Курсовая работа (т): Сравнительная характеристика моделей Друде и Зоммерфельда

Сравнительная характеристика моделей Друде и Зоммерфельда

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Факультет радиотехники и электроники

Кафедра микро- и наноэлектроники

КУРСОВАЯ РАБОТА

Дисциплина: Физика конденсированного состояния

на тему: Сравнительная характеристика моделей Друде и Зоммерфельда

Студент: ФРЭ, 3 курс, гр. 243301

Федорук Платон Витальевич

Руководитель: доктор физико-

математических наук

Мигас Дмитрий Борисович

Минск, 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

. Модель Друде

.1 Основные предположения модели Друде

.1.1 Первое предположение

.1.2 Второе предположение

.1.3 Третье предположение

.1.4 Четвертое предположение

. Теория металлов Зоммерфельда

.1 Зомерфельдовская теория проводимости в металлах

.1.1 Средняя длина свободного пробега

.1.2 Теплопроводность

.1.3 Термо-Э.Д.С

.1.4 Другие свойства

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Введение

электрон металл друде зоммерфельд

Целый ряд свойств металла и полупроводников может быть изучен достаточно глубоко с использованием простейших моделей строения вещества.

К таким моделям относятся и две модели металлов: классическая теория металлов Друде и квантовомеханическая теория металлов Зоммерфельда. Слово "классическая" здесь использовано в том смысле, что в основе теории Друде лежит классическая (ньютоновская) механика.

.       
Модель Друде

В данной главе мы рассмотрим теорию проводимости металлов, предложенную Друде на заре нашего столетия. Успехи модели Друде были значительными; она и по настоящий день часто используется, поскольку позволяет быстро построить наглядную картину и получить грубые оценки характеристик, более точное определение которых могло бы потребовать сложного анализа. Однако модель Друде не могла объяснить некоторые эксперименты и, кроме того, приводила к ряду концептуальных трудностей, что и определило круг вопросов, с которыми теории металлов пришлось иметь дело в следующую четверть века. Они нашли свое разрешение лишь после создания сложной и тонкой квантовой теории твердого тела.

.1 Основные предположения модели Друде

В 1897 г. Томсон открыл электрон. Это открытие оказало громадное и непосредственное воздействие на теорию материи и позволило также объяснить проводимость металлов. Через три года после открытия Томсона Друде разработал свою теорию электро- и теплопроводности. При этом он рассматривал электроны в металле как электронный газ и применил к нему кинетическую теорию газов, оказавшуюся весьма плодотворной.

В кинетической теории, в ее самой простой форме, считают, что молекулы газа представляют собой одинаковые твердые сферы, которые движутся по прямым линиям до тех пор, пока не столкнутся друг с другом. Предполагается, что продолжительность отдельного столкновения пренебрежимо мала и что между молекулами не действует никаких иных сил, кроме возникающих в момент столкновения.

В простейших газах имеются лишь частицы одного сорта, в металлах же их должно быть по меньшей мере два: электроны заряжены отрицательно, а металл в целом электрически нейтрален. Друде предположил, что компенсирующий положительный заряд принадлежит гораздо более тяжелым частицам, которые он считал неподвижными. В то время, однако, еще не понимали точно, почему в металле имеются подобные легкие подвижные электроны и более тяжелые неподвижные положительно заряженные ионы. Решение этой проблемы стало одним из фундаментальных достижений современной квантовой теории твердого тела. При обсуждении модели Друде, однако, нам будет достаточно просто предположить (для многих металлов это предположение оправдано), что когда атомы металлического элемента объединяются, образуя металл, валентные электроны освобождаются и получают возможность свободно передвигаться по металлу, тогда как металлические ионы остаются неизменными и играют роль неподвижных положительных частиц теории Друде. Эта модель схематически изображена на рисунке 1.1. Каждый отдельный атом металлического элемента имеет ядро с зарядом , где  - атомный номер и е - величина заряда электрона (ед., . Вокруг ядра расположено  электронов с полным зарядом - . Некоторое число Z из них - это слабо связанные валентные электроны. Остающиеся  - Z электронов довольно сильно связаны с ядром; они играют меньшую роль в химических реакциях и носят название электронов атомного остова. Когда изолированные атомы объединяются, образуя металл, электроны атомного остова остаются связанными с ядрами, т. е. возникают металлические ионы. Валентные же электроны, наоборот, приобретают возможность далеко уходить от «родительских» атомов. В металлах эти электроны называют электронами проводимости.

К такому «газу», состоящему из электронов с массой m, которые (в отличие от молекул обычного газа) движутся на фоне тяжелых неподвижных ионов, Друде применил кинетическую теорию. Плотность электронного газа можно рассчитать следующим образом.

