Материал: САПР технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

1. Алгоритм визуализации процесса зацепления [8], дающий совместное изображение профилей зацепляющихся зубьев конических колес в ряде сечений сферами с центрами в вершине делительных конусов зубчатой пары. При этом определяется минимальный боковой зазор.

2. Алгоритм экспресс-анализа [9], позволяющий в течение нескольких секунд получить кривую Бакстера [10] (график неравномерности передачи вращения одной парой зубьев) и изображения пятен контакта на поверхностях зубьев шестерни и колеса в предположении, что эти боковые поверхности аппроксимированы полиномами второй степени. Алгоритм имитирует испытание зубчатой пары на контрольно-обкатном станке в тормозном режиме при единичном коэффициенте перекрытия и при отсутствии погрешностей монтажа.

3. Алгоритм уточненного анализа зацепления с учетом монтажных погрешностей. Исходными данными для моделирования зацепления зубчатой пары служат: таблично заданные на сетках боковые поверхности зубьев шестерни и колеса, определенные во второй части; векторы, характеризующие положение осей вращения зубчатых колес; толщина слоя краски. Результатами являются пятна контакта и кривая Бакстера.

4. Алгоритм уточненного анализа, альтернативный предыдущему. Он построен на принципиально ином представлении боковых поверхностей контактирующих зубьев.

Алгоритмы четвертой части. В этой части производится анализ работы нагруженной передачи. Основу анализа составляет определение контактных давлений. В ПК «Эксперт» имеется два принципиально разных алгоритма решения контактной задачи.

Первый – негерцевский – основан на численном решении контактной задачи методом последовательного нагружения. Основу алгоритма составляет решение интегрального уравнения, связывающего между собой (в области контакта) условные внедрения тел, функции Грина и контактные давления.

В этом интегральном уравнении известными считаются условные внедрения тел и функции Грина (под функцией Грина понимается распределение нормальных контактных перемещений точек, лежащих на поверхности сжимаемого тела, при действии на него единичной нормальной силы), а неизвестными – область контакта и распределение контактных давлений по ней. Вид функции Грина зависит от формы и размеров контактирующих тел. В решении Герца моделями контактирующих тел служат полупространства. Нами получены приближенные аналитические выражения функций Грина для других моделей упругих тел: четверти пространства, октанта, уступа и их комбинаций. В качестве модели зуба принята часть упругого пространства, ограниченная пятью поверхностями: боковой поверхностью зуба, плоскостями малого и большого торцев колеса, конусом выступов и конусом впадин.

Контактная задача теории упругости решается на каждой фазе зацепления. Входной информацией служат таблично заданные на некоторых сетках поверхности контактирующих зубьев (эти таблицы являются результатом работы программ второй части), положение осей вращения колес, передаваемый крутящий момент и физические свойства материалов, из которых состоят контактирующие зубья. Решение производится методом последовательного нагружения в его сеточной модификации. Нагружение происходит за счет малого поворота колеса при неподвижной шестерне, при этом происходит вдавливание зуба колеса в зуб шестерни. Вначале отыскивается угловое положение колеса, при котором зубья касаются друг друга. Это положение считается начальным для решения контактной задачи. Затем просматриваются все ячейки сетки, на которую переводятся боковые поверхности зубьев, и для центра каждой ячейки этой сетки определяется зазор между поверхностями и угол, на который нужно повернуть колесо, чтобы этот зазор аннулировать. Среди полученного множества углов поворота выбирается минимальный, и производится первый шаг нагружения: колесо поворачивается на этот угол. При этом в первоначальной точке касания возникнет контактное давление. Оно определяется из линейного алгебраического уравнения, которым заменяется исходное интегральное уравнение при известной области контакта, состоящей всего лишь из одной ячейки. Найденное контактное давление позволяет вычислить величину передаваемого момента. Если эта величина еще не достигла заданного значения, то снова обходятся все ячейки сетки и пересчитываются зазоры и углы, при которых эти зазоры исчезают. Из всех углов снова выбирается наименьший и производится второй шаг нагружения путем поворота колеса на этот угол.

При этом в области контакта окажутся уже две ячейки: новая и та, в которой происходило касание поверхностей на первом шаге нагружения. Определяются контактные давления в этих ячейках уже из системы двух алгебраических уравнений, которыми заменяется исходное интегральное уравнение. По найденным контактным давлениям снова подсчитывается передаваемый момент и сравнивается с заданной величиной. Шаги нагружения производятся до тех пор, пока значения заданного и полученного моментов не совпадут друг с другом.

