Материал: Тема 15

Решение:

1. Определяем коэффициент динамичности:

.

Рис.15.6

2. Определяем динамическое усилие в тросе:

кН.

3. Вычисляем динамическое напряжение в тросе:

МПа.

4. Расчетная схема балок приведена на рис.15.6,б. Максимальный изгибающий момент в балках от веса лебедки , динамического усилия в тросе и собственного веса балок:

кНм,

где кН/м – вес одного метра швеллера №20.

4. Определяем максимальные нормальные напряжения в балках:

МПа.

Пример 15.3. Чугунный стержнень круглого поперечного сечения, несущий на свободном конце груз (Рис.15.7), вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью с^-1. Определить величину груза , при котором произойдет разрушение стержня, если предел прочности чугуна при растяжении равен МПа, о объемный вес кН/м³.

Рис.15.7

Решение:

1. Вычислим суммарную инерционную силу, вызванную вращением груза и стержня:

.

2. Полное динамическое усилие в стержне:

.

3. Условие разрушения стержня имеет вид:

.

4. Разрушающее значение силы равно:

Н.

Пример 15.4. Наибольшая безопасная окружная скорость для чугунных маховиков принимается равной м/с. Пренебрегая влиянием спиц и считая удельный вес чугуна кН/м³, определить наибольшее растягивающее напряжение в ободе маховика при указанной окружной скорости.

Решение:

Наибольшее растягивающее напряжение в ободе маховика определим из формулы:

МПа.

Пример 15.5. Скорость вращения чугунного маховика за время секунды равномерно изменяется с об/мин до об/мин. Обод маховика весит кН, радиус инерции его равен см. Определить величину крутящего момента и наибольшего касательного напряжения , возникающего вследствие этого изменения скорости вала, на который насажен маховик, если диаметр вала равен мм.

Решение:

1. Определяем величину ускорения вращения вала:

с ^-1.

2. Определяем величину крутящего момента, возникающего вследствие изменения скорости вала:

кНм.

3. Определяем максимальные касательные напряжения, возникающие в вале:

МПа.

Пример 15.6. На вал диаметром мм насажен маховик с моментом инерции Нмс². Скорость вращения вала равна об/мин. Внезапно начинает действовать тормоз, останавливающий маховик через оборотов. Вал с маховиком отключаются от двигателя до пуска в ход тормоза. Определить величину наибольшего касательного напряжения в вале. Трением в подшипниках пренебречь.

Решение:

1. Определяем ускорение, возникшее в результате торможения:

1/мин².

2. Определяем время до остановки:

об.

Откуда:

мин = 6 с.

3. Определяем величину крутящего момента:

кНм.

4. Вычисляем максимальные касательные напряжения в вале:

МПа.

Пример 15.7. Кожаный ремень шириной см и толщиной мм перекинут через шкив диаметром м и передает мощность л.с. Шкив вращается с постоянной скоростью и делает об/мин. Вес 1см³ ремня равен 10Н ( кН/м³). Определить напряжения в ремне без учета и с учетом возникающих в нем сил инерции, если отношение усилий в набегающей и сбегающей ветвях ремня равно .

Решение:

1. Определяем величину внешнего момента, который передает вал при вращении:

кНм.

2. Крутящий момент, действующий в вале, равен по величине внешнему и складывается из моментов, которые создают усилия в ветвях ремня:

кНм,

откуда

кН.

Натяжение в набегающей ветви без учета сил инерции будет в 2,5 раза больше: кН

3. Напряжение в набегающей ветви ремня без учета влияния сил инерции найдем, разделив усилие в ней на площадь поперечного сечения:

МПа.

4. При учете сил инерции, возникающих в ремне, усилия в ветвях ремня увеличатся на величину:

.

Дополнительные напряжения от влияния сил инерции составят:

МПа.

Суммарные напряжения в ремне будут равны:

МПа.

Пример 15.8. Груз весом Н вращается с постоянной угловой скоростью с^–1 в горизонтальной плоскости, удерживаемый стальной пружиной, имеющей до деформации длину см (Рис.15.8). Найти удлинение пружины и наибольшее касательное напряжение в ней, если она имеет витков при среднем радиусе витке см и радиусе проволоки мм. Трением груза о гризонтальную плоскость пренебречь.

Рис.15.8

Решение:

1. Определяем динамическую силу, возникающую в пружине при вращении:

, (а)

где  масса груза;  удлинение пружины, вызванное силой инерции;  модуль сдвига.

