. (2.12)
Таким образом, в данном случае многочлены из уравнения (2.1) при имеют вид:
,
.
С целью проверки условий разрешимости поставленной задачи синтеза, эти многочлены представим следующим образом:
,
.
Судя по этим многочленам, канал управления глубиной погружения подводного робота, как объект управления, является полным, многочлен , следовательно, задача синтеза указанного регулятора имеет решение.
Так как по заданию степень устойчивости должна быть не хуже 0,3, то область определим условием: . В результате факторизации многочленов и относительно этой области найдем многочлены:
, , , (2.13)
, . (2.14)
В данном случае многочлен , а так как , по формуле (2.9) найдем , а по (2.10) получим, что многочлен .
Далее находим:
;
;;
;
.
Следовательно, согласно (2.13) и (2.16) многочлены
,
,
.
Итак, для решения задачи синтеза необходимо выбрать стандартную передаточную функцию по данным: ; и .
Этим данным согласно [3] удовлетворяет передаточная функция со стандартными коэффициентами: , , , , , , причем .
Для обеспечения требуемого времени регулирования вычисляется значение временного масштабного коэффициента . Желаемые коэффициенты многочлена определяются по формуле (2.15) при .
Подстановка в (2.15) численных значений даёт:
,
,
,
,
,
.
Система алгебраических уравнений типа (2.17) для определения коэффициентов многочленов и в данном случае имеет вид:
.
Решение этой системы позволяет записать многочлены:
,
. (2.15)
Представляя многочлен в соответствии с выражением (2.11), найдем, что многочлен , а , так как . Поэтому согласно (2.12) в данном случае многочлен определяется выражением:
. (2.16)
Таким образом, все многочлены уравнения «вход-выход» регулятор определены, что позволяет записать его уравнение с учетом (2.1) - (2.1) по выражению (2.13), так как в данном случае измеряется отклонение и управляемая переменная - глубина погружения подводной роботе. Здесь - заданное значение глубины погружения подводной роботе. В результате получим
.
С использованием передаточных функций это уравнение регулятора с векторным входом принимает вид:
. (2.17)
Перемножая многочлены в этом уравнении, получим
. (2.18)
Применяя к этому уравнению соотношения (2.13), (2.12) и (2.9), найдем уравнения в переменных состояния искомого регулятор для управления глубиной погружения подводной роботе
(2.19)
(2.20)
По этим уравнениям разрабатывается схема реализации данного регулятора. Соответствующая процедура и схема регулятора, построенного на микроконтроллере, приведена ниже.
Для проверки корректности найденного уравнения регулятор, сначала исключим из уравнения (2.55) отклонение . В результате будем иметь
или
.
Полученное выражение для управления подставим в уравнение рассматриваемого подводного робота. С учетом выражения (2.50), после перемножения многочленов, получим уравнение
или, приводя подобные члены,
Отсюда следует уравнение «вход-выход» замкнутой системы управления процессом погружения подводного робота на заданную глубину с найденным регулятором:
.(2.5)
Передаточная функция замкнутой системы управления погружением подводного робота на заданную глубину, вытекающая из уравнения (2.5), фактически, имеет вид
.
По этой передаточной функции замкнутой системы с найденным регулятором с помощью MATLAB получена переходная функция, приведенная на рис. 2.5.
Для более полного исследования свойств синтезированной системы проведено моделирование ситуации, когда одновременно с изменением заданной глубины погружения, возникает постоянное возмущение на подводной робот, т.е. при , . Графики задающего воздействия и реакции системы, соответствующие этому случаю, приведены на рис. 2.6.
Рисунок.2.1- Переходная функция астатической системы управления глубиной погружения подводной робот
Как видно, и при наличии постоянного возмущения ошибка системы остается нулевой.
Рисунок 2.2- Изменение глубины подводный робот при ,
График изменения управления, формируемого в синтезированной системе управления подводным роботом при действии указанных воздействий, приведен на рис. 2.2. Возмущающее воздействие в данном случае возникает через 15 секунд, после включения системы, поэтому и управление, компенсирующее влияние этого возмущения, возникает тоже начиная с 15-й секунды.
На рис 3.4 приведена реакция системы управления глубиной погружения робота при постоянном задающем воздействии и линейном возмущении. Ошибка системы управления и в этом случае равна нулю, что свидетельствует о том, что синтезированная система имеет второй порядке астатизма к возмущению. На рис. 3.4 приведен график изменения управлении, формируемого в системе при этих воздействиях.
Рисунок. 2.3- График управления при ,
Как видно из графиков на рис. 2.2 и рис. 2.3 во всех рассмотренных случаях управление не превышает 0,15, а в установившемся режиме - равно нулю.
Рисунок.2.4 - Изменение глубины подводный робот при , .
Рисунок.2.5 - График управления при , .
В соответствии с графиками, приведенными на рис.2- рис. 2.5, можно заключить, что синтезированная в соответствии с заданием система управления погружением подводного робота обеспечивает требуемое качество автоматического управления глубиной погружения подводного робота.
