Материал: Разработка нефтяных месторождений.

ций от фильтрационных свойств и размеров блоков пород. Для оценки коэффициента а можно использовать следующую при­ ближенную формулу:

Если проницаемость системы трещин намного больше про­ ницаемости блоков пород, можно принять упрощающие допу­ щения, состоящие в том, что распределение давления в трещи­ нах в каждый момент времени принимается установившимся, а переток жидкости из блока в блок не учитывается.

При этих предположениях из системы уравнений (4.1) по­ лучается упрощенная система уравнений, имеющая следующий вид

д2р,

К ~дГ~ + а (р2— P i)— о.

(4.5)

Рз dt ~~ р (Рг— Pi) — 0-

Величина (52 характеризует упругоемкость блоков.

Примем следующие начальные и граничные условия. Будем считать, что в начальный момент времени t = 0 давление жид­ кости как в трещинах, так и в блоках породы было равно ро-

янным дебитом q. Давление на конце х = 0 равно р(0, t). Это давление изменяется со временем таким образом, что при t— »-

— >-оо оно становится равным р\, а распределение давления в пласте будет установившемся, т. е.

Введем, как в главе II, безразмерные координаты

.! = *//, x = x t / l 2. (4-7)

Будем решать рассматриваемую задачу, в виду линейности дифференциальных уравнений (4.5), методом разделения пере­ менных (методом Фурье). Решение задачи имеет следующий вид:

член в правой части выражения (4.8) стремится к нулю и рас­ пределение давления в пласте становится установившимся, оп­ ределяемым по формуле (4.6).

Оценим влияние параметров трещиновато-пористого пласта на характер перераспределения в нем давления.

В первом случае примем £i = l мкм2, /г2= 0,01 мкм2, 1 = = 500 м, ia=0,36* 10-12. Тогда

КЮ-12

а — 0,3610“1а ~ 3 м •

метрах трещиновато-пористого пласта обмен жидкостью бло­ ков и трещин несущественно влияет на перераспределение дав­ ления в пласте, которое будет происходить практически как в обычной пористой среде.

322

При иных параметрах трещиновато-пористого пласта пере­ токи жидкости из блоков в трещины и наоборот будут значи­ тельно влиять на перераспределение давления в пласте. Так, например, если 62=10-3 мкм2, k\ = \ мкм2, размер блока а= = 10 м, 1= 100 м, то

Тогда ^i/a/2 = 0,3, величина jt2fci/4a/2«0,75.

В этом постоянном случае влияние обмена жидкостью бло­ ков и трещин на процесс перераспределения давления в трещи­ новато-пористом пласте будет значительным.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Основные понятия о конечно-разностных методах решения задач разработки нефтяных месторождений

Расчет многих процессов разработки нефтяных месторождений приводит к необходимости решения уравнений в частных про­ изводных. Один из наиболее мощных и универсальных средств решения математических задач разработки нефтяных место­ рождений — применение конечно-разностных методов, реали­ зуемых на ЭВМ. Сущность конечно-разностных методов за­ ключается в замене исходных дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений. Если полученная система линейная, то для ее решения применяют прямые и итерацион­ ные методы. К прямым методам относится метод Гаусса и его многочисленные модификации (метод прогонки и т. д.). Итера­ ционные методы решения обычно применяются, когда получен­ ная система линейных уравнений имеет большую размерность. В качестве примера итерационных методов можно привести ме­ тод верхней релаксации. Если полученная система алгебраиче­ ских уравнений нелинейна, то ее решение возможно только ите­ рационными методами, например, методом Ньютона.

Если имеем дифференциальное уравнение для искомой функ­ ции и, которая зависит от пространственной переменной л* и времени t, то приняв за ось абсцисс х, и за ось ординат t, мож­ но считать, что значения независимых переменных находятся на некоторой плоскости х, t. При использовании конечно-раз­ ностных методов производят дискретизацию, т. е. замену непре­ рывных переменных х и t упорядоченной системой точек (уз­

сением на плоскость х, t сетки, узлы которой имеют координа­ ты xi, tn. Прямоугольник с координатами xi, Xi+u tn, tn+i назы­

лов, лежащих на прямых, параллельных оси х, называют вре­ менным слоем.

Функция и теперь будет определена в узлах и обозначаться как u(Xi,tn) =щп. Разности xt+i—Xi=Axi+1 и /л+i—tn—Atn+i на­ зываются, соответственно, шагами по пространству и времени.

Если Axt+i= const, то сетка по пространству равномерная. Аналогичным образом определяется равномерность сетки и по времени.

Для аппроксимации первой производной функции и по вре­ мени в узле i на п-ом временном слое имеем

где At — шаг по времени.

Считают, что разностный оператор аппроксимирует исход­ ный дифференциальный оператор, если разность между ними

и деля на временный, шаг At, получим, что разница между диф­

324