…m, m = n-1 (i ≠ j)

Выше приведена свернутая формула, поскольку в полном виде для 9 этапов она массивна, в связи с чем, приведена в Приложении 1. Там же можно увидеть следующую из неё функцию распределения вероятности для общей длительности проекта.

Такая формула позволяет не только использовать результат модели для оценки длительности всего проекта ликвидации аварийной ситуации, но и скорректировать её под практические нужды. Так, например, можно оценить, насколько быстро пожарные бригады могут взять под контроль ситуацию на пожаре от момента сообщения. В таком случае, необходимо в формуле использовать не 9 этапов, а 5, оценив момент окончания локализации, когда горение не распространяется на другие объекты и контролируется бригадой. При подобном построении формула примет следующий вид:

Далее можно проводить управленческий анализ о качестве работы на этих этапах и насколько процесс локализации контролируется пожарными командами. Или же, изменить конфигурацию этапов, сохранив последовательность и другие введенные предпосылки.

.4 Сравнение результатов аналитической модели с результатами численного моделирования

После получения результата в виде функции плотности распределения, необходима проверка на её основные характеристики. Плотность распределения функции общей длительности, несмотря на то, что входящие в её состав элементы имеют экспоненциальное распределение, не является экспонентой. Данная функция лучше описывается функцией Эрланга или гамма-распределением.

Область определения функции совпадает с областью определения экспоненциального распределения от [0; +∞], что связано с диапазоном оценок длительностей. Предел функции при стремлении Z к бесконечности равен 0, т.е. функция убывает на бесконечности, при этом ноль является горизонтальной асимптотой.

Рисунок 4. Модельная формула плотности распределения вероятности длительности ликвидации аварийной ситуации

Однако, оценить полученный результат без численного моделирования невозможно, поскольку результат сильно зависит от соотношения параметров друг с другом. Таким образом, дальше будет представлено произведенное моделирование для проверки и для более чёткого выявления особенностей функции.

В связи с тем, что полученная аналитическая формула, ввиду своей сложности и перед практическим применением нуждается в проверке, было принято решение использовать численное моделирование для оценки адекватности построения и отсутствия ошибок.

Основной задачей исследования было с помощью аналитической модели построить формулу, которая аналитически выводила бы зависимость плотности распределения вероятности общей длительности проекта в зависимости от параметров интенсивности входящих этапов, но без непосредственной зависимости от самих длительностей этапов, которые являются случайными. Таким образом, проверка модели строится на искусственном построении выборки, длительностей этапов, соответствующих предпосылкам модели и с данными средними длительностями для дальнейшего сравнения аналитических результатов по этой выборке и с помощью выведенной аналитической формулы. В случае корректного вывода аналитической формулы, функциональная форма формулы должна совпасть с распределением в полученной выборке.

Проверка данной модели производилась с помощью численного моделирования 9 этапов ликвидации аварийной ситуации. Моделирование проводилось в программе MS Excel по следующей схеме:

.   Генерировалась выборка длительностей каждого из этапов, распределённых экспоненциально, объём выборки - по 1000 наблюдений каждого этапа. При этом, выборка генерировалась с учетом различий параметров. За средние по этапам значения были взяты следующие данные:

Таблица 2

Средние значения длительности этапов проекта ликвидации аварийной ситуации (в минутах)

2. На основе сгенерированных данных считался показатель Z, как сумма фактически полученных длительностей.

3.       На основе разброса итоговых значений Z, по результатам этой работы (по формуле) считались значения плотности.

.        Данные значения сравнивались со значениями, полученными при суммировании сгенерированных экспоненциальных распределений с заданными средними значениями, согласно Табл. 2.

Данные в Табл. 2 соответствуют средним значениям длительностей для каждого этапа по статистике МЧС за 2003-2014 годы по РФ. Тем не менее, в численном эксперименте показатели значений не так важны, поскольку важно сравнение данных построенных на одних и тех же значениях, т.е. важно, чтобы значения были одинаковы для модельных и сгенерированных значений.

Таким образом, при генерации выборки получилось 2 ряда значений:

.   Сгенерированный ряд на основе средних значений по статистике РФ как сумма экспоненциально распределенных длительностей.

2.       Модельный ряд, выдающий вероятность по аналитической формуле (проверяемой) для разных значений случайной величины

При генерировании выборки, минимальное значение длительности проекта по ликвидации аварийной ситуации составило 20 минут, максимальное - 275, т.е. 4,5 часов. Для простоты подсчёта, длительности округлялись до целых минут. При этом, показатели плотности распределились следующим образом:

Рисунок 5. Плотность распределения вероятности длительности ликвидации аварийной ситуации

На данной диаграмме видно, что поведение сгенерированных значений точно описывается полученной функцией в модели на большой выборке. Это означает, что в случае соответствия фактических статистических данных предпосылкам, её использование может существенно повысить качество оценки рисков, связанных со временем.

Также был проведен тест на соответствие данным численного моделирования результатам, полученным по формуле. Тест χ² для 0,5% уровня значимости даёт значение критической статистики 1,00, в то время как табличное значение для данного количества степеней свободы - 217,46. По результатам теста можно говорить о соответствии распределения численного моделирования аналитической формуле. Таким образом, данная аналитическая функция является корректной для оценки общей длительности проекта, состоящего из показательно распределенных этапов.

Однако, при численном моделировании можно заметить, что полученная функция по своему виду схожа с гамма-распределением или распределением Эрланга. При этом, был произведен численный эксперимент на разном количестве этапов, который показал, что при росте количества этапов, усиливается сходство с функцией Эрланга.

Кроме того, по результатам моделирования можно говорить о том, что отклонения фактических значений вероятности общей длительности от модельных могут иметь большую статистическую погрешность, имеющую, однако, не очень высокую вероятность. Так, максимальный разброс фактического значения от модельного равно 0,82 и достигается в точке 66 минут, а минимальный - 0,002 от общей вероятности и достигается на 274 минуте. Средний разброс равен 0,13 по шкале вероятности.

Таким образом, выведенная модель позволяет оценивать общую длительность ликвидации аварийной ситуации исходя из средних значений и параметров интенсивности для входящих в него этапов с учетом неопределенности. Кроме того, полученная аналитически модель хорошо описывает данные, характеризующиеся введенными предпосылками. Отсюда, использование такой модели в области ликвидации аварийных ситуаций может помочь снизить риски и точнее оценить длительность проекта.

Глава 4. Применение разработанной экономико-математической модели оценки длительности к реальному проекту ликвидации аварийной ситуации