Рисунок 1.1. а - схематическое изображение изолированного атома (масштабы не соблюдены); б - в металле ядро и ионный остов сохраняют ту же конфигурацию, что и в изолированном атоме, а валентные электроны покидают атом и образуют электронный газ

Металлический элемент содержит  атомов на 1 моль (число Авогадро) и  молей на 1 , где  - массовая плотность (в граммах на 1 ), а А - относительная атомная масса. Поскольку вклад каждого атома равен Z электронов, число электронов на 1 , n = :

. (1.1)

На рисунке 1.1 приведены плотности электронов проводимости для некоторых металлов. Обычно они имеют порядок  электронов проводимости в 1  и изменяются от  для цезия до  для бериллия. В таблице 1.1 приведены также значения величины , широко применяемой как мера плотности электронов,  - радиус сферы, объем которой равен объему, приходящемуся на один электрон проводимости. Таким образом:

 а . (1.2)

В таблице 1.1 значения  даны как в ангстремах ( см), так и в единицах боровского радиуса ; последнюю длину, которая характеризует радиус атома водорода в основном состоянии, часто используют в качестве масштаба при измерении атомных расстояний. Заметим, что в большинстве случаев отношение  заключено между 2 и 3, хотя в щелочных металлах оно лежит между 3 и 6 (а в некоторых металлических соединениях может достигать 10).

Плотность газа электронов проводимости примерно в 1000 раз больше плотности классического газа при нормальных температуре и давлении. Несмотря на это и несмотря на наличие сильного электрон-электронного и электрон-ионного взаимодействия в модели Друде для рассмотрения электронного газа в металлах почти без изменений применяются методы кинетической теории нейтральных разреженных газов. Приведем основные предположения теории Друде.

Таблица 1.1. Электронные плотности некоторых металлических элементов согласно модели свободных электронов

1.1.1 Первое предположение

В интервале между столкновениями не учитывается взаимодействие электрона с другими электронами и ионами. Иными словами, принимается, что в отсутствие внешних электромагнитных полей каждый электрон движется с постоянной скоростью по прямой линии. Далее, считают, что в присутствии внешних полей электрон движется в соответствии с законами Ньютона; при этом учитывают влияние только этих полей, пренебрегая сложными дополнительными полями, порождаемыми другими электронами и ионами. Приближение, в котором пренебрегают электрон-электронным взаимодействием в промежутках между столкновениями, известно под названием приближения независимых электронов. Соответственно приближение, в котором пренебрегают электрон-ионным взаимодействием, называется приближением свободных электронов. В последующих главах мы обнаружим, что приближение независимых электронов оказывается неожиданно удачным во многих отношениях, тогда как от приближения свободных электронов приходится отказаться, даже если мы хотим достичь лишь качественного понимания поведения металлов.

1.1.2 Второе предположение

В модели Друде, как и в кинетической теории, столкновения - это мгновенные события, внезапно меняющие скорость электрона. Друде связывал их с тем, что электроны отскакивают от непроницаемых сердцевин ионов (а не считал их электрон-электронными столкновениями по аналогии с доминирующим механизмом столкновений в обычном газе). Позднее мы увидим, что при обычных условиях рассеяние электронов на электронах действительно является одним из наименее существенных механизмов рассеяния в металле. Однако простая механическая модель (рис. 1.2), согласно которой электрон отскакивает от иона к иону, весьма далека от действительности.

Рисунок 1.2. Траектория электрона проводимости, рассеивающегося на ионах, в соответствии с представлениями Друде.

К счастью, во многих задачах это не важно: для качественного (и даже количественного) понимания проводимости металлов достаточно просто предположить существование какого-то механизма рассеяния, не вдаваясь в подробности относительно того, каков именно этот механизм. Используя в своем анализе лишь несколько общих свойств процесса столкновения, мы можем не связывать себя конкретной картиной столкновений. Эти общие характерные черты описываются следующими двумя предположениями.

.1.3   Третье предположение

Будем предполагать, что за единицу времени электрон испытывает столкновение (т. е. внезапное изменение скорости) с вероятностью, равной . Имеется в виду, что для электрона вероятность испытать столкновение в течение бесконечно малого промежутка времени dt равна просто . Время τ называют временем релаксации, или временем свободного пробега; оно играет фундаментальную роль в теории проводимости металлов. Из этого предположения следует, что электрон, выбранный наугад в настоящий момент времени, будет двигаться в среднем в течение времени τ до его следующего столкновения и уже двигался в среднем в течение времени τ с момента предыдущего столкновения. В простейших приложениях модели Друде считают, что время релаксации не зависит от пространственного положения электрона и его скорости.

1.1.4 Четвертое предположение

Предполагается, что электроны приходят в состояние теплового равновесия со своим окружением исключительно благодаря столкновениям. Считается, что столкновения поддерживают локальное термодинамическое равновесие чрезвычайно простым способом: скорость электрона сразу же после столкновения не связана с его скоростью до столкновения, а направлена случайным образом, причем ее величина соответствует той температуре, которая превалирует в области, где происходило столкновение. Поэтому чем более горячей является область, где происходит столкновение, тем большей скоростью обладает электрон после столкновения.

        
Теория металлов Зоммерфельда

Во времена Друде и затем в течение многих лет вполне разумным казалось предположение, что распределение электронов по скоростям совпадает с распределением в обычном классическом газе с плотностью  описывается в состоянии равновесия при температуре T формулой Максвелла - Больцмана. При таком предположении число электронов в единице объема, скорости которых лежат в интервале dV центром в V, равно , где:

. (2.1)

Подобное предположение в сочетании с моделью Друде приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с законом Видемана -Франца; вместе с тем из него следует также, что электроны должны давать большой вклад в теплоемкость металла, равный 3/2 на один электрон. Такой вклад обнаружен не был.