Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	1		1		1			1			1	n−1	1
= sin πx +		+		+		+... +				= sin πx +		∑		.
	π		2π		2		2	n−1	π				k
					2 π						π k =0		2

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

		1	n−1	1			2
y(x) = lim yn	(x) = lim sin πx +		∑			=sin πx +		.
				2	k		π
n→∞	n→∞	π k =0

Пример 2.2. Решить методом последовательных приближений интегральное уравнение

y(x) =	5	x +	1	∫1 xt y(t) dt.
	6		2
				0

Решение. Отметим, что в данном уравнении λ = 12 , K (x, t) = xt.

Тогда


1	1	1			1	1
B2 = ∫∫			K (x, t)	2 dx dt = ∫∫x2t2 dx dt =			,

						9

0	0	0			0

и условие λ < B1 выполнено.

Решим данное интегральное уравнение двумя способами: 1) в качестве нулевого приближения выберем свободный член уравне-

ния, т.е. y0 (x) = f (x) ; 2) произвольным образом выберем нулевое

приближение y0 (x) .

1-й способ. В качестве нулевого приближения возьмем свободный член f (x) данного уравнения, т.е. y0 (x) = f (x) = 56 x . Строим по формуле (2.2) последовательность функций {yn (x)} :

								1	1
								2	∫0
				y (x)	=	f (x) +			K(x, t) y (t) dt =
				1								0
	5		1	1	5		5			5		35		5			1
=		x +		xt		t dt =		x +			x =		x =		x 1	+		,
=	6	x +		xt	6	t dt =	6	x +		36	x =	36	x =	6	x 1	+		,
	6		2 ∫0		6		6			36		36		6			6

																				1				1
								y	2	(x) = f (x) +										2					∫0	K(x, t) y (t) dt												=
								y		(x) = f (x) +																K(x, t) y (t) dt												=
																															1
	5		1 1							35						5									35x				215							5							1			1
=		x +			∫0			xt				t dt =						x		+								=				x		=				x	1		+				+		,
=	6	x +	2					xt		36		t dt =				6		x		+				216				=	216			x		=		6		x	1		+		6		+		,
	6		2							36						6								216					216							6							6			36
y (x) = f (x) +											1 1		K(x, t) y (t) dt =																	5	x		+			1 1		xt			215				t dt =

											2 ∫0																									2 ∫0
	3																				2									6											216
																														6											216
				5					215x					1295x												5					1					1				1
		=					x +						=										=				x 1			+			+					+							,
		=		6			x +		1296				=	1296									=			6	x 1			+	6		+			36		+	216						,
				6					1296					1296												6					6					36			216
																						…,
																			1					1
								yn (x) =					f (x) +										∫0				(x, t) yn−1							(t) dt =
																			2				∫0
																									K
						5						1		1						1									1						5			n			1
			=					x 1 +					+				+							+... +							=					x	∑							.
			=			6		x 1 +				6	+	6	2		+		6		3			+... +					6	n	=				6	x	∑			6		k		.
						6						6		6					6										6						6		k =0			6

Отсюда точное решение y(x) определяется как предел

	5		n	1			5	6
y(x) = lim yn	(x) = lim		x ∑			=		x	= x .
		6		6	k		6
n→∞	n→∞		k =0					5

2-й способ. Выбираем произвольным образом нулевое приближение, например y0 (x) = x2 . Строим по формуле (2.2) последовательность функций {yn (x)} :

												1	1
												2	∫0
				y (x) =				f (x) +					K(x, t) y (t) dt												=
				1													0
						5		1	1					5					1			23x
				=		5	x +	1	∫xt3 dt =					5		x +			1	x =		23x				,
				=			x +		∫xt3 dt =							x +				x =						,
						6		2	0					6			8					24
												1	1
												2	∫0
				y	2	(x) =		f (x) +					K(x, t) y (t) dt												=
					2												1
	5		1	1	23					5			23					143					5				1		5
=	5	x +	1	∫xt	23		t dt =			5	x +		23		x =			143			x =		5	x +			1	x +	5	x ,
=		x +		∫xt			t dt =				x +				x =						x =			x +				x +		x ,
	6		2	0	24				6			144					144					6					8		144

																									1		1
																									2	∫0
											y (x) =								f (x) +								K (x, t) y								2		(t) dt						=
												3																							2
	5		1		1			143									5					143							863								5					1					5					5
=	5	x +	1		∫xt			143				t dt =					5		x +			143				x =			863				x =				5		x +			1		x +			5		x +			5	x ,
=		x +			∫xt							t dt =							x +							x =							x =						x +					x +					x +				x ,
	6		2		0		144									6					864							864									6				8						144					864
																										…,
																								1		1
											yn (x) =							f (x) +								∫0		(x, t) yn−1 (t) dt =
																								2		∫0
																											K
						=			5	x +				1	x +				5		x +					5		x +... +													5					x =
						=	6			x +			8		x +			144			x +				864			x +... +							144 6n−2											x =
							6						8					144							864										144 6n−2
				23x			5									1				1										1						23							5					n−2	1
	=					+						x	1+						+				+... +											=						x +							x ∑				.
	=		24			+	144					x	1+			6			+	6	2		+... +					6		n−2				=		24				x +			144				x ∑		6	k	.
			24				144									6				6								6								24							144					k =0	6
	Отсюда точное решение y(x)																										определяется как предел
																											23							5							n−2			1
						y(x) = lim yn (x) = lim																									x	+						x			∑						=
						y(x) = lim yn (x) = lim																									x	+		144				x			∑		6		k		=
												n→∞											n→∞				24							144							k =0		6

=2423 x +1445 x 65 = 2423 x + 241 x = x .

§3. Итерированные ядра. Построение резольвенты уравнения Фредгольма

спомощью итерированных ядер. Решение уравнений с помощью резольвенты

Если в методе последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма (1.1) выбрать y0 (x) = f (x) , то для n-го приближения можно получить формулу

	n	b
yn (x) = f (x) + ∑ λm+1		∫Km (x, t) f (t) dt =
	m=0	a
b	n
= f (x) + λ ∫	∑λm Km (x, t) f (t) dt .		(3.1)
a	m=0

В формуле (3.1) функции Km (x, t) , называемые итерированными ядрами, определяются следующими соотношениями:

K0 (x, t) = K (x, t) ,

K1 (x, t) = ∫K (x, s) K0 (s, t) ds ,

a
b
K2 (x, t) = ∫K (x, s) K1 (s, t) ds ,	(3.2)

…,

Km (x, t) = ∫K (x, s) Km−1 (s, t) ds ,

m = 1, 2, 3, …

Резольвента интегрального уравнения (1.1) (или резольвента ядра K (x, t) ) определяется формулой

∞
R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) .	(3.3)
m=0
Ряд, стоящий в правой части формулы (3.3),	получается, если

n → ∞ под знаком интеграла в формуле (3.1). Этот ряд, называемый рядом Неймана ядра K (x, t) , сходится при выполнении усло-

вия (2.1). В этом случае решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (1.1) может быть найдено по формуле

b
y(x) = f (x) + λ ∫R(x, t, λ) f (t) dt .	(3.4)

Отметим, что граница (2.1) является существенной для сходимости ряда (3.3). Однако область сходимости данного ряда может оказаться шире, и решение уравнения (1.1) может существовать и для

значений λ > B1 .

Пример 3.1. Построить резольвенту для интегрального уравнения

y(x) = λ ∫sin(x −t) y(t) dt + f (x) .

Решение. Согласно (3.2) запишем последовательность итерированных ядер

K0 (x, t) =sin (x −t) ,

K1 (x, t) = ∫K (x, s) K0 (s, t) ds =

= ∫sin (x − s) sin (s −t) ds = − π cos (x −t) ,

K2 (x, t) = ∫K (x, s) K1 (s, t) ds =

= −

π2

sin (x −t) ,

∫sin (x − s) cos (s −t) ds = −

…

Очевидно, что

K2m (x, t) =

(−1)

π 2m

sin (x −t) ,

K2m−1 (x, t) = (−1)

π 2m−1

cos (x −t) ,

m = 1, 2, …

Получаем

∞

R(x, t, λ) = ∑ λm Km (x, t) = K0 (x, t) +

m=0

+λK (x, t) + λ2 K

(x, t) +... =

=sin (x −t) −

λπ

cos (x −t) −

λ2 π2

sin (x −t) +... =

λπ

−

= sin (x −t) 1 −

... −

−

λπ

λπ 2

λπ

cos (x −t) 1 −

−... .

Источник: https://studfile.net/preview/16708714/

Смотрите также:



_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Их невинная наложница "