В результате получим зависимости текущих |
координат от |
|||
начальных: |
|
|
|
|
x = Rcos ( в + -4"ф ) |
= X cos |
<р — Y sin |
ч>; |
|
y = * R s in ( в + - |- ф ) |
= X sin —j—(p -f- K cos —j—<p; |
(8.3) |
||
|
||||
z — Z.
Решая систему (8.3) относительно начальных координат, по лучим выражения функциональных зависимостей начальных коор динат от текущих:.
|
7 |
7 |
|
X — xrcos — |
<р -f у sin -j- ф; |
|
|
Y = ^ |
с о б - ^ |
- ф — x sin -^ - ф ; |
(8.4) |
|
Z |
Z |
|
|
Z = z. |
|
|
Если ф — известная |
функция от времени |
t, то выражения |
|
(8.3) и (8.4) вполне определяют процесс деформации стержня при кручении и закономерность его протекания во времени.
Рассмотрим процесс кручения с точки зрения Эйлера на дви жение сплошной среды. Поле скоростей определяет выражения составляющих вектора скорости, которые с учетом (8.3) будут
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -§r [ * |
cos - f - ф - |
Y sin |
ф] ; |
|
|
|||||
|
vy= |
~ВГ [Уcos ~Г Ф + |
Х sin Т " Ф] ’ |
|
(8.5) |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
vz = |
|
|
о2= 0. |
|
|
|
|
|
|||
Так как |
0, от |
|
времени |
зависит только |
-4 ф, |
который |
||||||
является функцией одного аргумента t, получим: |
|
|
||||||||||
v*= — [ X |
s l n ^ |
+ r c |
o |
s ^ |
J - f ^ |
; |
|
|||||
|
|
= [Хсов-^-Ф - |
Г sin 4 - ф ] |
- i - ÿ - ; |
(8 .6) |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
V, = |
0. |
|
|
|
|
|
|
Подставляя в правые части (8.6) выражения X, |
Y, Z из (8.4), |
|||||||||||
после очевидных |
сокращений |
имеем: |
|
|
|
|
||||||
|
« |
_ ___E - J l.- |
и - |
J l- J î- - |
,, — П |
/»7\ |
||||||
|
V* ~ ~ |
L |
d t ’ |
иУ ~~ L |
d t ’ V* ~ |
~ |
(°-7' |
|||||
Выражения компонентов тензора скорости деформаций после |
||||||||||||
подстановки |
значений |
vx, vy |
и vz из (8.7) примут вид: |
|||||||||
|
|
dq> |
|
|
у |
dq> |
: |
|
|
• |
|
0. (8.8) |
Ъг |
L |
d t |
Ъг |
= -? — г - |
6ex. =—е,ey. = еez. =—Vуху... == |
|||||||
L |
d t |
|
|
|
|
|
|
|||||
Условие пропорциональности компонентов девиаторов тензо ров напряжений и скоростей деформаций
Оде ~Ь Р __ |
Оу ~Ь Р — . . . = |
^Тхг |
ех |
By |
Ухг |
с учетом (8.8) принимает вид
2туг |
________ 2тдг |
_ 2 |
ai |
/л qv |
лс Лр |
у Ар |
3 |
е/ * |
' ’ ' |
L 1 Г |
L dt |
|
|
|
Интенсивность скорости деформации при условии (8.8) опреде ляется выражением
d<p
1 Г
8/ = L /3 Удс“ + S'-
Таким образом, компоненты девиатора тензора напряжений будут равны:
<п |
у |
|
т |
_ |
Of |
* |
(8. 10) |
Кз |
+ |
’ |
ÿ2 |
|
Кз К**+у* ’ |
||
|
|
||||||
Ох+ Р = |
+ |
р = |
<т2 + |
Р = |
T2ÿ = |
О. |
|
Тензор напряжений в случае пластического кручения имеет вид:
|
- р |
|
0 |
<Ji |
У |
|
|
VI |
Vхг-\-y* |
||
|
|
|
|
||
|
0 |
|
- Р |
VI |
X |
|
|
1 |
|||
|
у |
ai |
х |
||
Of |
|
___ fl |
|||
Кз |
К*2 + «/* |
V~3 |
]/"# + & |
|
P |
|
|
Используя зависимости (8.2), можно всегда перейти к цилиндри ческой системе координат. В этом случае выражения (8.10) при нимают вид:
Ьг = oe— az — — р; тгг = |
тг0 = |
0; т02 = |
агД /3 . |
(8.10а) |
|
На свободной поверхности закручиваемого |
стержня |
аг = 0, |
|||
т. е. р — 0, |
и выражения (8.10а) |
принимают вид: |
|
||
|
о, = оге = ог= т2Г = |
= 0; |
т20 = a J Y 3. |
(8.1Об) |
|
Если ai |
зависит только от времени |
/ и г, не |
изменяющегося |
||
в процессе деформации для любой материальной точки, можно показать, что выражения (8.10а) удовлетворяют условиям равно весия только в том случае, когда гидростатическое давление по стоянно по всему объему деформируемого стержня.
