Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

регуляризирующим оператором для уравнения (2.122), то функция

функция, такая, что:

1)она кусочно непрерывна на любом конечном отрезке;

2)M (ν) ≥ 0 , M (0) ≥ 0 , при ν ≠ 0 ;

3)M (ν) ≥ C > 0 для достаточно больших ν ;

166

При этих условиях регуляризованное решение определяется по формуле xα = Rf ( yδ,α) , где f (ν,α) берется в виде (2.124).

Функцию f (ν,α) в компьютерной томографии называют

функцией «окна», так как она с ее свойствами а)–з) обладает не только регуляризирующими свойствами в зависимости от значения параметра регуляризации α, но и фильтрующими свойствами, т. е. значения ее зависят также от области работы оператора (2.122).

n

Полагая М (ν) = ∑ gn ν2n , где gn > 0 – заданные не отрица- n =0

тельные постоянные, можно получить стабилизаторы n -го порядка. Целесообразность рассмотрения различных типов регуляризирующих операторов состоит в том, чтобы для конкретной задачи выбрать наилучший в некотором смысле оператор. Далее в гл. 3 рассматриваются некоторые типы регуляризирующих «окон» применительно для параллельной и веерной геометрии рентгеновского пучка, а в гл. 4 анализируются вопросы точности входных данных yδ и точности реконструированного изображения в зависимости от

параметра регуляризации α и других параметров реконструкции.

Метод локальной регуляризации. Указанные выше подходы используют главным образом либо информацию количественного характера об уровне погрешности задания оператора и исходных проекционных данных, либо информацию качественного характера, когда задан класс корректности решаемой задачи.

Во многих задачах томографии имеется дополнительная информация об искомой функции, искомом точном решении и других исходных данных, полученная, например, путем моделирования томографического процесса. Использование этой информации при построении регуляризирующих алгоритмов позволяет повысить эффективность применения регуляризации.

Характерным примером этого является задача нахождения формы радиоимпульса х(t), испущенного источником излучения, по результатам его регистрации y(t) на больших расстояниях, если известна импульсная функция трассы K(t). Эта задача сводится к решению интегрального уравнения I рода типа свертки (2.122). При

167

этом характерной дополнительной информацией о данной задаче является информация о форме импульса x(τ) (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Графики типичных радиоимпульсов

Интуитивно можно предположить, что каждому интервалу резкого и плавного изменения функции х(τ) при решении уравнения (2.122) должен соответствовать свой параметр регуляризации α.

Данный подход может использоваться в томографии через определение функции отклика у (функции изображения) на δ- функцию х в виде тонкого стержня, реконструкцию которого необходимо провести. Здесь необходимо иметь информацию о точной форме сигнала х (точная форма томографического стержня), а также информацию об импульсной функции томографа в виде заданной апертуры детектора.

Снова рассмотрим уравнение (2.122). Пусть элементу g0 (t ) L2 соответствует единственный элемент x0 (τ) L2 , но вместо эле-

мента y0 (t ) задано его приближение yδ (t ) , такое, что yδ (t ) = y0 (t) + N (t ) ,

где N (t ) – случайная функция с математическим ожиданием

Случайная функция N (t ) априорно определена. Тогда можно найти регуляризирующий оператор вида [11]

где р – целые числа. Число α выбирается либо по невязке, либо другим способом [11].

2.3.6. Построение регуляризирующих алгоритмов

Рассмотрим задачу нахождения приближенных решений основного уравнения компьютерной томографии (2.110).

где L(l, θ) – прямая в R2, задаваемая уравнением x cos θ + y sin θ = l

(l (−∞,∞),θ (0, π)) .

x cos θ + y sin θ = l , то уравнение прямой L(l, θ + π) имеет вид x cos(θ+ π) + y sin (θ+ π) = −xcos θ − y sin θ,

поэтому

169

2.Пусть P(ν,θ) – фурье-образфункции P(l,θ) по переменной l , а

μ(ν1,ν2 ) – фурье-образ функции μ(x, y) . Тогда справедливо равен-

где ν = (ν12 + ν22 )1 2 . Тогда, применяя к соотношению

∞ ∞

Р(l,θ) = ∫ ∫ μ(x, y)δ(x cos θ + y sin θ −l )dx dy

−∞−∞

оператор преобразования Фурье по переменным х, у и учитывая связь этого преобразования с преобразованием Радона (2.87), получим (2.127). Преобразуем правую часть уравнения (2.125)

π

Обозначая ∫Р(l, θ)dθ = S (x, y) , получим из (2.128) следующий

0

оператор Kμ [12]

где Kμ ≡ K (x, y)*μ(x, y) , * – свертка; K (x, y) = (x2 + y2 )−12 ; ξ , η

– координаты локальной области (точки) в круге r = х2 + у2 . При фиксированном α > 0 существует единственное решение

μα (x, y) уравнения (2.129), которое можно записать в явном виде

[11]:

170