Заметим, что на каждом шаге нагружения при пересчете зазоров между поверхностями контактирующих зубьев учитывается не только изменение положения поверхности зуба колеса в связи с поворотом, но и контактные перемещения точек поверхностей зубьев, вызванные давлениями в области контакта. К концу нагружения становятся известными область контакта (мгновенная контактная площадка), давление в каждой ячейке этой области и угол, на который нужно повернуть колесо при неподвижной шестерне, чтобы достичь упругого равновесия тел при заданном крутящем моменте.

Особенностью метода последовательного нагружения является возможность получения не только конечного состояния упругого равновесия, но и весь набор предшествующих состояний равновесия при последовательно нарастающих значениях передаваемого момента. Эта особенность позволяет анализировать как однопарный контакт, так и одновременную работу нескольких пар зубьев. В алгоритме предусмотрена возможность учета влияния технологических и монтажных погрешностей. Второй алгоритм (герцевский) для определения контактных давлений основан на классическом решении Герца, полученном им для контакта двух поверхностей, описываемых полиномами второй степени. Алгоритм хорошо работает в тех случаях, когда мгновенная контактная площадка не выходит на кромку зуба. В нем предусмотрена возможность учета влияния погрешностей окружного шага. Преимущество герцевского алгоритма по сравнению с негерцевским состоит в практически моментальном получении результатов.

По программам, реализующим алгоритмы четвертой части, вычисляется максимальное контактное давление не только в расчетном положении колес, как в большинстве известных методик, но и на всех других фазах зацепления. Кроме того, определяется распределение передаваемого момента между двумя парами одновременно работающих зубьев.

Алгоритм пятой части. Пятая часть – это расчет изгибных напряжений контактирующих зубьев на каждой фазе зацепления. Изгибным напряжением мы будем называть максимальное главное растягивающее напряжение в районе переходной поверхности зуба. Исходными данными служат таблично заданные на некоторых сетках поверхности контактирующих зубьев, полученные с помощью алгоритмов второй части, положение осей вращения колес, передаваемый крутящий момент и физические свойства материалов, из которых состоят контактирующие зубья. Решение задачи производится в два этапа. На первом этапе производится построение матрицы влияния единичных нагрузок, равномерно распределенных по малым участкам поверхности зуба в районе галтели.

На втором этапе для каждой из фаз зацепления определяется с помощью решения Герца площадка контакта и распределение нагрузок по ней. Далее, определяются контактные нагрузки, действующие на упомянутые участки, и находятся напряжения как линейная комбинация столбцов матрицы влияния. Результатом решения задачи являются: распределение главных напряжений и распределение интенсивности напряжений в районе ножки зуба в различных фазах зацепления, а также максимальные значения указанных величин по фазам зацепления с указанием их локализации.

Упомянутый подход выигрышен тем, что в процессе поиска удовлетворительных наладок построение матрицы влияния может быть выполнено только один раз, поскольку эта матрица определяется только геометрией зуба и базовыми наладками и практически не зависит от малых модификаций боковых поверхностей зубьев, определяемых уточненными наладками.

Вопросы для самоподготовки:

1. В чем заключаются особенности разработки математических моделей передач?

2. На каких принципах строится САПР проектирования зубчатых передач?

3. Опишите алгоритмы оптимизационного расчета зубчатых передач на ЭВМ?

Лекция №10 Автоматизированные расчеты деталей и узлов кузнечно-штамповочных машин

Теоретические вопросы:

10.1. Математические основы инженерных расчетов

10.2. Автоматизация инженерных методик расчета деталей и узлов кузнечно-штамповочного оборудования

10.3. Автоматизированный расчет по универсальным математическим моделям деталей и узлов кузнечно-штамповочного оборудования

10.1. Математические основы инженерных расчетов

Для автоматизации инженерных расчетов зачастую приходится составлять программы, реализующие методы аппроксимации специальных функций численного дифференцирования, решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Для выполнения вычислений в программы автоматизированных расчетов включают фрагменты программ, использующие перечисленные ниже методы. Методы аппроксимации включают методы задания специальных и стандартных функций и методы задания табличных функций.

