Документ: Смирнова Н.А. Методы статистической термодинамики в физической химии учеб. пособие, страницы 511-515

/V.

Вычисление

интеграла

I =

/ («)

ds

(П.24)

+

1

где /(e) — некоторая

функция,

такая,

что интеграл

сходится.

Интегралы вида (П.24) встречаются при

вычислении термодинамических

функций

вырожденного

Ферми-газа.

Так,

в

формулах (VIII.42)

и

(VIII.43)

_з_

_і_

фигурирует

интеграл

(П.24) при / (г) = е 2

,

в выражении (VIП.63)

f

(Е) = е

2 .

Интеграл (П.24) вычислим для случая

&77|л<1.

Сделаем

замену:

kT

= х; e =

p, -f- kTx

и запишем:

00

I = s k

T

у

+

d x

^

J

е Л

+

1

kT

=

оГ І&±*ІЙ. d ,+* г

Г ІІ!І±*І£І

( П . 25)

и-

Использовав

равенство

l/(e* +

1) =

1—l/(e- j r + 1),

преобразуем

первый

из

интегралов

в правой

части (П.24):

О

0

J —?ТГ-**

= }

f^

+ bTx)dx-\

— F r - r - d x

=

У-

ü_

' АГ

kT

р.

АГ

kT

При больших оначениях я подынтегральная функция /(;*—feTx)/(eJC+l), стремит ся к нулю по условию сходимости интеграла (в частности, если де) — степенная функция, например е*Л). При интегрировании указанной функции за верхний предел вместо y-lkt можно взять бесконечность, так как u / é T > l . Учитывая это обстоятельство, после подстановки выражения (П.26) в (П.25) получим

(П. 27)

471

Функции/((i -f kTx) и /((л—kTx) разложим в ряд по степеням около точки * = О

(Т' е'	6	f i» + kTx) = / (p.) +				V M kTx	+
		+ Y	Г (I) (7>)2	+	- y	/"' (n) (ЙГ*)3 +		. . • ,
/	(fx -	* r * ) = / ( p . ) -	/ ' (ix) kTx +	- j	f" (p) (kTx)*		- ~	Г (i*)	+ . . . ;
где
			<*>лл =			»Ш

После подстановки разности функций в выражение (П.27) находим

	\|1	00	xdx
	С	С	xdx
/ = J	/ ( E ) ( i E + 2 ( f f ) ' r W		— т
	о	о
		со
	1	Г xsdx
	+ Y < f e T ) S	M J ; ^ 7 + • • •		( П - 2 8 )

о

Для вычисления интегралов в правой части (П.28) имеется общая формула [521:

оо

Г	уі-і	dx = ( l - 2 » - ' ) Г (О С(0.
Г		dx = ( l - 2 » - ' ) Г (О С(0.
J	е Л + 1
о

где Г (<) — гамма-функция; j

со

С (0 = 2 V С > 1 ) - rt=l

дзета-функция Римана;

(П. 29)

(П.зо)

	С (2)=тс*/6; С(3) = я8 /25,794;						С (4) = тс«/90.
Таким образом,
?	xd*					1	«*	я*
\	е х +	1	=(1 — 2 - ! )		Г (2) С (2) = —		-1- - — = = — ;
J	е х +	1	-			2	6	12
о
со	x3dx					7	it*	7іс*
С	x3dx					7	it*	7іс*	,
J	е* +		= (1 — 2~3) Г (4) £ (4) =				— . 6 . — => —		,
J	е* +	1				8	90	120'
о
и для искомого интеграла				получаем		выражение
/ = J	С		de+	тс2	f'df.)	7п*			.	(П.31)
/ = J	М«)		de+	—	f'df.)	(kT)+ —Г(р)(кТ)+			.	(П.31)
	о							_3_
								_3_
Запишем выражение			(П.31) для		случая, когда		fz—z	2

472

Учитывая,

что

1

3

/'<«) = . !

Л ;

Г ( е

)

= _1._і_

- т

r w = _

_

L

. -

l

. - L - T

2

' w

2

' K '

2

находим

/ =

e 2

de -f-

u . 2

(kT)* —

•

u.

2

(kT)*

+

. . . =

J

6

2

r

v

' 360

8

V /

-r

. •

0

2

4

**

4-

7u<

- 4

V. Некоторые задачи комбинаторики

1. Число способов W, которыми N различимых (допустим, пронумерован ных) объектов могут быть расположены по M местам (ячейкам) так, чтобы на


каждом месте		находился	только	один объект,		равно	числу	перестановок	N\.
В самом деле, объект, занимающий				первое место, может выть выбран N способа
ми. После	того как первый объект выбран,				второй объект			можно выбрать	из
оставшихся	(N—1) способами. Следовательно,				первые две ячейки можно занять
N(N—1) способами. Продолжая				рассуждения		далее,	получаем
		W =	N (N — 1) (N — 2). . .			3-2-1 =	N\	(П.34)
2. Число		способов,	которыми	УѴ различимых объектов				можно разместить
по двум ячейкам так, что в одной ячейке будет находиться M объектов, а во второй
ячейке N—М,		равно числу сочетаний из N элементов по М:

