Материал: Решение логарифмических уравнений. методические указания к выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1 курса. Шахбазова З.И., Рыбина С.Л
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Воронежский государственный технический университет»
Строительно-политехнический колледж
РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1-го курса
Воронеж 2020
УДК 51(075.7) ББК 22.1я7
Составители: З. И. Шахбазова, С. Л. Рыбина, Н. В. Федотова,
И. И. Корчагин |
|
Решение логарифмических уравнений: методические |
указания |
к выполнению самостоятельных работ по математике для студентов |
1 курса/ |
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: З. И. Шахбазова, С. Л. Рыбина, Н. В. Федотова, И. И. Корчагин. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2020. 17 с.
Даны теоретические сведения по решению логарифмических уравнений, приведены примеры решения уравнений, даны задания для самостоятельной работы. Могут использоваться для подготовки индивидуальных проектов и для подготовки к сдаче ЕГЭ.
Предназначены для самостоятельной работы по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле МУ ЛРУ pdf.
УДК 51(075.7) ББК 22.1я7
Рецензент – М. Ю. Глазкова, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры технологии строительных материалов, изделий и конструкций ВГТУ
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
2
ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания предназначены для студентов 1 курса Строительно-политехнического колледжа (далее - СПК) всех специальностей в
освоении методов решения логарифмических уравнений. |
|
|
Сообщаются основные определения, формулы, |
методы решения |
|
логарифмических уравнений. Приводятся примеры решения |
логарифмических |
|
уравнений. |
|
|
Методические указания содержат |
задания для |
самостоятельного |
решения. |
|
|
Общие положения Самостоятельная работа студентов – это работа, которая выполняется
ими по заданию преподавателя, без его непосредственного участия (но под его руководством) в специально представленное для этого время.
Цели и задачи самостоятельной работы:
систематизации и закрепления полученных знаний и практических умений и навыков студентов;
углубления и расширения теоретических и практических знаний;
формирования умений использовать специальную, справочную литературу, Интернет;
развития познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
развития исследовательских знаний.
обеспечение базы знаний для профессиональной подготовки выпускника в соответствии с ФГОС СПО;
формирование и развитие общих компетенций, определённых в ФГОС СПО;
подготовка к формированию и развитию профессиональных компетенций, соответствующих основным видам профессиональной деятельности.
систематизация, закрепление, углубление и расширение полученных теоретических знаний и практических умений студентов;
развитие познавательных способностей и активности студентов: творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;
формирование самостоятельности мышления: способности к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;
овладение практическими навыками применения информационнокоммуникационных технологий в профессиональной деятельности;
развитие исследовательских умений.
3
Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:
уровень освоения студентом учебного материала;
умение студента использовать теоретические знания при решении уравнений;
обоснованность и четкость изложения ответа;
оформление материала в соответствии с требованиями ФГОС СПО.
1. Общие сведения о логарифмических уравнениях
Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестное только под знаком логарифма или в основании логарифма.
Например: |
|
|
|
|
|
|
Уравнения вида |
( ) и |
( ), |
|
|
|
|
где |
– неизвестное, а |
– заданные числа, являются простейшими логарифмическими |
||||
уравнениями. |
|
|
|
|
|
|
Если |
и |
то уравнение (1) при любом действительном значении имеет |
||||
единственное решение |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
и |
то уравнение (2) имеет единственное решение |
√ . |
|||
Логарифмические уравнения, как и показательные, рассматриваются только на множестве действительных чисел.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ, применяемые при решении логарифмических уравнений.
( )
1.
2.
3.
4. √
5.
6.
7.
8.
9.
–основное логарифмическое тождество.
–формула перехода от одного основания логарифмов к другому.
√√
Преобразования, которые применяются при решении логарифмических и показательных уравнений.
1. Потенцирование. |
|
|||
( ) |
( |
) |
( ) ( )( ) |
Могут появиться посторонние корни! |
( ) |
( |
)( |
) |
Необходима проверка! |
|
|
|
|
4 |
2. Логарифмирование. |
|
|
|
|
|
( ) |
( )( ) |
|
Могут быть потеряны корни! |
||
|
|
|
|
( ) |
( )( ) |
Но если |
|
( ) |
( ) |
то (2) равносильно (1). В этом случае |
|
логарифмирование допустимо. |
|
|
|||
3. Применение свойств логарифмов.
Возможно появление посторонних корней. Необходима проверка!
2. Уравнения, решаемые по определению логарифма
Решение сложных логарифмических уравнений сводится в большинстве случаев к решению простейших логарифмических уравнений.
Уравнение |
( |
) |
( |
) |
равносильно уравнению ( ) |
(1) |
||
Уравнение |
( |
) |
( |
) |
равносильно уравнению |
|||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
( |
) (2) |
|
|
|
|||
Рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.
1. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: |
( |
) |
Область определения уравнения:
На основании определения логарифма можно записать
Проверка: |
( |
( )) |
|
Ответ: -1. |
|
|
|
2. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: |
√ |
||
Область определения уравнения:
На основании определения логарифма можно записать
В этом и последующих примерах проверку делайте самостоятельно! Ответ: 6.
3. ВЫЧИСЛИТЬ : |
√ |
|
|
|
Данное уравнение равносильно уравнению:
√
( )
Преобразуем это уравнение:
√
( )
5