Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

геометрии, через q(γ,β) – для веерной геометрии, причем l < Д – радиус окружности, по которой движется источник излучения.

Рис. 3.44. Веерная геометрия сканирования

 

Из рис. 3.44 следует

 

l = Дsin γ , θ = β+ γ , P(l,θ) = q(γ,β) ,

(3.169)

r cos(θ−φ) −l = S sin (γ'− γ),

(3.170)

где S – расстояние между точками U и P ; γ' – угол между отрез-

ками 0U и UP .

Соотношение (3.170) вытекает из подобия треугольников 0RL

и LPM , где 0L = l cos(θ− φ) , а РМ = PM = S sin (γ'− γ).

 

 

Из

геометрических соотношений следует

равенство

S 2 = (UK )2 + (PK )2 . Учитывая, что (UK )2 = Д+ r sin

(β −φ) 2

, а

 

 

 

 

(PK )2 = r cos(β −φ) 2 , то

 

 

 

 

 

 

 

301

 

 

S 2 = r cos

(β −φ) 2

+ Д+ r sin

(β −φ) 2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.171)

r2 + Д2 + 2Дr sin (β −φ),

 

 

 

 

 

r cos(β −φ)

 

 

 

 

γ' = arctg

.

 

 

(3.172)

Д+ r sin (β − φ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формул (3.130), (3.135) и (3.133) для параллельной геометрии луча следует, что

 

 

 

 

 

 

∞ T 2π

μ(r cosφ,r sin φ) =1 2 ∫

∫ ∫ p(l,θ)×

 

(

 

(

 

)

−∞−T 0

 

 

 

)

 

 

 

×exp

 

i 2πν r cos

 

θ−φ

 

−l

 

W (ν)

ν

dθdl dν.

Перейдя от переменных (l,θ)

к переменным (γ,β) ,

во внимание соотношения (3.169) и (3.170), получим

μ(r cosφ,r sin φ) =

(3.173)

принимая

∞ γm

2π−γ

= (Д 2) ∫ ∫

∫ q(γ,β)cos γexp(i 2πν)S sin (γ'− γ)W (ν)

 

ν

 

dβdγdν.

 

 

 

 

−∞−γm

−γ

 

(3.174)

Учитывая, что β изменяется с периодом 2π , пределы интегрирования по β можно изменить от 0 до 2π .

Как и для параллельной геометрии лучей (3.139) и (3.140), операцию реконструкции по формуле (3.174) можно представить в два этапа:

γm

 

q(γ',β) = ∫ q(γ,β)cos γ (S sin (γ'− γ))dγ ,

(3.175)

−γm

 

2π

 

μ(x, y) = (Д 2) ∫ q(γ',β)dβ,

(3.176)

0

 

где

∞

g (S sin (γ'− γ)) = ∫ ν W (ν) exp(i 2πνS sin (γ'− γ))dν. (3.177)

−∞

302

Рассмотрим выражение (3.177). Ядро g (l ) в соответствии с (3.134) определяется как обратное преобразование Фурье от модуля пространственной частоты ν

∞

 

g (l ) = ∫ ν exp(i 2πνl ) dν .

(3.178)

−∞

Здесь следует отметить, что выражение (3.178) представляет неотфильтрованное ядро, поэтому выражение (3.178) не совпадает с выражением (3.138).

Для значения аргумента по выражению (3.177) уравнение (3.178) примет вид

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (S sin γ) = ∫

 

ν

 

 

exp(i 2πνS sin γ) dν ,

 

(3.179)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где γ = γ'− γ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введя новую переменную

 

 

 

 

 

S sin γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ν'

= ν

 

,

 

 

(3.180)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (S sin γ) = ∫

ν'

 

 

 

 

 

 

 

 

exp(i 2πν'γ)

dν' ,

(3.181)

 

S sin γ

 

S sin γ

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (S sin γ) =

 

 

γ2

 

 

 

 

∞

 

 

 

exp(i 2πν'γ) dν' .