Из уравнения (а) динамическая сила равна:

Н.

2. Вычисляем удлинение пружины :

м.

3. Определяем максимальные касательные напряжения, возникающие в пружине:

МПа.

Пример 15.9. Валик и жестко связанный с ним ломаный стержень того же поперечного сечения вращаются с постоянной угловой скоростью вокруг оси АВ (Рис.15.9). Диаметр валика мм. Определить допускаемое число оборотов валика в минуту при допускаемом напряжении МПа и удельным весом материала кН/м³. Длина участка ломаного стержня м.

Рис.15.9

Решение:

1. Составим расчетную схему (Рис.15.9,б). Для этого приложим к элементу DK распределенную нагрузку интенсивности , вызванную вращением валика вокруг оси , а также равнодействующую сил инерции , возникающую в вертикальном стержне CD. Для удобства расчетов выразим равнодействующую сил инерции через интенсивность распределенной нагрузки .

2. Найдем опорные реакции в сечениях А и В. Для этого составим два уравнения равновесия в общем виде:

;

.

Решая эти уравнения относительно опорных реакций, находим:

; .

3. Разбиваем раму, изображенную на рис.15.9,б, на участки, выбираем точку наблюдения, проставляем на каждом участке характерные сечения, вычисляем в этих сечениях в общем виде изгибающие моментов и строим эпюру изгибающих моментов (Рис.15.9,в).

4. Определяем расчетное значение изгибающего момента. Расчетным является максимальный изгибающий момент, действующий в сечении С:

.

5. Вычисляем в общем виде максимальные нормальные напряжения в валике, вызванные силами инерции, и записываем условие прочности:

.

6. Из условия прочности определяем допускаемую угловую скорость вращения валика:

с ^–1.

Или

об/мин.

Пример 15.10. Сплошной стальной диск одинаковой толщины вращается с постоянной угловой скоростью с^–1 вокруг центральной оси, перпендикулярерй к его срединной плоскости. Определить наибольшее нормальное напряжение в диске, если его диаметр м.

Решение:

Для сплошного диска радиальные и окружные напряжения определяются с помощью выражений (15.33) и (15.34):

;

.

Максимальные напряжения возникают в центре диска при и определяются с помощью формулы (15.35):

МПа.

Пример 15.11. Равномерно впащающийся вокруг центральной оси, перепендикулярной к его срединной плоскости, стальной диск постоянной толщины, диаметром см имеет центральное отверстие диаметром см. Определить наибольшее допускаемое число оборотов диска, при котором максимальное нормальное напряжение в нем не превысит МПа.

Решение:

1. Для дисков с отверстием запишем условие прочности по третьей теории (15.29)

(а)

и определим значения коэффициентов и , входящие в это уравнение:

; (б)

; . (в)

2. Подставим (б), (в) в (а), откуда найдем величину максимально допускаемой угловой скорости:

с ^–1

или

об/мин.

15.4. Расчет на прочность при ударных нагрузках. Техническая теория удара

Под ударом следует понимать взаимодействие движущихся тел в результате их соприкосновения, связанное с резким изменением скоростей точек этих тел за весьма малый промежуток времени. Время удара измеряется в тысячных, а иногда в миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины, например, удар падающего груза при забивке свай, действие кузнечного молота на кусок металла при ковке и т.д. При расчете конструкций, подверженных удару, приходится иметь дело не с ускорениями, а с импульсом силы удара. Поэтому принцип Д’Аламбера (кинетостатики) при ударе не работает.

В физике различают две фазы удара. В первой фазе центры тяжести соударяемых тел сближаются, а сила взаимодействия между телами возрастает, достигая максимального значения в момент наибольшего сближения тел, когда скорость относительного движения обращается в ноль.

Во второй фазе (фазе восстановления) центры тяжести тел удаляются друг от друга, силы взаимодействия уменьшаются, обращаясь в ноль в конце удара, когда прекращается контакт тел, или в постоянную величину, если удар не является абсолютно упругим. Происходит быстрый обмен энергиями между ударяющим и ударяемым телами. Такой удар считается отскакивающим. Учет такого удара связан с изучением местных деформаций в окрестностях контакта (так называемая контактная задача теории упругости), а также с изучением явления волнового распространения деформации в упругом теле. Задача оказывается сложной, поэтому при инженерных расчетах используется приближенная техническая теория удара, основанная на следующих гипотезах:

1. Удар является прилипающим в отличие от упругого удара, рассматриваемого в физике. При прилипающем ударе оба тела начинают двигаться совместно.

2. Напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности, выполняется закон Гука, модуль упругости остается таким же, как и при статическом нагружении.

3. Деформации распространяются по телу мгновенно.

4. Напряженно-деформированные состояния тел при статическом и динамическом нагружении подобны.

5. Вся кинетическая энергия удара переходит в потенциальную энергию упругой деформации (потерь энергии нет).

15.5.Обобщение динамического коэффициента

Рассмотрим подробнее гипотезу технической теории удара №4. Гипотеза утверждает наличие подобия между напряженно-деформированными состояниями при статическом и динамическом нагружениях. Это подобие между динамическими и статическими усилиями, напряжениями и , деформациями и может быть выражено с помощью коэффициента динамичности в виде:

. (15.38)

Установим связь между потенциальной энергией деформации, накапливаемой в теле при ударе, и потенциальной энергией при статической нагрузке.

Общее выражение для потенциальной энергии деформации при статической нагрузке имеет вид:

. (15.39)

Аналогичный вид принимает общее выражение для потенциальной энергия при динамической нагрузке:

. (15.40)

Здесь:  любое внутреннее усилия ( , , и т.д.);  жесткость поперечного сечения при любом виде деформации ( , , и т.д.).

Выразим динамическое усилие через статическое из (15.38) и подставим в (15.40). Получим:

. (15.41)

Дополним ряд соотношений (15.38) полученным соотношением между динамической и статической потенциальными энергиями:

. (15.42)

Анализируя последнее выражение, приходим к выводу, что, зная коэффициент динамичности и статические усилия, напряжения, преремещения, потенциальную энергию и т.д., можно найти динамические значения усилий, напряжений, преремещений и потенциальной энергии. В частности, условие прочности при ударе можно записать в виде:

. (15.43)

15.5. Вывод формулы для коэффициента динамичности при ударе

Сразу же отметим, что формула для коэффициента динамичности будет одинаковой независимой от вида деформации.

Рассмотрим балку, на которую с некоторой высоты падает груз . На балке в том сечении, в котором просходит удар, находится груз (Рис.15.10).

Рис.15.10

В соответствии с принятой гипотезой удар будем считать прилипающим (абсолютно неупругим). В этом случае оба груза объединились в один ( + ), который, продолжая перемещаться вниз, изгибает балку.

Пятая гипотеза технической теории удара утверждает, что вся кинетическая энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации ( ).

Кинетическую энергию определим по формуле:

. (15.44)

Потенциальная энергия деформации, накапливаемая в балке при действии динамической нагрузки, равна:

. (15.45)

Коэффициент в формуле (15.45) берется потому, что сила меняется от нуля до своего конечного значения.

Приравнивая значение кинетической єнергии (15.44) величине потенциальной энергии деформации (15.45), получим:

. (15.46)

Выражая динамическое перемещение и подставляя в формулу (15.46), имеем:

или после некоторых преобразований

. (15.47)

Уравнение (15.47) имеет два корня:

. (15.48)

Из двух корней (15.48) оставляем положительный:

. (15.49)

Таким образом, окончательно динамический коэффициент при ударе принимает вид (15.49).

Полученное решение является приближенным, так как при выводе формулы (15.49) не был учтен целый ряд факторов, а именно: удар считался неупругим, в реальной системе он является частично упругим. Не были учтены местные деформации в точке, по которой наносится удар. Учет местных деформаций может оказать существенное влияние на окончательный результат. Из-за сделанных отступлений от реальных условий формула (15.49) дает завышенное значение динамического коэффициента.

Если масса на балке отсутствует, т.е. , а тело падает на невесомую балку, то динамический коэффициент будет равен:

. (15.50)

Из формулы (15.50) следует, чем больше статическое удлинение , тем меньше динамический коэффициент. Чем больше жесткость системы, тем больше величина ударной силы. Уменьшить силу удара можно, увеличив . При продольном ударе, чем больше длина стержня и меньше его жесткость, тем меньше динамический коэффициент, а, следовательно, меньше динамическая сила и динамические напряжения. Этим можно объяснить то, что при буксировке тяжелых барж канаты, соединяющие буксирный катер с баржей, имеют большую длину. Короткие канаты при случайцном ударе, возникающем вследствие различных причин, не выдерживают динамичесой нагрузки и разрываются.