Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016
Воспользуемся свойством 4 функции Грина, а именно тем, что она должна удовлетворять краевым условиям
G(0, ξ) =Gx′(1, ξ);Gx′(0, ξ) =G(1, ξ).
Тогда
a2 =b1;a1 = b1 +b2 .
Так как ck =bk −ak (k = 1, 2), то получаем систему уравнений
b1 −a1 =1;
b2 −a2 = −ξ;
a2 =b1;
a1 =b1 +b2 ,
откуда
b1 −a1 =1;
2b1 −a1 =ξ, т.е. a1 = ξ−2 , b1 =ξ−1, a2 =ξ−1, b2 = −1,
(ξ−2)x +ξ−1, 0 ≤ x ≤ ξ;
G(x, ξ) = (ξ−1)x −1, ξ ≤ x ≤1.
Пользуясь функцией Грина как ядром интегрального уравнения, запишем следующее интегральное уравнение
|
|
y(x) +λ ∫1 |
G(x, ξ) y(ξ) dξ = f (x) , |
|
|||
где |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ∫1 |
G(x, ξ) h(ξ) dξ = ∫x |
[(ξ−1) x −1] (2ξ+1) dξ+ |
|||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
+∫1 |
[(ξ−2) x +ξ−1] (2ξ+1) dξ = |
1 |
(2x3 +3x2 |
−17x −5) . |
|||
|
|||||||
x |
|
|
|
6 |
|
|
|
Итак, краевая задача (16.10) свелась к интегральному уравнению
y(x) +λ ∫1 |
G(x, ξ) y(ξ) dξ = |
1 |
(2x3 +3x2 |
−17x −5) . |
|
6 |
|||||
0 |
|
|
|
86
Задачи для самостоятельного решения
Интегральные уравнения Фредгольма
Решить методом последовательных приближений следующие интегральные уравнения.
1. y(x) = ∫1 xex−t y(t) dt + ex .
0
2. y(x) = 1 ∫π t sin x y(t) dt +cos x . 2π 0
Построить резольвенту для интегрального уравнения.
3. y(x) =λ ∫1 xet y(t) dt + f (x) .
−1
Решить методом итерированных ядер следующие интегральные уравнения.
4. |
y(x) =λ ∫1 |
xty(t) dt + 1 − x2 , λ = 6 . |
|
0 |
|
5. |
y(x) =λ π∫/2 |
x sin t y(t) dt +sin x , λ = 4 . |
|
0 |
|
Решить следующие интегральные уравнения с вырожденными ядрами.
6. |
y(x) = ∫π |
tg x cost y(t) dt +cos x . |
|||
|
0 |
|
|
|
|
7. |
y(x) = −2 ∫1 |
(3xt −1) y(t) dt + x2 . |
|||
|
|
0 |
|
||
8. |
y(x) = ∫e |
x |
|
y(t) dt + 2ln x . |
|
t |
|||||
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
87 |
|
Найти характеристические числа и собственные функции следующих интегральных уравнений с вырожденными ядрами.
9. y(x) =λ ∫1 |
(1− x2 ) y(t) dt . |
||
|
0 |
|
|
10. |
y(x) =λ ∫1 |
(xch t −t ch x) y(t) dt . |
|
|
|
−1 |
|
11. |
y(x) =λ ∫1 |
(cos 2πx + 2xsin 2πt +t sin πx) y(t) dt . |
|
|
|
0 |
|
Найти характеристические числа и собственные функции следующих интегральных уравнений с симметричными ядрами.
12. |
y(x) =λ ∫π |
K (x, t) y(t) dt , где |
|
|
−π |
|
|
|
|
sin x sin (t −1), |
−π≤ x ≤ t; |
|
K (x, t) = |
t ≤ x ≤ π. |
|
|
|
sin t sin (x −1), |
|
13. |
y(x) =λ ∫1 |
K (x, t) y(t) dt + x , где |
|
|
0 |
|
|
x (t −1), 0 ≤ x ≤ t;
K (x, t) =
t (x −1), t ≤ x ≤1.
Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра λ следующие интегральные уравнения.
14. |
y(x) =λ ∫1 |
xet |
y(t) dt + x . |
|
|
|
||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π 1 |
|
1 |
|
|
||
15. |
y(x) = λ |
∫0 |
|
|
cos xcost + |
|
sin 2xsin 2t |
y(t) dt +sin x . |
|
|
|||||||
|
|
π |
|
π |
|
|
||
Интегральные уравнения Вольтерра
Решить методом последовательных приближений следующие интегральные уравнения.
16. y(x) = ∫x (x −t) y(t) dt + x .
0
88
17. y(x) = ∫x |
y(t) |
dt +1 . |
|
x +t |
|||
0 |
|
Решить следующие интегральные уравнения путем сведения их
кдифференциальным уравнениям.
18.y(x) = 2sh x +1− ∫x (x −t) y(t) dt .
|
0 |
|
19. y(x) = ∫x |
x |
y(t) dt + x2 . |
2 |
||
1 |
t |
|
Построить резольвенту для интегрального уравнения.
20. y(x) =λ ∫x |
ch x |
y(t) dt + f (x) . |
|
ch t |
|||
0 |
|
Решить методом итерированных ядер следующие интегральные уравнения.
21. |
y(x) = −∫x |
3x−t |
y(t) dt + x |
3x . |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
22. |
y(x) = ∫ |
1 |
+ x |
|
y(t) dt +1 |
+ x2 . |
|
2 |
|
||||
|
0 1 +t |
|
|
|
||
Решить следующие интегральные уравнения с вырожденным ядром.
23. |
y(x) = ∫x |
x cos x |
y(t) dt +cos x ex . |
||
t cost |
|||||
|
1 |
|
|||
|
x |
2 |
|
|
|
24. |
y(x) = ∫ |
x |
y(t) dt + x3 cos x . |
||
3 |
|||||
|
π |
t |
|
||
Решить интегральные и интегро-дифференциальные уравнения с помощью преобразования Лапласа.
25. y(x) = ∫x |
ex−t y(t) dt + e2 x −2 . |
0 |
|
26. y(x) = −5 ∫x sh (x −t) y(t) dt +ch x + 4 .
0
89
27. |
y′(x) = ∫x |
cos (x −t) y(t) dt + x , |
y(0) =1. |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
28. |
′′ |
′ |
x |
′ |
= cos x , |
′ |
=0 . |
|
|||||||
y (x) + 2 y (x) −2 |
∫ sin (x −t) y (t) dt |
y(0) = y (0) |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
Установить, существуют ли функции Грина для данных краевых задач, и если существуют, то построить их.
y′′′ = 0;
y(0) = y′(1) = 0, y′(0) = y(1). y′′+ y′= 0;
y(0) = y(1), y′(0) = y′(1).
Используя функцию Грина, решить следующие краевые задачи.
y′′+ π2 y = cos πx;
y(0) = y(1), y′(0) = y′(1). y′′+ y = x2 ;
y(0) = y π = 0.
2
Свести краевые задачи к интегральным уравнениям.
33.y′′= λy +ex ;
y(0) = y(1) =0.
|
|
π |
2 |
|
πx |
|
34. |
y′′+ |
|
y = λy +cos |
; |
||
|
4 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
′ |
|
′ |
|
y (−1) = y(1), y (−1) |
= y (1). |
||||
90