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

ν'

 

(3.182)

 

 

 

 

 

 

 

 

S

2

sin

2

γ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл в выражении (3.182) представляет ядро с аргументом

γ , полученное для параллельных

 

лучей. Следовательно, ядро для

веерных лучей может быть определено в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ2

 

 

 

g (γ) =

 

g (γ) ,

 

 

(3.183)

S 2 sin2 γ

 

 

где g (γ) – ядро, определяемое выражением (3.178). В результате (3.176) для случая веерной геометрии сканирования примет вид

303

μ(x, y) =

1

2π

1

γm

q (γ,β) g (γ'− γ) dγ ,

 

∫

 

dβ ∫

(3.184)

 

 

2

 

2

0

 

S

−γm

 

где q (γ,β) = q(γ,β)Дcos γ

–

модифицированная

проекция;

g (γ'− γ) = g (γ'− γ)

γ2

 

 

– модифицированное ядро.

 

sin2 γ

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, выражение (3.177) представляет собой модифицированное ядро g (γ), которое определяется как для случая па-

раллельных лучей. Тогда для оценки W(ν), определяемого выражениями (3.146) и дискретного представления проекции (3.147), модифицированное ядро для веерной геометрии сканирования определиться, как

g (i,Δγ)

=

3 − 2α

 

 

 

, i = 0 ,

 

α2(Δγ)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g (i,Δγ) = −

 

 

α

 

 

, i

– четное,

(3.185)

π2 sin2 (i Δγ)

 

g (i,Δγ) = −

 

 

1−α

, i

– нечетное,

 

π2 sin2 (i Δγ)

 

где Δγ – угол между соседними детекторами, i = –N/2, ..., 0, ..., N/2–1. На практике, чтобы можно было использовать ЭВМ для решения задачи реконструкции, уравнение (3.184) предварительно аппроксимируют. Используя простейший вид аппроксимации, т.е. заменяя интегрирование суммированием, можно представить алго-

ритм реконструкции для веерных лучей в виде ряда этапов.

1. Модификация полученных экспериментальных проекций

q (γi ,βγ ) = q(γi ,βj )Дcos(γ j ),

(3.186)

где i = –N/2, ..., 0, ..., N/2–1 (для N – четно), j =1,..., M ;

q(γi ,βj ) –

исходные экспериментальные проекции.

2. Вычисление ядра свертки по формуле (3.185). Для коэффициента регуляризации α = 0 будем иметь, например, ядро Лакшминараянана−Рамачандрана

304

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

4(Δγ)2

 

 

g (i Δγ) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

−

 

 

 

 

,

 

2

 

2

(i Δγ)

 

 

π

sin

 

 

 

 

 

 

i = 0;

 

i четное;

(3.187)

i нечетное.

 

3. Свертка проекции с ядром, т. е. вычисление внутреннего интеграла в (3.184)

N 2−1

 

g (γi ,βj ) = Δγ ∑ q (γi ,βj ) g (γl − γi ) ,

(3.188)

i =−N2

где i = –N/2, ..., 0, ..., N/2–1.

4. Обратное проецирование, т.е. вычисление внешнего инте-

грала (3.184)

 

M

g (γ'p ,βj ),

 

μ(x, y) =

Δβ ∑

1

(3.189)

 

 

2 j =1 S 2

 

 

поэтапно:

 

 

 

 

а) определение γ'p по формуле (3.172); γ'p

– угол для каждой

точки Р восстанавливаемой матрицы изображения Mx ×M y , Δβ – угловой ракурс, Δβ = 2πМ ;

б)

интерполирование свертки с целью определения

g(γ'p , βj )

по дискретным экспериментальным значениям g(γl , βj ) ;

 

в)

вычисление множителя 1/S2 по формуле (3.171);

g(γ'p , βj ) ,

г)

обратное проецирование свернутой проекции

предварительно умноженной на множитель 1/S2.

3.5.5. Сравнение методов восстановления изображения

Исторически сложилось так, что алгебраические методы реконструкции изображения были применены на первой установке рентгеновского томографа для головы человека, разработанной Г. Хаунсфилдом – будущим луареатом Нобелевской премии. Однако в

305

Источник: https://studfile.net/preview/16708896/

Смотрите также:

_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей