Практически любая система функционирует в сложных условиях, обусловленных различными факторами. Исходя из этого, возможность построения регулятора и, как следствие, системы, обеспечивающей устойчивость и заданные показатели качества, существенно облегчает труд инженеров и других лиц. Сюда относятся специалисты, занимающиеся разработкой регуляторов и специалисты, в чью компетенцию входит установка, отладка и обслуживание систем автоматического управления. Квалифицированные рабочие, имеющие дело с регуляторами на производстве, а также сотрудники, отвечающие за контроль над процессом производства. В свою очередь, все это вместе взятое, сокращает время, затрачиваемое непосредственно на управление роботом, позволяет повысить эффективность исследований морских акваторий, обеспечить более высокую комфортность жизни и труда людей.
Технологически-конструктивная универсальность созданного регулятора также позволяет обеспечить высокую надежность подводного робота и длительный срок его службы, в связи с чем снижается вероятность возникновения аварийных ситуаций, при проведении исследований.
Как следствие, исследования, касающиеся построения высокоэффективных подводных роботов и систем управления для них, в современных условиях чрезвычайно важны и востребованы не только с технической, но и с социальной точки зрения.
1. Описание движений ПОДВОДНОГО РОБОТА
1.1 Системы координат
Движение подводного робота, как движение твёрдого тела, происходит в вязкой пространственной среде. Для описания этого движения обычно используются несколько систем координат. Первая из них - земная, неподвижная система координат OXYZ показана на рис. 2.1. Её начало - точка О располагается на поверхности моря, а плоскость XOZ является горизонтальной. Ось OX обычно направлена на север, а ось OZ - на восток.
Рисунок. 1.3Неподвижная система координат подводного робота
С целью получения более простых уравнений, проводится разделение сложных пространственных движений подводного робота на движения в вертикальной плоскости и движения в горизонтальной плоскости. В связи с этим вводятся еще две системы координат. Одна из них используется для описания движения подводного робота в вертикальной плоскости, а другая - в горизонтальной.
Рассмотрим подробнее указанные системы координат, которые используются при описании движений подводного робота. На рис. 1.4 показаны система координат и силы, действующие на подводный робот в вертикальной плоскости.
Рисунок 1.4 - Силы, действующие на подводный робот в вертикальной плоскости
При этом ось OX совпадает с поверхностью моря, а значение координаты Y соответствует глубине плавания подводной робота, взятой со знаком минус.
Рисунок 1.5 - Силы, действующие на подводный робот в горизонтальной плоскости
На рис. 1.2 и рис. 2.3 обозначено: OX, ОY и ОZ - оси неподвижной (земной) системы координат;
Axyz - скоростная система координат. Её ось Ax направлена по линейной скорости V подводной работы Ax1y1z1 - связанная с подводным роботом система координат (её ось Ax1 направлена по продольной оси симметрии подводного робота из кормы в нос).
При возникновении крена или дифферента подводного робота на него начинают действовать восстанавливающие моменты по крену и по дифференту:
, , (1.1)
где - объём подводного робота;
- метацентрическая высота;
- удельная плотность воды;
- угол крена;
- угол дифферента (дифферент подводного робота);
на рис. 1.3 - угол курса (курс) подводного робота.
Скоростная и связанная системы координат связаны соотношениями:
(1.2)
(1.3)
здесь - угол атаки; - угол дрейфа подводного робота.
Так как начало координат систем, показанных на рис.2.2 и рис.2.3, (точки О и А) совпадают, то из первых уравнений (1.2) и (1.3) следует соотношение, которое должно выполняться при всех возможных ситуациях, в которых может оказаться подводный робот в соответствии с моделируемым режимом его движения:
. (1.4)
Основной целью данной работы является синтез регуляторов для автоматического управления движениями подводного робота при отсутствии крена, поэтому в дальнейшем величины: , а также угол крена в (1.4) будут считаться нулевыми, т.е. и .
1.2 Линейные уравнения движения подводного робота
При исследовании движений подводного робота с малыми углами атаки б и дрейфа в, которые характерны для подводного робота, часто используются линейные уравнения. При этом изменения скорости описывается уравнением следующего вида:
, (1.5)
где - линейная часть удельного сопротивления продольному движению подводного робота;
- управление скоростью подводного робота,
- возмущение отражающее нелинейный характер зависимости гидродинамического сопротивления движению подводного робота от скорости, причем ; , , - постоянные коэффициенты.
Линейные уравнения движения подводного робота в вертикальной плоскости согласно [1] имеют вид:
(1.6)
Где A - матрица,
b, h- векторы коэффициентов;
- управляющее воздействие, причем
, , . (1.7)
Здесь - вектор состояния;
причем - рассогласование по глубине ();
- угол атаки (б);
- дифферент (угол );
- угловая скорость изменения дифферента ; - возмущение.
Координаты подводного робота в земной системе координат связаны с переменными , системы (1.6) дифференциальными уравнениями
, . (1.8)
Линейные уравнения движения подводного робота в горизонтальной плоскости [1] записываются следующим образом
(1.9)
где, , - матрица, а , - векторы коэффициентов, причем
, , . (1.10)
В этих выражениях - угол дрейфа (); - курс (угол ); - угловая скорость изменения курса подводного робота; - относительное управляющее воздействие.
Обычно значения параметров, как функций скорости движения подводного робота или как постоянных коэффициентов определяются, в зависимости от целей исследования, опытным путём и являются известными для каждого конкретного подводного робота.
Соотношения (1.6) - (1.10) используются в данной работе для синтеза систем управления маневрами подводного робота, как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскости.
Перейдем непосредственно к синтезу систем управления скоростью подводного робота, и процессом погружения его на заданную глубину.
2. СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯМИ ПОДВОДНОГО РОБОТА
2.1 Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)
АКОР - представляет собой выбор оптимальных коэффициентов усиления для линейной стационарной системы по квадратичному критерию качества. В основе метода АКОР лежит применение теоремы Ляпунова об устойчивости для линейных систем, удовлетворяющих условию положительной определенной квадратичной форме при отрицательном значении ее производной. Задачей АКОР называется задача определения оптимального управления для линейного объекта (2.1)
, (2.1)
произвольного порядка с несколькими управлениями, таким образом, чтобы функционал качества имел минимальное значение.
(2.2)
Коэффициенты матриц и R в функционале (2.2) назначаются в соответствии с желаемым качеством процесса управления. При этом матрица должна быть, по крайней мере, положительно полуопределенной, т.е. . Матрица имеет размер , где - число управлений, причем эта матрица обязательно должна быть положительно определенной, т.е. .
Задач определения управления оптимального в смысле минимума квадратичного (2.2) была решена 60-х годах ХХ века А.М. Летовым. Одновременно эту же задачу решил и Р. Калман. Поэтому в англоязычной литературе она называется - линейная задача квадратичной оптимизации, а в русскоязычной литературе - задачей аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). Калман установил, что оптимальное управление является управлением по состоянию и определяется выражением
(2.3)
где - симметричная положительно определенная - матрица, которая определяется решением уравнения
(2.4)
Уравнение (2.4) называется уравнение Риккати. Это уравнение имеет решение только в том случае, если объект (2.1) является полностью управляемым, т.е. если
(2.5)
Таким образом, для определения оптимального управления, минимизирующего функционала (2.2) при объекте управления (2.1), необходимо, прежде всего, проверить выполняется ли условие (2.5). Если оно не выполняется, то задача синтеза оптимального управления для такого объекта решения не имеет.
Если условие (2.5) выполняется, то в результате решения уравнение Риккати (2.4) находится матрица P и подставляется в равенство (2.3). Обычно уравнение Риккати решается с помощью ПЭВМ с использованием специальных подпрограмм. Например, в системеMatlab это программа ARE (Algebraic Riccati Equation).
Однако можно использовать программу, которая сразу вычисляет коэффициенты матрицы K оптимального уравнения (2.3).
Как отмечалось выше, система автоматического управления обычно имеют задающие воздействие, представляемые вектором g, а управление
, (2.6)
. (2.7)
являются уравнениями в отклонениях. Поэтому оптимальное уравнение (2.3) чаще всего используется в виде
. (2.8)
К сожалению, в настоящее время неизвестны соотношения, которые связывали бы такие свойства оптимальной системы (2.6), (2.8) как быстродействие, колебательность и перерегулирование с коэффициентами матриц Q и R квадратичного критерия (2.2). Поэтому значения коэффициентов этих матриц, при которых система оптимального управления имеет приемлемые значения прямых показателей качества , и , выбираются методом последовательного приближения.
2.2 Реализация оптимального управления полной информации о состоянии объекта
Второй особенностью оптимального управления (2.8) является то, что оно является управлением по состоянию и воздействию. Поэтому его можно реализовать, если только переменные состояния объекта управления (ОУ) доступны измерению. Схема реализации скалярного управления (2.8) в этом случае показаны на рис. 2.1. В данной ситуации говорят, что имеется полная информация о векторе состояния.
Рисунок 2 - Реализация оптимального управления
Как видно их схемы на рис.2, здесь используются измерительных преобразователей (датчиков), каждый из которых измеряет одну переменную состояния. Выходные сигналы этих датчиков (точки на рис2) умножаются на соответствующие коэффициенты с помощью электронных усилителей или ЭВМ, а затем их сумма вычитывается из сигнала, пропорционального задающему воздействию g. При этом на выходе вычитающего устройства получается собственно управление по состоянию и воздействиям.
2.3 Метод АКОР в Matlab
Впервые задача аналитического конструирования регуляторов (АКОР) решена А.М. Летовым в1960 г. В зарубежных источниках задача АКОР называется задачей линейно-квадратичного управления, или оптимизации. Исходная постановка задачи формулируется следующим образом: для объекта управления, движение которого в первом приближении описывается уравнением
, (2.9)
где A и B - заданные матрицы n*n и n*m соответственно, найти матрицу с размером m*n для уравнения регулятора
(2.10)
Такую чтобы на асимптотически устойчивых движениях системы, задаваемой уравнениями (2.9) и (2.10), создаваемыми произвольными начальными склонениями, минимизировать интегральный квадратичный критерий
(2.11)
где Q - заданная положительно определенная матрица размером n*n.
Доказательство единственности и существовании управления (2.10) осуществляется в рамках теории оптимального управления и нами рассматриваться не будет.
Рассмотрим процедуру АКОР, которая состоит из последующих операций:
1. Составляется векторно-матричное алгебраическое уравнение Риккати
2. Осуществляется его решение, т.е определяются неизвестные коэффициенты матрицы P.
3. Вычисляется матрица С по формуле
Отметим подобие законов управления при модальном и линейно-квадратичном управлении. Однако в первом случае искомая матрица С обеспечивает заранее заданное расположение корней характеристического уравнения, а во втором случае подобная ей матрица обеспечивает минимум интегрального квадратичного критерия (2.11). Недостатком обоих методов следует считать значительное снижение качества управления при неточной настройке регуляторов, что значительно снижает область их применения. Этот недостаток отсутствует у грубых и робастных систем.
2.4 Управление глубиной погружения подводного робота
Процесс управления глубиной погружения подводного робота, согласно [1] описывается линейными уравнениями в переменных состояния (1.6), (1.7). Предположим, при некоторых значениях параметров подводного робота эти уравнения имеют [1] следующий вид:
Необходимо синтезировать регулятор для управления глубиной погружения подводного робота, так чтобы обеспечивался астатизм первого порядка к заданной глубине, переходной процесс был без перерегулирования, а длительность - не более 6 с. Степень устойчивости не хуже 0,3 при
Для решения задачи аналитическим методом синтеза регулятора, обеспечивающего первый порядок астатизма, прежде всего, с помощью функции ss2tf пакета MATLAB получим передаточную функцию заданного подводного робота по управлению: