Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»

Е.В. Сумин, В.Б. Шерстюков, О.В. Шерстюкова

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, краевые задачи и методы их решения

Учебно-методическое пособие

Москва 2016

УДК 517.968(07)+517.954(07) ББК 22.161.6я7 С89

Сумин Е.В., Шерстюков В.Б., Шерстюкова О.В. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, краевые задачи и методы их решения: Учебно-

методическое пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2016. – 96 с.

Настоящее издание является учебно-методическим пособием по курсу интегральных уравнений, читаемому студентам 2-го курса НИЯУ МИФИ. В пособии рассмотрены методы решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра, краевой задачи Штурма–Лиувилля и разобраны типовые примеры. В конце пособия приведены задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

Пособие будет полезно аспирантам и преподавателям при проведении практических занятий.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. НИЯУ МИФИ А.С. Леонов

ISBN 978-5-7262-2282-0	© Национальный исследовательский
	ядерный университет «МИФИ», 2016

Глава 1. Интегральные уравнения Фредгольма

§ 1. Уравнения Фредгольма. Основные понятия и определения

Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.

Линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода на-

зывается уравнение вида

y(x) −λ∫b K (x, t) y(t) dt = f (x),	(1.1)
a

где y(x) – искомая функция; K (x, t) и f (x) – известные функции, заданные на основном квадрате [a, b]×[a, b] и отрезке [a, b] соот-

ветственно; λ – числовой параметр. Функция K (x, t) называется

ядром интегрального уравнения, а f (x) – свободным членом этого

уравнения. Если	f (x) 0,	то уравнение (1.1)	называется неодно-
родным, если же	f (x) ≡ 0,	то данное уравнение называется одно-
родным.
Интегральное уравнение вида
	∫b K (x, t) y(t) dt = f (x),		(1.2)
	a

не содержащее искомой функции y(x) вне интеграла, называется

линейным интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода.

Линейные интегральные уравнения

z(x) −λ∫b K (t, x) z(t) dt = g(x),

(1.3)

∫b K (t, x) z(t) dt = g(x)	(1.4)
a

называются союзными (сопряженными) к уравнениям Фредгольма

2-го рода (1.1) и 1-го рода (1.2) соответственно, если функции K (x, t) , f (x) , g(x) и параметр λ – вещественные.

Решением любого из интегральных уравнений (1.1)–(1.4) называется непрерывная на отрезке [a, b] функция, которая при подста-

новке ее в это уравнение обращает последнее в тождество.

§ 2. Метод последовательных приближений

Если в уравнении Фредгольма (1.1) числовой параметр λ удовлетворяет условию

		1		b b
λ	<		,	где B2 = ∫∫	K (x, t)	2 dx dt,	(2.1)

		B
				a a

то уравнение имеет единственное решение при любой непрерывной функции (свободном члене) f (x). В этом случае оно может

быть найдено методом последовательных приближений. Выбирая произвольным образом нулевое приближение y0 (x), можно по-

строить последовательность функций {yn (x)} с помощью рекуррентной формулы

yn (x) = f (x) + λ∫b K (x, t) yn−1 (t) dt.	(2.2)
a

Функции yn (x) (n = 1, 2, …) рассматриваются как приближения к искомому решению уравнения. Данная последовательность {yn (x)} сходится равномерно на [a, b] к точному решению, т.е.

y(x) = lim yn (x).

n→∞

Пример 2.1. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

y(x) = 1 ∫1 y(t) dt +sin πx. 2 0

Решение. Отметим, что в данном уравнении

	λ =		1	,		K (x, t) =1.
	λ =		2	,		K (x, t) =1.
			2
Тогда
1	1				2	1	1
B2 = ∫∫		K (x, t)				dx dt = ∫∫dx dt =1,


0	0					0	0

и условие λ < B1 выполнено. В качестве нулевого приближения возьмем свободный член f (x) данного уравнения, т.е.

y0 (x) = f (x) =sin πx.

Строим последовательность функций {yn (x)} по рекуррентной формуле (2.2):

												1	1
												2	∫0
		y (x)				=	f (x) +							K(x, t) y (t) dt							=
		1											0
		= sin πx +						1	∫1 sin πt dt = sin πx +										1		,
		= sin πx +							∫1 sin πt dt = sin πx +										π		,
							2		0										π
												1	1
												2	∫0
		y	2	(x)		=	f (x) +							K(x, t) y (t) dt							=
			2														1
					1 1									1						1			1
= sin πx +						∫0	sin πt +									dt = sin πx +						+		,
= sin πx +					2		sin πt +									dt = sin πx +				π		+	2π	,
					2									π						π			2π
												1	1
												2	∫0
		y (x)				=	f (x) +							K (x, t) y			2	(t) dt			=
		3															2
	1	1							1				1							1			1		1
= sin πx +		∫0		sin πt +						+					dt =sin πx +							+		+		,
= sin πx +	2	∫0		sin πt +					π	+			2π		dt =sin πx +					π		+	2π	+	4π	,
													…,
											1		1
	yn (x) =						f (x) +						∫0
											2		∫0
														K (x, t) yn−1 (t) dt =

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "