Материал: Рынок ценных бумаг. курс лекций. Околелова Э.Ю., Хорев А.И

Типы дюраций

На сегодняшний день существует четыре типа дюрации [6, 11, 23]:

• Маколея,

• модифицированная,

• эффективная,

• на основе ключевых процентных ставок.

Текущая рыночная цена P₀ облигации, имеющей m купонных выплат в год, определяется по формуле

, (10)

где С – годовые процентные выплаты, определяющиеся номинальным процентным доходом (купонной ставкой); i – требуемая норма доходности; m – частота выплат процентов в году; i/m – величина доходности к погашению; C_t/m – купонные выплаты; M_mn – номинал облигации; n – число лет до погашения облигации.

1. Дюрация Маколея

Дюрация Маколея – средневзвешенный срок до погашения потоков наличности от облигации, в котором в качестве весов выступают текущие стоимости потоков наличности, деленные на цену [9, 20].

Дюрация любой облигации высчитывается по формуле

, (11)

где CF_t – денежный поток в момент времени t; P₀ - рыночная цена облигации;

t – период времени, в течение которого поступает денежный поток, t=1, 2, .., n лет; денежный поток в момент t составляют купонные выплаты C_t и номинал M_n; n – количество лет, в течение которых поступают купонные выплаты; i – годовая доходность к погашению. Иначе:

. (12)

Если начисление купонных выплат производится раз в полгода, то в этом случае величина длительности удваивается. Длительность бескупонных облигаций оценивается следующим образом. Так как для этих облигаций все величины С_t=0, то

. (13)

Следовательно, длительность бескупонных облигаций всегда равняется сроку погашения этой облигации – n лет.

Дюрация Маколея высчитывается путем сложения результатов, полученных при умножении текущей цены каждого денежного потока на время его получения, деленных на стоимость ценной бумаги. Дюрация Маколея равна

, (14)

где n – количество денежных потоков; t – время до погашения; C – денежный поток; i – требуемая доходность; M – номинальная стоимость облигации; P – цена облигации.

2. Модифицированная дюрация

Модифицированная дюрация является модифицированной версией модели Маколея, которая учитывает изменение процентной ставки. Поскольку процентная ставка влияет на доходность, то ее колебание повлияет и на дюрацию.

Модифицированная дюрация показывает, как она меняется при изменении доходности на 1 % [17, 18, 20]. Для облигаций без особенностей встроенного опциона⁴ цена облигации и процентная ставка движутся в обратном направлении, то есть существует обратная связь между модифицированной дюрацией и изменением доходности на 1 %.

Модифицированная дюрация показывает, как изменяется дюрация облигации по отношению к движениям процентной ставки. Формула (13) может применяться для расчета волатильности какой-то конкретной облигации. Модифицированная дюрация рассчитывается по формуле

, (15)

где YTM – доходность к погашению; m – количество купонных выплат в год.

Формула показывает, как будет меняться дюрация, если процентная ставка поднимется на 100 базисных пунктов. Модифицированная дюрация всегда будет ниже, чем дюрация Маколея.

3. Эффективная дюрация

Формула модифицированной дюрации предполагает, что ожидаемые денежные потоки будут оставаться постоянными, даже если преобладающие процентные ставки изменятся.

С другой стороны, денежные потоки от ценных бумаг со встроенными опционами или с особенностями выкупа долговых обязательств будут меняться при изменении процентной ставки.

Для того чтобы высчитать дюрацию этих двух типов облигаций, самым уместным будет воспользоваться эффективной дюрацией. Эффективная дюрация требует использования биноминального дерева процентных ставок, чтобы высчитать спрэд с учетом опциона. Существует множество программ, доступных для инвесторов, желающих рассчитывать эффективную дюрацию.

4. Дюрация на основе ключевых процентных ставок

Дюрация на основе ключевых процентных ставок, при постоянном удерживании доходности для всех остальных погашений, позволяет рассчитывать дюрации портфеля при изменении на один базисный пункт процентных ставок. Дюрация на основе ключевых процентных ставок равна:

, (16)

где С₊₁ – цена облигации после повышения доходности на 1 %; С_-1 – цена облигации после падения доходности на 1 %; P₀ – первоначальная цена облигации.

Чаще всего метод ключевого процента используется для таких портфелей, как «ступенчатая облигация», которая состоит из ценных бумаг с фиксированным доходом и с разными сроками погашения. Таким образом:

• если необходимый уровень дохода превышает установленную по облигации купонную ставку, то стоимость облигации будет ниже ее номинальной стоимости;

• если необходимый уровень дохода уступает установленной по облигации купонной ставке, то текущая стоимость облигации будет выше ее номинальной стоимости;

• если требуемый уровень дохода равен установленной по облигации процентной ставке, то текущая стоимость облигации будет равна ее номинальной стоимости.

Пример 1 

Необходимо определить текущую стоимость облигации с оставшимся сроком до погашения 6 лет, номинальной стоимостью 100000 д.е., приносящей 6%-й купонный доход при требуемом уровне доходности 10 %.

Текущая стоимость основного долга (100000 д.е.), выплачиваемого в конце шестого года равна 56400 д.е. (100000 × 0,564).

Текущая стоимость аннуитета – 6000 д.е. (6 % от 100000 д.е.) в течение 6 лет под 10 % равна 26130 д.е. (5000 × 4355);

Текущая стоимость облигации равна 82530 д.е. (56400 + 26130).

Пример 2 

Если вместо 10 %-го требуемого уровня доходности взять 4 %-й, то стоимость облигации будет следующая.

Текущая стоимость основного долга равна 79000 д.е. (100000 × 0,790).

Текущая стоимость аннуитета равна 31452 д.е. (6000 × 5242).

Текущая стоимость облигации равна 110452 д.е. (79000 + 31452).

Пример 3 

Оценить текущую стоимость облигации нарицательной стоимостью 200000 д.е., купонной ставкой 15 % годовых и сроком погашения через 5 лет, если рыночная норма дохода 12 %. Процент по облигации выплачивается дважды в год.

При выплате же процентов по облигациям несколько раз в году уравнение (10) примет следующий вид:

, (17)

где m – частота выплат процентов в году.

Денежный поток в данном случае необходимо представить десятью периодами. Поскольку рыночная норма дохода составляет 12 %, то в расчете на полугодовой период она составит 6 %.

Текущая стоимость аннуитета 15000 д.е. (15 % от 200000 д.е.: 2) в течение 10 периодов под 6 % = 15000 × 7360 = 110400 д.е.

Текущая стоимость основного долга, выплачиваемого в конце 10 периода под 6 % = 200000 × 0,558 = 111600 д.е.

Текущая стоимость облигации = 110400 + 111600 = 222000 д.е.

Вопросы

1. Что такое «облигация»?

2. Какие виды облигаций вы знаете?

3. Что такое «дюрация облигаций»?

4. Как определяется дюрация традиционных облигаций?

5. Как рассчитывается дюрация Маколея?

5. Вексель

Вексель (от нем. Wechsel) – письменное долговое обязательство строго установленной формы, удостоверяющее ничем не обусловленное обязательство векселедателя (простой вексель), либо предложение иному указанному в векселе плательщику (переводный вексель) уплатить по наступлении предусмотренного векселем срока определенную денежную сумму [17, 31].

Вексель может быть ордерным, то есть передача прав по нему осуществляется путем совершения специальной надписи – индоссамента, или именным (передача прав производится по цессии). Индоссамент может быть бланковым (без указания лица, которому должно быть произведено исполнение) или именным (с указанием лица, которому должно быть произведено исполнение). Лицо, передавшее вексель посредством индоссамента, несет ответственность перед последующими векселедержателями за возможность осуществления прав по векселю.

Вексель выступает орудием коммерческого кредита. По своей форме векселя подразделяются на простые и переводные.

Простой вексель выписывается заемщиком. Переводной вексель (тратта) представляет собой письменный приказ кредитора заемщику об уплате последним определенной суммы третьему лицу (ремитенту). Наибольшее распространение получил переводный вексель. Форма векселя определяется законом страны, где он выписан. Вексель широко используется во внешней торговле в качестве средства оформления кредитно-расчетных отношений. Значительное распространение получили банковские акцепты (переводный вексель, выставленный на банк и им акцептованный).

По признаку эмитента различают:

• казначейские векселя – краткосрочные долговые обязательства, выпускаемые правительством страны обычно при посредничестве Центрального банка, со сроком погашения от 90 до 180 дней;

• частные векселя – эмитируются корпорациями, финансовыми группами, коммерческими банками. Вексель может обслуживать чисто финансовые и товарные сделки.

Первоначально векселедержателю запрещалось передавать свои права другим лицам, однако, когда эти ограничения стали сдерживающим фактором в торговле, и они были постепенно отменены. Вексельные права стало возможным передавать посредством проставления особого приказа векселедержателя – индоссамента (от лат. in – на и dorsum – спина, поскольку данная надпись совершалась, как правило, на обратной стороне векселя [23]).

5.1. История возникновения векселя

В России вексель появился в начале XVIII века благодаря развитию торговых отношений с германскими княжествами, поэтому русское слово «вексель» происходит от немецкого wechsel (обмен, переход). На основе германского вексельного законодательства был написан первый российский Вексельный устав 1729 года, тем не менее, прямое заимствование норм зарубежного права не отвечало требованиям российской действительности. Наиболее детально уставом регулировались вексельные отношения, связанные с переводом денежных средств, в то время как в России наибольшее распространение получила практика использования векселей для оформления займов [14, 27, 20, 23].

В 1832 году был принят новый российский Устав о векселях. В основу документа были положены нормы французского права, а именно Французского торгового кодекса. Устав содержал отдельные положения, заимствованные из германского вексельного права. Основное внимание уделялось переводным операциям. Простой вексель упоминался лишь для того, чтобы применить к немудействие норм о переводном векселе. В основу нового устава было решено положить унифицированные нормы вексельного законодательства ведущих государств того времени. В течение 55 лет было подготовлено шесть редакций законопроекта.

Новый вексельный устав был утвержден 27 мая 1902 года, он определял вексель как «совершенно независимое от предыдущих соглашений обязательство векселедателя о доставлении первому приобретателю или последнему векселедержателю в известный срок известной суммы денег».

Российский вексельный устав 1902 года просуществовал до Октябрьской революции 1917 года. Декретом Совета Народных Комиссаров от 11 ноября 1917 года был объявлен двухмесячный мораторий на осуществление вексельных платежей, а также вексельных протестов. В дальнейшем обращение векселей на территории РСФСР было в значительной степени сокращено. Однако в связи с переходом к новой экономической политике в 1922 году было принято Положение о векселях, в соответствии с которым кооперативам и банкам разрешалось выдавать и принимать к учету векселя, а также использовать их для оформления кредитных операций [20, 33].

В 1928 году в ходе финансовой реформы потребительским обществам и их союзам было запрещено проведение кредитных и вексельных операций, что повлекло за собой ликвидацию вексельного обращения внутри страны, однако вексель продолжал использоваться во внешнеэкономической деятельности. Развитие торговых связей привело к тому, что в 1936 году СССР присоединился к Международной конвенции о векселях, включающей в себя Единообразный закон о переводном и простом векселе. Постановлением Центрального Исполнительного Комитета и Совета Народных Комиссаров СССР от 07.08.1937 г. № 104/1341 было введено в действие Положение о переводном и простом векселе, которое практически полностью воспроизводило текст Единообразного закона о простом и переводном векселе. Несмотря на это, во внутренних экономических операциях вексель по-прежнему не применялся, поскольку финансирование хозяйственной деятельности экономических субъектов осуществлялось за счет централизованного распределения денежных ресурсов.

Вторично в обращение на территории России вексель был введен Постановлением Президиума ВС РСФСР от 24 июня 1991 г. № 1451-I «О применении векселя в хозяйственном обороте РСФСР», которое, хотя и не содержало упоминаний Постановления ЦИК и СНК СССР 1937 года, воспроизводило его с незначительными отличиями.

Этот документ был отменен Федеральным законом от 11.03.1997 № 48-ФЗ «О переводном и простом векселе», который установил, что в соответствии с международными обязательствами Российской Федерации, вытекающими из ее участия в Конвенции от 7 июня 1930 года, применяется Постановление ЦИК и СНК СССР «О введении в действие Положения о переводном и простом векселе» от 07.08.1937 г. № 104/1341. Этот Федеральный закон устранил ряд спорных моментов, касающихся выпуска векселей и начисления процентов и пени, а также ограничил круг лиц, которые могут без ограничений обязываться по простым и переводным векселям, исключив из него субъекты Российской Федерации, городские, сельские поселения и другие муниципальные образования. В настоящее время на территории Российской Федерации данный закон является основополагающим при регулировании вексельных отношений [31].