Курсовая работа (т): Сравнительная характеристика моделей Друде и Зоммерфельда

В течение четверти века этот парадокс вызывал сомнения в справедливости модели Друде, которые рассеялись лишь после создания квантовой теории и признания того факта, что для электронов в силу принципа запрета Паули распределение Максвелла - Больцмана должно быть заменено распределением Ферми - Дирака:

 (2.2)

Здесь  - постоянная Планка, деленная на 2, а  - температура, определяемая из условия нормировки:

 , (2.3)

и равная обычно десяткам тысяч градусов. При интересующих нас температурах (ниже К) и при электронных плотностях, типичных для металла, распределение Ферми - Дирака чрезвычайно сильно отличается от распределения Максвелла - Больцмана (рис. 2.1).

Для простоты изложения мы сначала рассмотрим свойства электронного газа в основном состоянии (т. е. при T = 0), а затем уже перейдем к изучению отличных от нуля температур. Оказывается, что такие свойства имеют большой самостоятельный интерес: мы увидим, что для электронного газа с плотностью, типичной для металлов, комнатная температура фактически является очень низкой и поэтому во многих случаях можно считать, что T = 0. Благодаря этому многие (хотя и не все) параметры, характеризующие электронные свойства металлов, имеют даже при комнатной температуре практически ту же самую величину, что и при T = 0.

Рисунок 2.1. а - распределения Максвелла - Больцмана и Ферми - Дирака при типичных металлических плотностях и комнатной температуре. б - те же распределения в интервале в интервале от х=0 до х=10, построенные в другом масштабе.

2.1 Зоммерфельдовская теория проводимости в металлах

Чтобы найти распределение по скоростям для электронов в металле, рассмотрим малый элемент объема dk около точки k в k-пространстве. С учетом двукратного спинового вырождения число одноэлектронных уровней в этом элементе объема равно:

 (2.4)

Вероятность заполнения каждого уровня есть , поэтому полное число электронов в элементе объема k-пространства равно:

. (2.5)

Поскольку скорость свободного электрона с волновым вектором к есть , число электронов в элементе объема dV вблизи V совпадает с числом электронов в объеме  около точки . Следовательно, полное число электронов в расчете на единицу объема в реальном пространстве, содержащееся в элементе пространства скоростей dV вблизи V, равно:

, (2.6)

. (2.7)

Зоммерфельд заново рассмотрел модель Друде, заменив всюду классическое распределение по скоростям Максвелла - Больцмана (2.1) распределением Ферми - Дирака (2.7). Использование квантового распределения по скоростям в классической во всех других отношениях теории требует определенного обоснования. Классическое описание движения электрона возможно в том случае, когда его координата и импульс могут быть измерены с необходимой точностью без нарушения принципа неопределенности.

Типичный электрон в металле имеет импульс порядка , поэтому, чтобы классическое описание было хорошим, неопределенность импульса электрона  должна быть малой по сравнению с . Поскольку , неопределенность координаты должна удовлетворять соотношению:

, (2.8)

где в соответствии с (1.2)  имеет порядок среднего расстояния между электронами, т.е. составляет несколько ангстремов. Поэтому классическое описание невозможно, если приходится рассматривать электроны, которые локализованы на расстояниях порядка межатомных (также равных нескольким ангстремам). Однако электроны проводимости в металле не привязаны к конкретным ионам, а свободно передвигаются по объему металла. В макроскопических образцах в большинстве случаев нет необходимости задавать их координаты с точностью до см. В модели Друде знание координат электрона существенно в следующих двух отношениях:

. Когда к металлу приложено переменное электромагнитное поле или же градиент температуры, мы должны быть в состоянии указать координаты электрона с точностью до расстояний, малых по сравнению с характерным масштабом λ, на котором изменяется поле или градиент температуры. В большинстве практических случаев приложенные поля и градиенты температуры не меняются существенно на расстояниях порядка ангстрема, поэтому достижение требуемой точности при измерении координаты электрона не приводит к недопустимо большой неопределенности в его импульсе. Например, электрическое поле световой волны видимого диапазона существенно меняется лишь на длине около Ǻ. Однако когда длина волны имеет гораздо меньшую величину (как, например, у рентгеновских лучей), то для описания движения электронов, вызванного таким полем, необходимо использовать квантовую механику.

. В модели Друде неявным образом предполагается также, что электрон можно локализовать на расстояниях, гораздо меньших длины свободного пробега l; ввиду этого не следует доверять таким классическим рассуждениям, в которых длина свободного пробега гораздо меньше 10 Ǻ. К счастью, оказывается, что в металлах при комнатной температуре длина свободного пробега порядка 100 Ǻ и возрастает с понижением температуры.

Таким образом, существует широкий класс явлений, когда поведение отдельного электрона в металле хорошо описывается классической механикой. Тем не менее далеко не очевидно, что поведение N таких электронов также можно описать классически. Действительно, если принцип Паули так сильно влияет на статистику N электронов, то почему бы ему не оказывать столь же глубокого влияния на их динамику? На самом деле это не так, что видно из следующей элементарной теоремы, приводимой мною без доказательства.

Рассмотрим систему из N электронов, не взаимодействующих друг с другом и подвергающихся воздействию произвольного электромагнитного поля, зависящего как от пространственных координат, так и от времени. Пусть в нулевой момент времени путем заполнения каких-то N одноэлектронных уровней  образовано некоторое N-электронное состояние. Пусть  есть тот уровень, в который за время t под воздействием электромагнитного поля превратился бы уровень , если бы имелся всего один электрон, находившийся в нулевой момент времени на уровне . Тогда в момент времени t соответствующее N-электронное состояние будет образовано заполнением N одноэлектронных уровней .

Следовательно, чтобы полностью определить динамическое поведение системы из N невзаимодействующих электронов, достаточно рассмотреть N независимых одноэлектронных задач. В частности, если классическое приближение справедливо для каждой из этих одноэлектронных задач, то оно справедливо и для всей N-электронной системы.

Использование статистики Ферми - Дирака влияет лишь на те предсказания модели Друде, для получения которых необходимо знать распределение электронов по скоростям. Если величина , характеризующая частоту столкновений электрона, не зависит от его энергии, то изменение равновесной функции распределения влияет лишь на вычисление длины свободного пробега электрона, а также на расчет теплопроводности и термоэлектродвижущей силы.

2.1.1 Средняя длина свободного пробега

Используя в качестве типичной скорости электрона можно оценить среднюю длину свободного пробега :

. (2.9)

Удельное сопротивление  при комнатной температуре составляет от 1 до 100 мкОм×см, а величина  обычно лежит в пределах от 2 до 6; следовательно, даже при комнатной температуре средняя длина свободного пробега может быть порядка сотни ангстремов.

2.1.2
Tеплопроводностъ

Для оценки теплопроводности воспользуемся следующей формулой:

. (2.10)

Правильная величина удельной теплоемкости меньше полученного Друде классического значения, отличаясь от нее множителем порядка ; для правильной оценки величины  следует взять не средний квадрат классической тепловой скорости, имеющий порядок , а значение , превышающее классическую величину в  раз. Подставляя все эти величины в (2.10) и выражая время релаксации через проводимость, находим:

. (2.11)

Это значение числа Лоренца очень близко к полученному Друде, который сделал две компенсирующие друг друга ошибки, опустив в числителе и знаменателе множитель ; оно находится в превосходном согласии с экспериментальными значениями числа Лоренца.

2.1.3 Термо-Э.Д.С.

Как мы видели, теория Друде приводит к слишком большому значению дифференциальной термо-Э.Д.С. Это значение также можно уточнить, воспользовавшись статистикой Ферми - Дирака. Подставляя удельную теплоемкость в выражение:

, (2.12)

; (2.13)

последняя величина меньше оценки Друде (), отличаясь от нее множителем О () ~ 0,01 при комнатной температуре.

2.1.4 Другие свойства

Поскольку конкретный вид распределения электронов по скоростям не играет никакой роли при расчете статической и высокочастотной проводимости, коэффициента Холла и магнетосопротивления, их значениям остаются неизменными независимо от того, используется ли статистика Максвелла - Больцмана или статистика Ферми - Дирака. Однако эти выводы несправедливы, если время релаксации зависит от энергии. Например, если предположить, что электроны сталкиваются с неподвижными рассеивающими центрами, то тогда естественно считать, что длина свободного пробега не зависит от энергии, поэтому время релаксации оказывается зависящим от энергии: . Вскоре после того, как Друде предложил описывать металл моделью электронного газа, Лоренц воспользовался классическим распределением скоростей Максвелла - Больцмана и показал, что если время релаксации зависит от энергии, что это должно приводить к температурной зависимости статической и высокочастотной проводимостей, а также к отличному от нуля магнетосопротивлению и к коэффициенту Холла, который оказывается зависящим от поля и от температуры. Поскольку для металлов неприменимо классическое распределение по скоростям, ни одна из таких поправок, как и следовало ожидать, не смогла устранить глубокие расхождения между выводами модели Друде и экспериментальными фактами, относящимися к металлам. Более того, при использовании правильного распределения по скоростям (т. е. распределения Ферми - Дирака) учет зависимости времени релаксации от энергии не оказывает существенного влияния на большинство интересующих нас свойств металлов. При расчете статической и высокочастотной проводимостей, магнетосопротивления и коэффициента Холла результаты, получаемые в предположении зависящего от энергии времени релаксации , совпадают с результатами, полученными в предположении о , не зависящем от энергии и равном . В металлах эти величины почти полностью определяются тем, как рассеиваются электроны находящиеся вблизи уровня Ферми. В этом состоит еще одно важное следствие принципа запрета Паули.