Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011
Рис. 3.42. График трех функций пространственной частоты ν, произведение которых дает фурье-преобразование свернутых и интерполированных проекций
291
Кривая 2 соответствует функции окна Шеппа–Логана [48], для которой
|
1 |
|
sin (πνΔl ) |
|
, |
|
ν |
|
≤1 2 |
l ; |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
gˆ (ν) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
πΔl |
(3.151) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0, |
|
|
|
|
ν |
|
>1 2 |
l. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кривая 3 соответствует выбору |
|
функции окна |
для функции |
|||||||||||
∑ (ν,θ), если в ней доминируют эффекты наложения и шумы при
1
4 l < ν < 3
4 l . На рис. 3.42 также показан график и для двух функций J (l ) , соответствующих идеальному фильтру ниж-
них частот (обозначены сплошной линией) и линейной интерполяции (пунктирной линией), при которой
ˆ |
sin(πνΔl) |
2 |
|
||
Ja (ν) = |
|
. |
(3.152) |
||
πνΔl |
|||||
|
|
|
|
||
Следует отметить, что идеальный фильтр нижних частот при- |
|||||
водит к резкому усечению функции Pu |
в частотной области, что |
||||
ведет к появлению осцилляций в пространственной области (на графике не показано), распространяющихся от точек разрыва
функции |
Pu , что аналогично эффекту Гиббса при усечении ряда |
|
Фурье. |
|
|
Влияние вида интерполяции |
показано на графике функции |
|
и (ν,θ) |
для двух вариантов J (l ) |
и для варианта gˆΣ(ν,θ) , обозна- |
ченного цифрой 1. По сравнению с (ν,θ) (выражение (3.148)) график функции и (ν,θ) искажен ошибкой наложения, которая обусловлена усилением исходного наложения в Σ(ν,θ) . На графике, соответствующем случаю линейной интерполяции (пунктирная линия), видно, что и (ν,θ) также содержит ложные высокочастотные компоненты при ν >1
2 l , обусловленные кусочной линейностью функции pи (l ', θm ) (3.144).
Заметим, что как ошибки наложения, так и ложные высокочастотные компоненты существенно уменьшаются при использовании
292
функции gˆΣ(ν) график которой обозначен цифрой 3, однако при
этом ослабляются высокочастотные составляющие в исходном объекте исследования, что приводит к ухудшению разрешения в реконструируемом изображении.
Рассмотрим влияние оценки интеграла от обратной проекции (3.140), вычисленного по формуле трапеций вида (3.142).
Для того чтобы отделить влияние дискретизации по параметру l и выделить дискретизацию по углу θ, будем считать, что функция
p(l ',θ) в точности известна при произвольных значениях l ' . Ис-
пользуя это упрощение, найдем функцию передачи рассеяния точки для алгоритма реконструкции, т. е. рассмотрим реконструкцию “им-
пульсного” объекта (тонкий стержень) с координатами (ξ,η). Объект исследования 0(x, y) и его преобразование Фурье
ˆ |
( X ,Y ) описываются функциями |
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0(х, у) = δ(х−ξ, у −η) , |
|
(3.153) |
|||
|
|
|
|
|
ˆ |
( X ,Y ) = exp(−i 2π( X ξ +Y η)). |
(3.154) |
||||
|
|
|
|
|
0 |
||||||
|
Пусть 0(x, у) |
– импульсный сигнал с ограниченной шириной |
|||||||||
спектра, соответствующей указанному импульсному объекту |
|||||||||||
0(х, у) = |
π νс |
|
(νcosθ,νsin θ)W (ν)exp i 2πν |
(xcosθ + уsin θ) |
|
|
|
|
|||
∫ |
∫ |
ˆ |
|
ν |
|
dνdθ, |
|||||
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 −νс
(3.155)
где νс – частота среза функции окна.
Функция 0(x, у) представляет собой выходной сигнал, полученный за счет процедуры реконструкции по (3.136). Подставив
0(x, у) из (3.154) в (3.155), получим
|
π νс |
|
|
|
|
|
∫ ∫ |
|
|
||
0(х, у) = |
|
exp i 2πρνcos(θ− γ) W (ν) |
ν |
dν dθ, (3.156) |
|
0 −νс
где tg γ = ух−−ηξ , ρ = (х−ξ)2 + ( у −ξ)2 1
2 .
293
левом K периодически изменяется по γ с периодом π/MK. В соответствии с этим из (3.160) получим, что равенство 0g (х, у) 0(х, у) будет выполняться для ρ ≤ ρ' , где
|
ρ' = |
|
M |
. |
|
(3.161) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
πνc |
|
|
|
Собственно условие |
(3.161) |
формально |
вытекает из |
условия |
||
Z = m при K =1. |
|
|
|
|
|
|
Учитывая исходное |
предположение об |
импульсном |
объекте |
|||
(сигнале) с ограниченной шириной спектра, приходим к выводу о возможности реконструкции изображения, которое является копией с ограниченной шириной спектра заданного импульсного объекта, для точек, отстоящих от места локализации импульса не далее, чем на расстоянии ρ' . Если рассмотреть поле реконструкции в ви-
де круга диаметром DΩ , как суперпозицию импульсов, то во избежания ошибок численной аппроксимации интеграла от обратной проекции (3.158), необходимо, чтобы ρ' > DΩ . Учитывая, что DΩ = N l , νc =1
2 l , получим из (3.161) неравенство, связы-
вающее число ракурсов M и число лучей (единичных детекторов и отсчетов) N :
М > πN 2 . |
(3.162) |
Это неравенство определяет выбор количества ракурсов и единичных детекторов при практическом проектировании томографа.
3.5.3.Отличительные особенности итерационных методов восстановления изображения
Как было отмечено в начале п. 3.5, главной особенностью алгебраических методов является то, что дискретизацию изображения здесь выполняют в самом начале.
Восстанавливаемый объект аппроксимируется массивом с равномерным коэффициентом линейного поглощения в ячейке, как показано на рис. 3.43. Коэффициент линейного поглощения i-ой ячейки обозначается μi . Для того чтобы исключить обработку бес-
295