Материал: САПР технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

На предполагаемых с запасом поверхностях контакта назначаются N пар сопряженных точек – узлов элементов, сетки которых строятся с учетом требований к практическому обеспечению сопряженности. Абсолютные перемещения и сопряженных точек пары i по нормалям к поверхностям тел 1 и 2 не должны в сумме превышать зазора

(15.2)

Рис. 39. Контактная базисная система двух тел: нормальные узловые силы, обобщенные координаты и начальные зазоры

Выражения и записываются на основе классической идеи метода сил. Для гладких тел такими силами являются нормальные контактные силы в узлах пар . В варианте раздельного кодирования значения и различаются тем, что в , относящееся к кинематически подвижному телу, помимо относительной компоненты за счет деформируемости, входит заранее неизвестное переносное перемещение по нормали узла i тела 2.

Условие контактирования сопряженных узлов пары i имеет вид:

(15.3)

где  – коэффициенты влияния каждого из тел (n= 1,2) в сопряженных узлах по нормалям;

– перемещения узлов по тем же направлениям при деформировании тела n заданной нагрузкой.

Величины и зависят от условий закрепления тел, а перемещение – от выбора начала отсчета осей тела 2. Перемещения выражаются через координаты с помощью кинематической матрицы [A], определяющей соотношение {qe} = [A]{q0}; из последнего вытекает смысл коэффициентов Aik как перемещений узла i тела 2 вдоль соответствующей нормали при перемещении этого тела на .

Система N уравнений излагаемого метода

(15.4)

содержит N+s неизвестных: N сил Xj и s перемещений – компонентов { }.

N уравнений (15.4) дополняются s уравнениями равновесия тела 2:

(15.5)

где P_m – суммы проекций (m = 1,2,3) и моментов (m = 4,5,6) заданных сил по отношению к координатным осям.

Система уравнений (2.3) и (2.4) является основой базисного алгоритма рассматриваемого метода. Контактные силы нахо­дятся итерационным путем. Узлы, в которых по расчету на данном этапе получаются Xi < 0, остаются в числе контактных и на следующем этапе, где исключаются узлы с Xi > 0. На каждом этапе проверяются условия взаимного непроникания тел в узлах вне зоны контролируемого контакта.

Итерационный поиск завершается, когда очередной этап не выявляет необходимости изменения зоны контакта. От совместного действия за­данных и контактных сил выполняется моделирование тел по МКЭ. Обобщение приведенного базисного алгоритма на систему любого конечного числа тел порождает математическую модель, основой ко­то­рой являются уравнения для двух любых взаимодействующих тел и приложенных к ним контактных сил, в том числе со стороны "третьих" тел. Описанный метод обеспечивает минимизацию общего объема вычислений: итерационный поиск зон контактов осуществляется прямым решением последовательно корректируемых систем линейных уравнений минимально возможного порядка, практически равного общему числу пар сопряженных узлов. Такой путь является принципиально более экономичным, чем известные методы квадратичного программирования.

15.3. Программирование метода конечных элементов

Как уже упоминалось выше, метод конечных элементов (МКЭ) предназначен для приближенного решения практических любых систем уравнений: алгебраических, дифференциальных и интегральных. МКЭ широко распространен в различных областях знаний: в механике, термодинамике, гидродинамике, газодинамике и т.д., т.е. в тех областях где невозможно получить аналитическое решение.

Широкому применению метода конечных элементов для растущего многообразия задач способствуют:

а) внутренняя общность метода;

б) его естественная формулировка в матричной форме;

в) наличие эффективных процедур для решения очень больших систем уравнений;

г) возможности современных вычислительных машин.

Предварительно произвольная система уравнений должна быть преобразована в систему линейных алгебраических уравнений, имеющих матричный вид . Здесь P - вектор правых частей уравнений,  – вектор неизвестных, K – симметричная матрица коэффициентов при неизвестных. Получение такой системы уравнений является очень непростой задачей, но ее решение уже известно для всех важных прикладных задач.

В упругой задаче теории упругости, которая используется при проектировании кузнечно-штамповочных машин, уравнение представляет собой запись закона Гука в обобщенной форме. Алгоритм решения таких задач состоит из следующих этапов:

1. Упругое тело разбивается на элементы. Объемное тело на тетраэдры или параллелепипеды. Плоское тело – на треугольники и прямоугольники.

2. Для каждого элемента составляется матрица жесткости K с использованием функции формы. Функция формы представляет собой способ аппроксимации неизвестной функции .

3. Матрицы жесткости элементов объединяются в единую матрицу жесткости для всего тела.

4. Решая систему уравнений , находят узловые перемещения .

5. С помощью уравнений теории упругости определяются деформации и напряжения.

Кропотливой и трудоемкой задачей МКЭ является задача составления матрицы индексов. Стратегию программирования метода конечных элементов можно представить в виде блок-схемы, показанной на рис. . Как правило, такие программы являются гибридными. В их основе лежит объединение по узлам, которое легко может быть заменено поэлементным объединением, поскольку элементные матрицы жесткости k вычисляются и сохраняются в памяти для последующего использования.

Так как в рассматриваемой программе объединение элементных матричных уравнений проводится по узлам, то необходимо знать элементы, окружающие каждый узел. Эта информация хранится в специальном массиве, который формируется следующим образом.

Сначала в первый столбец записываются нули, первым обрабатывается элемент 1, у которого, глобальными номерами узлов являются числа 1, 8 и 7.

В массиве общее число элементов, окружающих каждый из указанных узлов, при этом увеличивается на единицу. Номер элемента, а именно 1, записывается в следующем столбце (т.е. втором) для каждого из этих узлов.

Следующий элемент (2) с номерами узлов 1, 2 и 8 обрабатывается аналогичным образом. Общее число окружающих элементов получается для этих узлов увеличением на единицу, а номер элемента, а именно 2, записывается в следующем столбце. В результате последовательной обработки массив формируется полностью.

Автоматизация процедур расчетов координат узлов, матрицы индексов и граничных условий позволяет легко изменять количество узлов.

Матрица жесткости системы (всего тела) формируется с помощью матрицы индексов.

Учет граничных условий сопровождается перестройкой матрицы жесткости системы и вектора сил.

Узловые перемещения системы определяются путем обращения матрицы жесткости. Узловые перемещения элементов определяются путем поворотного присваивания значений перемещений системы по матрице индексов.

По уравнениям теории упругости деформации , где u – вектор перемещений. По уравнению связи узловых перемещений D и перемещений u произвольной точки . Отсюда деформация элемента .

По физическим уравнениям теории упругости (закон Гука) вычисляются напряжения .

Сложность расчета состоит в аккуратном использовании индексов элементов, узлов, столбцов, строк, присвоении индексам значений, взятых из матрицы индексов.

Напряжения в узлах определяются как средне-арифметическое напряжений деформаций во всех элементах, сходящихся в узле.

Вопросы для самоподготовки:

1. Что такое нелинейность и в чем заключаются особенности решения задач нелинейной механики?

2. Охарактеризуйте метод контактных сил и переносных перемещений для базисной системы гладких тел?

3. В чем заключаются особенности программирования метода конечных элементов?

Лекция №16 Приложения метода конечных элементов

Теоретические вопросы

16.1. Универсальные программные комплексы – основа построения и развития САПР

16.2. Ударные нагружения в системах кузнечно-штамповочных машин

16.3. САПР анализа процесса удара

16.1. Универсальные программные комплексы – основа построения и развития САПР

В необходимом сочетании специализированных и универсальных программ последним принадлежит роль, определяющая уровень эффективности САПР и ее соответствия современным требованиям. Универсальные CAD/CAE/CAM-системы (в зависимости от их функциональных возможностей, набора модулей и структурной организации) принято делить на системы низкого и среднего уровней и на полномасштабные системы. Из большого числа современных полномасштабных систем, кратко описанных в [3], для создания САПР кузнечно-прессовых машин можно в первую очередь рекомендовать следующие.

SolidWorks - система автоматизированного проектирования, инженерного анализа и подготовки производства изделий любой сложности и назначения. SolidWorks является ядром интегрированного комплекса автоматизации предприятия, с помощью которого осуществляется поддержка жизненного цикла изделия в соответствии с концепцией CALS-технологий, включая двунаправленный обмен данными с другими Windows-приложениями и создание интерактивной документации.

CADDS фирмы Computervision – отличается мощным приложением для управления инженерными данными (модуль Optegra) и специальной организацией работы с большими сборками. Система обеспечивает трехмерное геометрическое проектирование твердых тел и поверхностей на базе гибридного сочетания параметрических и вариационных процедур. Слабее представляются возможности проектирования технологической оснастки.

I-DEAS фирмы SDRC – система с достаточно полным набором приложений для различных областей машиностроения, включая моделирование по МКЭ, мощные средства анализа экспериментальных данных, гибридное трехмерное проектирование твердых тел и поверхностей.

UNIGRAPHICS фирмы EDS – универсальная программная система, получившая наибольшее распространение в авиационной и автомобильной промышленности. Трехмерное проектирование твердых тел и поверхностей – гибридное. Ос­нов­ные достоинства системы – в технологических приложениях. Недостатки проявляются, прежде всего, на уровне управления данными и механическими сборками.

Pro/ENGINEER фирмы PTC – лидирующая программная система автоматизации машиностроения, охватывающая весь спектр цикла “проек­ти­рование – изготовление”. Инструментальные средства системы обеспечивают трехмерное геометрическое моделирование твердых тел и поверхностей в параметрической, а также в концептуальной непараметрической форме. Реализована методика параллельного проектирования. Важнейшее преимущество – полная двусторонняя ассоциативность: единая структура данных позволяет в любой момент вносить в проект изменения, автоматически переносящиеся на все ранее реализованные этапы конструкторско-техноло­гического процесса. Ядро системы – модуль Pro/ENGINEER, в сочетании с которым могут работать различные функциональные модули (некоторые из них кратко описаны в п.3.4.1).

16.2. Ударные нагружения в системах кузнечно-штамповочных машин

Ударные нагружения в машинах возникают во всех случаях, когда имеются относительные скорости движения деталей к моменту их соприкосновения и процессы перехода кинетической энергии в потенциальную энергию деформации.

Ударные процессы сопровождаются возникновением нагрузок, в десятки и тысячи раз превышающих расчетные, что приводит к разрушению машины. Поэтому первым требованием при эксплуатации машины является исключение причин возникновения ударного нагружения, а если это неизбежно, то необходимо предотвратить его распространение и снизить действующие при ударе силы.

В КШМ неизбежно их ударное нагружение в процессе эксплуатации. В наиболее тяжелых условиях работают КШМ ударного действия, например молоты, принцип действия которых основан на ударном воздействии на деформируемую заготовку. В КШМ статического действия, например гидравлических прессах, в процессе их работы возникают не предусмотренные условиями эксплуатации ударные нагрузки, приводящие к возникновению в сочленениях деталей и узлов КШМ зазоров и неизбежному возникновению ударов.

В результате удара в деталях возникают весьма сложные процессы, поэтому никакие количественные оценки не позволяют дать определение явлению удара.

При ударе напряжения предаются и другим точкам соударяющихся тел, находящихся вне площадке контакта, и все точки обоих тел получают деформации и испытывают напряжения. Для сплошных тел возникающие напряжения и деформации связаны известными уравнениями, теории упругости (уравнениями Ламэ), которые являются наиболее общими и применимы к любому телу.

После начала удара с появлением контактной площадке возникают дополнительные граничные условия, относящиеся к точкам, находящимся на контактной площадке. Напряжения в точках обоих тел на контактной площадке равны по значению и противоположны по направлению.

Таким образом, решение задачи соударения тел в общем виде сводится к совместному решению уравнений Ламэ с учетом граничных и начальных условий.

В настоящее время для решения прикладных вопросов теории удара находят применение приближенные методы расчета ударной системы:

- классический ньютоновский метод;

- метод Герца, в соответствии с которым области контакта предполагаются упругими, а тела – твердыми;

- метод, в соответствии с которым тела предполагаются полностью упругими, но распространение напряжений по телам – мгновенным;

- метод плоской волны Сен-Венана, предполагающий, что поверхность контакта плоская и все точки на поверхности контакта обоих тел находятся в одинаковых условиях, скорость и напряжения в каждом сечении волны постоянны;

- комбинированный метод, сочетающий статические решения теории упругости для приконтактной зоны и метода плоской волны для остальной части соударяющихся тел.

Перечисленные традиционные идеализированные модели объективны только в случаях, когда вся кинетическая энергия АТС или по крайней мере большая ее часть расходуется на работу сил деформирования и сил трения.

С момента столкновения тел или начала физических процессов, описываемых законами механики, объективность традиционных моделей требует вывода доказательства для каждого конкретного случая. Как правило, в рамках традиционных моделей такого обоснования получить не возможно.

В настоящее время практика решения задач теории удара предполагает использование численных методов, в частности метода конечных элементов (МКЭ). МКЭ включает в себя возможности традиционной и инженерной моделей и может, как эффективно сочетаться с ними, так и в дальнейшем, с развитием вычислительной техники, полностью их заменить.

Численная модель основана не на уравнениях, описывающих отдельные конструктивные элементы, а на свойствах материалов и их геометрии. При использовании МКЭ каждый элемент конструкции представляется в виде сеточного аналога, деформация элементов которого выражается через перемещения узлов сетки, при этом механические свойства материалов конечных элементов известны. Это дает возможность найти перемещения узлов при заданных на границах перемещениях, вычислить силы, действующие на границах сеточного аналога, затраты энергии на деформацию, изменение количества движения.

МКЭ, как и любой математический сеточный метод, является сходящимся, т. е. всегда позволяет оценить погрешность расчета или произвести расчет с необходимой точностью. Однако метод громоздок, он требует решения систем десятков, а то и сотен тысяч уравнений, и потому сам по себе требует определения и обоснования разумного уровня детализации.

16.3. САПР анализа процесса удара

В настоящее время большинство САПР, реализующих метод конечных элементов и использующиеся в машиностроении, включают в себя множество решателей, предназначенных для анализа самых разнообразных задач.

Так, например, выполнить анализ явления удара позволяет программный комплекс LS-DYNA, которая представляет собой многоцелевую программу, использующую явную формулировку метода конечных элементов (МКЭ) и предназначена для анализа нелинейного динамического отклика трехмерных упругих структур. В числе аналогов LS_DYNA можно назвать MSC.DYTRAN, ABAQUS/Explicit, PAM_CRASH и SamCEF.

В ANSYS поддерживаются неявные (Implicit) методы интегрирования уравнения динамики, использующие схему Ньюмарка. Расчет сводится к серии решений квазистатических задач с нагрузками, зависящими от времени. Вообще говоря, временной шаг может быть не очень малым, поскольку при каждом шаге выполняется решение системы уравнений и проводятся уравновешивающие итерации, связанные с матричными операциями. При линейной матрице жесткости интегрирование является безусловно устойчивым.