Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Можно показать, что оператор Т–1, обратный оператору T , определяемому уравнением (2.110), не ограничен гладкой функцией L2

пространства Rn . Действительно, используя формулу обращения Радона (2.98), имеем

μ(x, y) =	1		2π +∞	∂P(l,θ)
			∫ dθ ∫			dl ,	(2.112)
	4π	2	∫ dθ ∫	(l −l	)∂l	dl ,	(2.112)
	4π		0 −∞	1

где l1 = x cos θ+ y sin θ , θ [0,2π].

Таким образом, для оператора T −1 имеет место представление

2π +∞

Д p(l,θ)

= S C Д p(l,θ),

TP−1 ≡

∫ dθ ∫

(2.113)

4π

l −l

0 −∞

где

оператор

дифференцирования

по

переменной

Д p ≡ ∂p(l, θ)

+∞ v(l, θ)

∂l ;

сингулярный

оператор

C v ≡ ∫

dl ;

l −l

−∞

2π

(l, θ)dθ.

S u =

∫ u

4π

Из (2.113) видно, что несмотря на то, что оператор S ограничен в пространстве суммируемых по θ функций, оператор Т–1 не ограничен классом функций L2 вследствие неограниченности операто-

ра Д в L2 [11]. Кроме того, если функция V (l, θ) известна приближенно в метрике L2 , то интеграл C V не существует в смысле

главного значения, что еще более усиливает некорректность задачи вычисления значений оператора Т–1. Это значит, что пользоваться формулами обращения преобразования Радона для нахождения приближенного решения уравнения, строго говоря, нельзя.

Покажем на примере, как проявляется невыполнение третьего

	0, r ≥1,
условия. Пусть μ0 (x, y) =	1, 1 2 ≤ r <1,	(рис. 2.21).
2, 0 ≤ r <1 2, r = (х2 + у2 )
	156

μ0	(x, y)= 2	y
μ0	(x, y)= 2	Q		L
		Q		L
			K	r =1
			K
		P		r =1/2
		P		l
				l
				θ
		0		x
		M		M
				M
			N
		μ0 (x, y)=1		μ0 (x, y)= 0

Рис. 2.21. Область определения функции μ(x, y)

В качестве семейства линий L(l, θ) возьмем семейство прямых,

инвариантных относительно вращения вокруг точки 0. Тогда проекционные данные определятся, как

P0 (l, θ) = ∫

L(l, θ)

≥1,

μ0

(x, y)dl = 2

−l2 , 1 2 ≤

<1,

1−l2 + 1 4

−l2

<1 2.

Полученные значения проекционных данных P0 (l, θ) определялись как значения хорды KМ для 12 ≤ l <1, умноженной на значение μ0 (x, y) в заданном диапазоне изменения l , и QPMN для 12 < l , умноженной на значения μ0 (x, y) по прямой L (пояснения на рис. 2.21).

157

Функция P0 (l, θ) не зависит от θ, так как объект симметричен

для любого направления l ,	и имеет четыре угловые точки:
l = −1, ±1 2, 1. Следовательно,	в этих точках будут существовать

лишь односторонние производные по l. Тогда V0 (l, θ) = ДP0 будет

≥1,

−1 2

(l, θ) =

− 2l

1−l2

, 1 2 ≤

<1,

					(		)	−1 2	(			)	−1 2
				− 2l		1−l2		−1 2	+ 1 4 −l2				−1 2	, l <1 2.
				− 2l		1−l2			+ 1 4 −l2					, l <1 2.