Специальные и стандартные функции представляются в ЭВМ с помощью их разложения в ряд Тейлора. Прямая реализация этого ряда не рекомендуется, так как при возведении в степень больших или малых значений аргумента могут быть получены числа, не реализуемые в ЭВМ. Программы в таких случаях строятся с помощью последовательного наращивания суммы ряда. Алгоритм такой процедуры представлен на рис. 28.

Иногда при вычислениях используются непрерывные функции, заданные в виде таблиц, например, полученных в результате эксперимента. Для того, чтобы в ходе выполнения программы могли вычисляться значения функции в промежуточных точках по отношению к точкам x₀, x₁, …, x_n, производится интерполяция табличной функции.

Наиболее простым является метод линейно-кусочной интерполяции, когда на участках между узлами интерполяции функция заменяется линейными отрезками. Алгоритм линейно-кусочной интерполяции включает процедуру перебора и сравнения значений табличных аргументов и значения x_c. Как только табличное значение аргумента станет больше x_c, значит, найден соответствующий отрезок интерполяции, на котором лежит x_c.Более точной является параболическая интерполяция, при которой табличная функция заменяется многочленом f(x). Степень интерполяционного многочлена не выше n, где n – число узлов интерполяции. Значения интерполяционного многочлена f(x) совпадает с табличными значениями функции f(x).

Рис. 28. Алгоритм для вычисления экспоненциальной функции

Используют различные виды интерполяционных многочленов: Лагранжа, Гаусса, Эрмита, Стирлинга и др. Наиболее удобным для реализации на ЭВМ является метод Ньютона

, (10.1)

где y(x₀, x₁, …, x_k) – разделенные разности.

Для вычисления разделенных разностей используют формулы

(10.2)

Численное дифференцирование применяют в том случае, когда функция задана таблично или когда выражение для производной имеет сложный вид. При численном интегрировании используют формулы трапеции, средних, Симпсона, Гаусса и т.д. Эти формулы обычно приводят для интегрирования на равномерной сетке.

Методы решения линейных систем уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют за конечное число операций получить точное решение. Итерационные методы предполагают получение решения с заданной точностью за несколько циклов.

Одним из прямых методов является метод исключения Гаусса, который достаточно просто реализуется на ЭВМ. Метод заключается в приведении матрицы системы к треугольному виду. Затем система уравнений решается обратным ходом. Приведение к треугольному виду осуществляется с помощью эквивалентных преобразований; сложением строк матрицы, умноженных на соответствующие коэффициенты.

Точность вычисления неизвестных переменных методов Гаусса повышается выбором главного элемента (наибольшего в столбце) и перестановкой его на главную диагональ (за счет перестановки строк).

Далее рассмотрим численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Алгебраическое или трансцендентное уравнение имеет вид

, (10.3)

где f(x) – непрерывная функция.

В результате решения необходимо определить корни этого уравнения. В основном для конструкторских задач имеют смысл только действительные корни, т.е. точки, где функции f(x) пересекает ось абсцисс. Задача поиска корней у уравнения () имеет несколько этапов. Сначала определяется число корней и отрезки, где они расположены. Затем находятся приближенные значения корней и производится их уточнение. Число действительных корней можно определить с помощью теоремы Штурма. Приближенные значения корней уточняется с помощью итерационных методов.

Метод дихотомии, или половинного деления обеспечивает поиск значения корня x* с помощью последовательно деления пополам интервала неопределенности (интервал, содержащий корень). После этого полуинтервал, не содержащий корень, отбрасывается, а оставшийся полуинтервал снова делится пополам, и так до тех пор, пока длина последнего полуинтервала не будет меньше погрешности вычисления корня. Критерием выбора полуинтервала является перемена знака функции f(x) на его концах.

Метод половинного деления применим для систем алгебраических уравнений, так как имеет небольшую скорость сходимости к точному решению. Этот метод абсолютно устойчив и прост в реализации на ЭВМ.

Метод простой итерации ищет решение уравнения () как точку пересечения линейной функции y1(x)=x и вспомогательной функции y2(x). Итерация строится на основе нулевого приближения, таким образом, после первой итерации получают значение x1, подставляют его в функцию y2(x), в результате второй итерации получают приближенное значения корня в виде x2 и т.д. После очередной итерации уточняется значение корня по отношению к его точной величине x*. Метод простой итерации можно использовать и для системы алгебраических уравнений.

10.2. Автоматизация инженерных методик расчета деталей и узлов кузнечно-штамповочного оборудования

В соответствии с принятой математической моделью объекта проектирования процесс получения проектных решений при автоматизации инженерных расчетов может быть представлен схемой автоматизированного расчета, приведенной на рис. 29.

Работа с прикладным программным обеспечением по этой схеме ведется в следующей последовательности. Конструктор вызывает необходимую подпрограмму и в диалоговом режиме задает исходные данные (блок 2). К ним в основном относятся значения некоторых проектных параметров , текущие значения показателей качества и ограничений g₀.

Остальные сведения имеются в банке данных (блок 8), обслуживающем подпрограмму в виде параметров таблиц и значений аналитических функций. Далее (блок 3) вычисляются остальные проектные параметры , текущие значения показателей качества и ограничений g. Если условия ограничений и заданные показатели качества выполняются, в противном случае конструктор должен задать в блоке 2 новые исходные данные. Нужно иметь в виду, что часто в роли ограничений используются значения показателей качества.

Общесистемными составляющими функции качества являются критерии точности, устойчивости и эффективности. При расчете деталей кузнечно-штамповочных машин показатели точности и устойчивости, в основном, касаются их геометрии, т.е. сохранения формы под действием различных нагрузок (силовых, тепловых, изнашивающих).

Рис. 29. Схема процесса автоматизированного расчета

Эффективность выполнения деталями своих функций в машине обеспечивается их долговечностью. В свою очередь эта характеристика определяется статической и усталостной прочностью детали.

В основном при расчете деталей кузнечно-штамповочных машин ограничения строятся на базе обеспечения заданной прочности и устойчивости, а показатели качества – на базе параметров, определяющих точность изготовления поковки или заготовки.

10.3. Автоматизированный расчет по универсальным математическим моделям деталей и узлов кузнечно-штамповочного оборудования

Одним из основных требований, предъявляемых к математическим моделям автоматизированного проектирования, является их универсальность. Это означает, что если обычно для расчета однотипных механизмов создаются отдельные программы, то при автоматизированном проектировании формируется математическая модель, которая учитывает всевозможные сочетания конструктивных элементов однотипных узлов; таким образом, при использовании обобщенной модели отпадает потребность в создании новых программ. Необходимо лишь с помощью задания исходных данных в универсальной программе привести обобщенную математическую модель к виду, который соответствует конкретной конструкции рассчитываемого механизма или детали.

Методы составления универсальных математических моделей различают в зависимости от того, к какой расчетной схеме приводится объект: к расчетной схеме детали или к расчетной схеме узла (как совокупности отдельных элементов и устройств). Универсальные расчетные методы внедряются и в современные программные пакеты. Так, например CAD-система SolidWorks содержит пакет программ Toolbox, который может автоматически генерировать ряд стандартных деталей и выполнять прочностные расчеты. Этот эффект достигнут благодаря включению в базовый модуль специальных API-функций для программирования прикладных задач. Результат - во многих популярных прикладных системах появились средства прямого доступа к моделям SolidWorks.

SolidWorks API — это интерфейс прикладного программирования, позволяющий разрабатывать пользовательские программы на платформе САПР SolidWorks. API содержит сотни функций, которые можно вызывать из программ Microsoft Visual Basic, VBA (Microsoft Excel, Word, Access и т.д.), Microsoft Visual C, C++, .NET или из файлов-макросов SolidWorks. API-функции обеспечивают прямой программный доступ к функциональным возможностям пакета SolidWorks.

SolidWorks Toolbox (рис. 30) включает библиотеку стандартных деталей, полностью интегрированных в SolidWorks. Выберите стандарт и тип детали, которую необходимо добавить, затем перетащите компонент в сборку. Можно настроить библиотеку деталей SolidWorks Toolbox таким образом, чтобы она включала стандарты компании, или включить наиболее часто используемые детали.

Поддерживаемые международные стандарты включают: ANSI, BSI, CISC, DIN, ISO и JIS. С SolidWorks Toolbox поставляются следующие крепежные детали:

1. Подшипники;

2. Болты;

3. Кулачки;

4. Зубчатые колеса;

5. Кондукторные втулки;

6. Гайки;

7. Вставки PEM®;

8. Шпильки;

9. Стопорные кольца;

10. Винты;

11. Звездочки;

12. Конструкционные профили, включая алюминиевые и стальные;

13. Шкивы зубчатого ремня привода;

14. Шайбы.