Подставляя значения компонентов напряжения в уравнения равновесия
|
|
|
|
дОг |
| |
Ог + СГ0 |
, |
д%гг |
|
а . |
|
||
|
|
|
|
дг |
|
|
г |
|
|
|
— О, |
|
|
|
|
|
|
дх2г |
, |
дог |
|
, |
дХгг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
^ |
дг |
^ |
|
дг |
|
|
|
получим |
(— р) = |
|
— р) = |
0, т. е. |
гидростатическое дав |
||||||||
лениер |
не |
зависит |
[от |
г |
и |
г. [ Таким |
образом,выражения |
||||||
(8.10а) |
дают |
решение для |
напряжений для |
всего объема тела. |
|||||||||
Если |
процесс |
кручения |
осуществляется |
в |
обычных |
условиях, |
|||||||
р = |
0 во всем объеме |
стержня |
в |
том случае, если |
<7, зависит |
||||||||
только |
от |
t |
и г. Однако |
полученное решение не |
удовлетво |
||||||||
ряет условию т20 = 0 на оси симметрии (т. е. при г = 0). Следо вательно, у оси симметрии всегда имеется упругая зона, где реше ние (8.10а) не имеет силы. В этой зоне удовлетворяется условие пропорциональности компонентов девиаторов напряжений и ма лых деформаций:
° х + |
Р |
|
= . . . = 2G. |
(8. 11) |
||
&Х |
еср |
Уху |
||||
|
|
|
||||
Компоненты малой деформации могут быть заданы равенствами, |
||||||
аналогичными (8.8): |
|
|
|
|
|
|
8j. = |
8ÿ = |
8г = уХу= 0, |
УyZ= |
-J- ф, |
|
|
|
|
Угх=---- Ф- |
|
|
(8.12) |
|
Из равенств (8.11) получим значения компонентов напряжения |
||||||
для случая (8.12): |
|
|
|
|
|
|
О х — О у = О г = 1 Ху ~ |
У у г ~ |
Ф* |
|
|||
УL_ ф.
Интенсивность напряженного состояния в этом случае
at = G V I -£- + f = V 3 G •
Условие пластичности а{ = ат дает возможность установить границу упругой зоны
Решение (8.106) остается в силе и для этой зоны. Но, учитывая выражение для определения о(, оно примет вид
(8.10в)
при г = 0 т20 = 0.
Таким образом, если материал не обладает свойством дефор мационного упрочнения, то задача пластического кручения имеет простое решение:
®Т “ “ x zr — Tr0 — 0»
(8. Юг)
Если же материал обладает свойством деформационного упроч нения, то при
напряжение T*e = a jV 3 будет |
переменным, оно 'будет 'различ |
ным при различных значениях |
г и определить его трудно. |
Обычно о величине деформационного упрочнения судят по итоговой (результативной) деформации за весь предшествующий процесс формоизменения. Однако это возможно только при усло вии монотонного протекания процесса.
Как известно, условий монотонности два. Если условие по стоянства вида тензора скорости деформаций (или вида деформиро ванного состояния) сравнительно легко поддается эксперимен тальной проверке, то проверка соблюдения условия совпадения главных осей скорости деформаций с одними и теми же материаль ными волокнами в течение всего процесса (либо исследуемой ста дии формоизменения) встречает, как отмечалось ранее, опреде ленные трудности.
Выясним, удовлетворяются ли условия монотонности при пла стическом кручении цилиндрического стержня. Для этого прежде всего необходимо определить направления главных осей и вели чину главных компонентов тензора скорости деформации.
При определении величины главных компонентов и направле ний главных осей любого, симметричного тензора второго ранга используется известная система уравнений, которая, примени тельно к тензору скорости деформации, примет вид:
(®* е„) сспх |
&ху(хП |
ъхг<хпг — 0; |
|
+ (êÿ- |
è„) апу+ |
е.угапг= |
0; |
"4“ ^yz^ny "H (®л |
e„) &пг = |
0, |
|