473

Действительно, из общего числа перестановок N элементов (N1) многие не дают нового способа распределения частиц между ячейками. Это все перестановки объектов внутри ячеек. Поместив в первую ячейку M пронумерованных объек

тов, можем переставлять их Ml	способами; число перестановок N—M объектов
во второй ячейке равно (N—М)І	Так как каждая перестановка в первой ячейке
может комбинировать с каждой	перестановкой во второй ячейке, то при задан

ном способе распределения частиц по ячейкам будет Ml (N—Af)! перестановок, не дающих нового состояния. Чтобы получить величину Л/!, надо число различ ных способов распределения объектов между ячейками (искомое число W) умно

жить на число перестановок Ml (N—M)l,

не

дающих

нового распределения,

в

результате чего получим формулу (П.35).

Часто используют

запись

m

I

N\

(П.36)

Ml(N

— M)l

\М

Очевидно,

N

\ _

/

N

С%

=С ІГМ.

(П.37)

м)~\

N — М

3.

Число способов, которыми N различных объектов могут быть размещены

по

К

нумерованным

ячейкам

так,

чтобы

в первой

ячейке было

ті

объектов,

/

*

\

во

второй ячейке тъ объектов

и т. д.

I

^

т г =

N

I , равно

№

W =

-z

.

(П.38)

П

mt\

i=l

Результат можно получить путем рассуждений,

аналогичных

приведенным

выше для случая двух ячеек.

4. Число способов размещения N различимых объектов по нумерованным

ячейкам так, что число объектов в ячейке может быть любым, равно

W=KN.

(П.39)

поскольку для каждого объекта существует

К возможностей,

независимо

от

того,

как размещены

остальные объекты.

5.

Число способов,

которыми

различимых

объектов можно

разместить

по К нумерованным ячейкам (N<K)

так, чтобы ни в одной ячейке не было более

одного

объекта, равно

W=

Kl

.

(П.40)

(K — N)l

к

'

Действительно, для первого объекта существуют К возможностей выбора ячейки, для второго (К—1) и т. д.; для последнего остается (К—N -f- 1) возможностей. Следовательно,

6. Число способов, которыми N неразличимых объектов могут быть раз мещены по К пронумерованным ячейкам (УѴ</С) так, чтобы ни в одной ячейке

не было более одного объекта, равно
W =	Kl
W =	.	(П.41)

474

Так как частицы неразличимы, число состояний уменьшается по сравне нию с предыдущим случаем в ЛМ раз (перестановки частиц, если с частиц стереть номера, не дадут нового состояния).

7. Число способов, которыми N неразличимых объектов могут быть разме щены по К нумерованным ячейкам, равно

Г - <* + * - ' > ' .	(П.42)
m (к— і)!

В силу неразличимости частиц различными будут только такие состояния, ко торым отвечают различные наборы чисел заполнения ячеек Ni NK (#, —

число частиц в і-й ячейке). Чтобы получить искомое число различных состояний W, будем рассуждать следующим образом. Представим, что имеется /V ненуме рованных шаров и К нумерованных ячеек, вытянутых в ряд и разделенных пе регородками:

I № ячеек	(ЦгЩІЩ	(к-1)(к)
	[оо] \|o]oooj<"j \|оооо\|
t/" мест	ігзь5б789ю	м + к ч

Число внутренних перегородок между ячейками равно К— 1. Ячейка — область между двумя ближайшими перегородками. На схеме, изображающей

состояние системы,	каждому	шару или перегородке отводим одно место, так что
общее число мест	равно N +	К—1, причем каждое место занято либо шаром,
либо перегородкой	(при таком способе изображения размеры ячейки, естествен

но, изменяются, но существенно лишь, сколько частиц в ячейке). Будем пере ставлять шары и перегородки по нумерованным N + К—1 местам; при этом сами шары и перегородки будем считать ненумерованными: объекты одного

рода неразличимы. Перестановка только шаров (число перестановок	равно JV!)
или только перегородок (число перестановок (К—1)!) не дает нового	состояния

(нового набора чисел заполнения пронумерованных ячеек). При фиксированных номерах мест, на которых расположены шары и перегородки, число переста

новок, не дающих нового распределения,					равно N1 (К—1)!		Если W — искомое
число различных способов распределения					шаров по ячейкам , то {N + К—1)1 =
= WN\(K—1)!,		откуда следует формула				(П.42).
		VI.	Некоторые	универсальные		постоянные
Число	Авогадро					6,0232- Ю3 3		моль-1
Атомная		единица массы		(а. е. м.)		1,6602- 10-а	<г
Масса электрона				те		9,1083- lu"2» g
Отношение масс протона и электрона						1836,1		см/сек
Скорость		света		с		2,99793-101 0
Постоянная			Планка	h		6,6252- ІО-^эрг/сек
Газовая	постоянная			R		8,315 дж/град-		моль
Постоянная			Больцмана	k		1,3804410_ 1 в		эрг/град

Материал: Смирнова Н.А. Методы статистической термодинамики в физической химии учеб. пособие

Смотрите также: