Известно несколько способов анализа устойчивости получае мых разностных схем: метод гармоник, принцип максимума, энергетический метод и др.
Явные схемы устойчивы только условно, т. е. устойчивость при их использовании соблюдается только при определенном соотношении шагов по пространству и времени. Например, для схемы (5.7) и (5.8) это условие следующее:
Неявные схемы абсолютно устойчивы, т. е. устойчивы при лю бом соотношении шагов по пространству и времени.
Главное в конечно-разностных методах — понятие о стрем лении приближенного решения к истинному.
Это понятие называется сходимостью разностных схем. Для линейных дифференциальных уравнений из аппроксимации и устойчивости следует сходимость конечно-разностных схем. Для нелинейных задач в частных производных доказать сходи мость разностных схем трудно. Поэтому обычно аналитически исследуют аппроксимацию и, если возможно, устойчивость раз ностных схем, а для того, чтобы убедиться в сходимости, при меняют различные приемы: решение линейных модельных за дач, проверку по известным аналитическим решениям, измене ние шагов по пространству и времени и др.
Получение хороших разностных схем, особенно для слож ных нелинейных задач подземной гидромеханики, требует боль шого опыта и искусства вычислителя. Дело обычно обстоит та ким образом, что мощностей существующих ЭВМ едва хватает для решения важных практических задач. Поэтому необходи мо получить приближенное решение, близкое к истинному, ис пользуя минимум ресурсов имеющихся в наличии вычислитель ных средств. Для одного класса задач применяют явные раз ностные схемы, для другого — неявные или их сочетание. Из вестно однако, что чем сложнее решаемая задача, тем предпоч тительнее использовать неявные схемы из-за их абсолютной устойчивости.
Итак, получение разностной схемы ответственный этап при менения конечно-разностных методов. Для этого используют ряд способов: интегро-интериоляционный, вариационный, метод неопределенных коэффициентов и другие.
Особенно важное |
условие — перенесение |
физических пред |
ставлений, лежащих |
в выводе исходных |
дифференциальных |
уравнений, на получаемые конечно-разностные схемы. Если в каждой конечно-разностной ячейке выполняются законы сохра нения массы импульса и энергии, то такие схемы называются консервативными или дивергентными. К таким схемам приво дят интегро-интерполяционный метод (метод баланса). Поэто му он наиболее широко применяется. Возможны расчеты и с использованием неконсервативных схем. Но тогда вычислитель должен непрерывно следить за выполнением баланса массы,