2.5 Применение метода АКОР к расчетам глубины подводного робота
Приведем числовые значения параметров регулятора и системы управления, соответствующие различным значениям коэффициентов матрицы Q функционала качества
Пусть q11 = 1, q22 = 1
A =
0 2.0000 -2.0000 0
0 -0.5000 0 -0.6920
0 0 0 1.0000
0 0.0700 0 -0.0011
>> B = [0 1.2 0 -0.62]'
B =
0
1.2000
0
-0.6200
>> C=[1 0 0 0]
C =
1 0 0 0
>> D=0
Q=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]
D =
0
Q =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
>> R=0.1
Nc=[0 0 0 0]'
R =
0.1000
Nc =
0
0
0
0
>> Zc=[1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 4 0;0 0 0 0]
Zc =
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 4 0
0 0 0
>> T=0.2
T =
0.2000
>> W=[Q Nc;Nc' R]
W
1.0000 0 0 0 0
0 1.0000 0 0 0
0 0 1.0000 0 0
0 0 0 1.0000 0
0 0 0 0 0.1000
>> V=[Zc Nc;Nc' T]
V =
1.0000 0 0 0 0
0 2.0000 0 0 0
0 0 4.0000 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.2000
>> [af,bf, cf,df]=lqg(A,B,C,D,W,V)
af
-5.1991 2.0000 -2.0000 0
-4.5621 -5.2869 5.6719 1.9039
4.7404 0 0 1.0000
2.2265 2.5432 -2.9305 -1.3423
bf =
5.1991
0.7674
-4.7404
-0.2659
cf =
3.1623 3.9891 -4.7266 -2.1632
df =
0
>> L=[A-B*df*C B*cf; -bf*C af]
M=[C 0 0 0 0]
B2=[B' B']'
glyb=ss(L,B2,M,D)
step(glyb)
L =
0 2.0000 -2.0000 0 0 0 0 0
0 -0.5000 0 -0.6920 3.7947 4.7869 -5.6719 -2.5959
0 0 0 1.0000 0 0 0 0
0 0.0700 0 -0.0011 -1.9606 -2.4732 2.9305 1.3412
-5.1991 0 0 0 -5.1991 2.0000 -2.0000 0
-0.7674 0 0 0 -4.5621 -5.2869 5.6719 1.9039
4.7404 0 0 0 4.7404 0 0 1.0000
0.2659 0 0 0 2.2265 2.5432 -2.9305 -1.3423
M =
1 0 0 0 0 0 0 0
B2 =
0
1.2000
0
-0.6200
0
1.2000
0
-0.6200
glyb =
A =
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 2 -2 0 0 0 0 0
x2 0 -0.5 0 -0.692 3.795 4.787 -5.672 -2.596
x3 0 0 0 1 0 0 0 0
x4 0 0.07 0 -0.0011 -1.961 -2.473 2.93 1.341
x5 -5.199 0 0 0 -5.199 2 -2 0
x6 -0.7674 0 0 0 -4.562 -5.287 5.672 1.904
x7 4.74 0 0 0 4.74 0 0 1
x8 0.2659 0 0 0 2.226 2.543 -2.93 -1.342
B =
u1
x1 0
x2 1.2
x3 0
x4 -0.62
x5 0
x6 1.2
x7 0
x8 -0.62
C =
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
y1 1 0 0 0 0 0 0 0
D =
u1
y1 0
Рисунок 2.6 - переходной процесс по глубине погружения робота
Положим q11 = 20, q22 = 1
А=
0 2.0000 -2.0000 0
0 -0.5000 0 -0.6920
0 0 0 1.0000
0 0.0700 0 -0.0011
B =
0
1.2000
0
-0.6200
C =
1 0 0 0
D =
0
Q =
20 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
>> R=0.1
Nc=[0 0 0 0]'
Zc=[1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 4 0;0 0 0 0]
T=0.2
R =
0.1000
Nc =
0
0
0
0
Zc
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 4 0
0 0 0 0
T =
0.2000
>> W=[Q Nc;Nc' R]
W =
20.0000 0 0 0 0
0 1.0000 0 0 0
0 0 1.0000 0 0
0 0 0 1.0000 0
0 0 0 0 0.1000
>> V=[Zc Nc;Nc' T]
V =
1.0000 0 0 0 0
0 2.0000 0 0 0
0 0 4.0000 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0.2000
>> [af,bf, cf,df]=lqg(A,B,C,D,W,V)
af =
-5.1991 2.0000 -2.0000 0
-17.7379 -9.1402 9.2441 1.2444
4.7404 0 0 1.0000
9.0340 4.5341 -4.7761 -1.00
bf =
5.1991
0.7674
-4.7404
-0.2659
cf =
14.1421 7.2002 -7.7034 -1.6137
df =
0
>> M=[C 0 0 0 0]
M =
1 0 0 0 0 0 0 0
>> B2=[B' B']'
B2 =
0
1.2000
0
-0.6200
0
1.2000
0
-0.6200
>> glyb=ss(L,B2,M,D)
glyb =
A =
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 2 -2 0 0 0 0 0
x2 0 -0.5 0 -0.692 3.795 4.787 -5.672 -2.596
x3 0 0 0 1 0 0 0 0
x4 0 0.07 0 -0.0011 -1.961 -2.473 2.93 1.341
x5 -5.199 0 0 0 -5.199 2 -2 0
x6 -0.7674 0 0 0 -4.562 -5.287 5.672 1.904
x7 4.74 0 0 0 4.74 0 0 1
x8 0.2659 0 0 0 2.226 2.543 -2.93 -1.342
B =
u1
x1 0
x2 1.2
x3 0
x4 -0.62
x5 0
x6 1.2
x7 0
x8 -0.62
C =
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
y1 1 0 0 0 0 0 0 0
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model
>> step(glyb)
Рисунок 2.7 - Переходный процесс при q11=20
Так как при увеличении q11 длительность переходного процесса увеличивается, то для получения быстродействующей системы управления положим q11 = 0.02, q22 =1
2.6 Синтез системы управления скоростью робота
Вовремя выполнение своих миссий подводный робот должен двигаться с различными заданными скоростями. Значительные отклонения скорости от заданного значения приводит к ухудшению условий работы приборов, установленных на подводном роботе [1, 7]. Таким образом, возникает задача синтеза системы для управления скоростью подводного робота и поддержания ее заданного значения. Для решения этой задачи в данной работе применяется аналитический метод синтеза.
Для синтеза системы управления, обеспечивающей управление скоростью подводного робота, в данной работе используется упрощенная математическая модель [1] изменения его скорости, которая, как показано выше, имеет вид:
, (2.11)
Здесь - возмущение, которое отражает нелинейный характер зависимости гидродинамического сопротивления движению подводного робота. Решение данной задачи синтеза системы управления проведено при следующих значениях параметров [1]:
, , .
Тогда уравнение (2.11) запишется следующим образом:
. (2.12)
Поставим задачу синтезировать регулятор с относительным порядком , который обеспечивает второй порядок астатизма к задающему воздействию и возмущению, т.е. ; длительность переходного процесса по задающему воздействию не более , и перерегулирование не более 10%. Измеряется отклонение скорости подводного робота от заданного значения и скорость подводного робота. Возмущение не измеряется, т.е. .
Для решения задачи синтеза воспользуемся изложенным выше аналитическим методом синтеза по заданным порядкам астатизма и показателям качества в переходном режиме. Выполняя его первый этап, находим, что в соответствии с уравнением (2.1) и выражениями (2.1) соответствующие многочлены объекта (2.12) имеют вид:
,
, , (2.13)
, ,
, . (2.14)
В данном случае многочлен , а по формулам (2.5) и (2.6) , т.е. многочлен . Далее находим: ;
;
;
;
.
Следовательно, многочлены:
,
,
.
Таким образом, для решения задачи синтеза необходимо выбрать стандартную ПФ по следующим данным: ; и .
Этим данным согласно удовлетворяет передаточная функция со стандартными коэффициентами: , , , , причем .
Для обеспечения требуемой длительности переходного процесса вычисляется по формуле (2.9) значение временного масштабного коэффициента . Желаемые коэффициенты многочлена определяются по формуле (3.15) при . Подстановка в (2.15) численных значений даёт: , , , .
Система алгебраических уравнений для определения коэффициентов многочленов и в данном случае имеет вид:
.
Решение этой системы позволяет записать многочлены:
, .
Представляя многочлен в соответствии с выражением (2.11), найдем, что многочлен , а многочлен , так как . Поэтому согласно (2.12) в данном случае многочлен определяется выражением:
.
Таким образом, все многочлены уравнения регулятора определены, что позволяет записать уравнение регулятора для случая, когда измеряется отклонение и скорость подводного робота. В результате получим
. (2.15)
где ,
- предписанное (заданное) значение скорости подводного робота.
С использованием передаточных функций уравнение (2.15) записывается следующим образом:
Далее, переходя в этом выражении к уравнениям в переменных состояния, получим следующие уравнения:
, (2.16)
Проверку соответствия полученного регулятора (2.16) предъявленным требованиям проведём по передаточной функции замкнутой системы, вытекающей из уравнений (2.12) и (2.15). Исключая из указанных уравнений отклонение и управление, получим следующие передаточные функции замкнутой системы управления скоростью подводного робота:
. (2.17)
. (2.18)
По передаточной функции (2.17) построена с помощью MATLAB переходная функция синтезированной системы управления скоростью подводного робота. Её график приведен на рис. 2.1. Эта функция наглядно свидетельствует об устойчивости синтезированной системы управления скоростью подводного робота. При этом время регулирования равно 6 с, а перерегулирование - 10 %. Эти показатели соответствуют требуемым значениям.
Рисунок.2.8 - Переходная функция системы управления скоростью
На рис. 2.8 приведены график линейного задающего воздействия , и график выходной переменной V(t), т.е. график реакции синтезированной системы на это линейное воздействие.