	P0	(l,θ)									V0 (l, θ)
		3							3
		3							3
		2							2
		2							2
		1				l			1					1	l
		1							1


−1 −0,5 0			0,5	1				−1 −0,5 0				0,5
										−1
										−1

−2

−3

Рис. 2.22. Графики функций P0 (l, θ) и V0 (l, θ)

На рис. 2.22 видно, что если при вычислении значений операто-

ра T −1 по формуле (2.113) мы возведем конечную сетку по l, то в окрестностях точек l = −1, ±12, 1 дискретный аналог производной

V0 функции P0 (l, θ) будет иметь скачки, значения которых по мере уменьшения шага дискретности l будут неограниченно воз-

растать в силу	V (l, θ)	при l → 0 . А это означает, что не будет
растать в силу	l	при l → 0 . А это означает, что не будет
	l
		158

сходимости конечно-разностных аппроксимаций T −1 p0 к μ0 при l → 0 . Иначе, в данном случае невыполнение условия 3 приводит к отсутствию устойчивости разностной схемы определения для уравнения (2.113).

Физически это означает, что, имея погрешность в определении измеренных проекционных данных P0 (l, θ) , в том числе за счет по-

грешности задания дискретности l (погрешность отсчетов единичных детекторов линейки детекторов), которая распределяется случайным образом от одного ракурса θ к другому, мы не получаем восста-

новленное μ0 (x, y) по формуле (2.113) в виде объекта рис. 2.21. Получим же достаточно искаженное изображение μ0 (x, y) с расплывчатыми границам в точках l = −1, ±12, 1 и круговыми артефак-

тами. Что и наблюдаем на практике при моделировании «шума», накладываемого на реальные томографические проекционные данные

P0 (l, θ) .

В зарубежной литературе [3, 4] по компьютерной томографии

распространен метод вычисления значений оператора T −1 с использованием формулы (2.113), заключающийся в том, что по результа-

там томографических измерений Pδ (l, θ) находят приближение

μ(x, y) к функции μ0 (x, y) в виде
	μ(x, y) = S K Pδ ,	(2.114)
	+∞	A 2
где K Pδ ≡ ∫ gA (l −l1 )Pδ (l1, θ)dl1, gA (ν) = 2 ∫ νFA (ν)cos(2πlν)dν ;
	−∞	0
A > 0 – вещественное число, FA (ν) – однопараметрическая веще-
ственная функция такая, что:
а) 0 ≤ FA (ν) ≤1 α ≥ 0 , A > 0 ;
б) FA (ν) = 0 , ν ≥ A 2 ;
в) FA (ν) – монотонная невозрастающая функция;
г) lim	F (ν) =1.
A→∞	A
	159

Величина A физически определяется шириной входного окна (апертурой) единичного детектора и равна A ≈1d , где d – апертура

детектора. ВеличинаFA (ν) определяется обратной функцией детектора или частотной функцией аппаратного «окна»-фильтра.

Оценим величину

А =

μ −μ0

А =

S ' K Pδ

− S C ДP0

L ≤

K Pδ −C ДP0

(2.115)

где

μ −μ0

– норма, метрика

A для унитарных функций L2

здесь понимается в смысле неравенства Коши–Шварца [30]. Поскольку S ≤ M , где M > 0 – некоторое число, то на основа-

нии неравенства Минковского [30] можно записать:

K Рδ −СДР0 = K Рδ −K Р0 + K Р0 +СДР0 ≤ K Рδ −K Р0 +

(K −СД) Р0

≤

δ+

(K −СД)Р0

(2.116)

где δ = Pδ − P0 .

≤ А 2

Обычно используют функции F (ν) =

В этом

> А 2.

случае из (2.114)

gA (ν) = νFA (ν) .

(2.116’)

Поэтому норма

= max

gA (ν)

= A 2

и,

следовательно, из

(K −СД)Р0

≤ А 2 δ +

(2.116’) имеем

K Рδ −СДР0

. Поскольку

число A выбирают таким, чтобы

K Р0 −СДР0

≤ ε( А) , ε( А) > 0 ,

lim

ε( А) = 0 ,

A→∞

то с учетом (2.116) имеем при фиксированном

A (фиксированной

апертуре единичного детектора d )

А ≤

( A δ 2 + ε( A)) .

(2.117)

Здесь C ДP0 – радоновское (точное) преобразование точного μ0 , а K P0 – приближенное преобразование точного μ0 .

160

Источник: https://studfile.net/preview/16708896/

Смотрите также:




_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей